2.5 简单复合函数的求导法则-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

　简单复合函数的求导法则

　试说明y＝(3x＋2)2是如何复合而成的．

[提示]　令u＝φ(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2，

则y＝f(u)＝f(φ(x))＝(3x＋2)2.

　试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，φ(x)＝3x＋2的导数．

[提示]　y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，

f′(u)＝2u，φ′(x)＝3.

　观察问题2中的导数有何关系．

[提示]　y′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x).

◎结论形成

1．复合函数的概念

对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成 x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．

2．复合函数的求导法则

复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x).

[导学点睛]

1．复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．

2．y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝a·f′(ax＋b).

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(　　)

(2)函数f(x)＝sin (－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　　)

(3)函数f′(x)＝cos 2x导数为f′(x)＝－sin 2x.(　　)

(4)函数f(x)＝ln (5x)的导数为f′(x)＝.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．函数y＝(3x－4)2的导数是(　　)

A．4(3x－2)　　　　　　 B．6x

C．6x(3x－4)    D．6(3x－4)

解析　y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4).

答案　D

3．f(x)＝ln (cos2x)的导数是(　　)

A．    B．

C．    D．－

解析　因为f(x)＝ln cos2x，

所以f′(x)＝＝－.

答案　D

4．(2025·山东潍坊月考)设函数f(x)＝(2x2－ex)·cos (e为自然对数的底数)的导函数为f′(x)，则f′(0)＝        ．

解析　f′(x)＝(4x－ex)cos －2(2x2－ex)·sin ，

∴f′(0)＝－＋2×＝.

答案　

题型一　复合函数概念的理解

　指出下列函数是怎样复合而成的．

(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.

[解析]　(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．

(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的．

(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．

判断复合函数的方法

判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数．　

[触类旁通]

1．指出下列函数由哪些函数复合而成．

(1)y＝ln ；(2)y＝esin  x；(3)y＝cos (x＋1).

解析　(1)y＝ln u，u＝.

(2)y＝eu，u＝sin x.

(3)y＝cos u，u＝x＋1.

题型二　简单的复合函数的导数 

　[教材例1、例2迁移]求下列函数的导数．

(1)y＝；(2)y＝.

[解析]　(1)法一　设u＝2x3－x＋，y＝u4，

则yx′＝yu′·ux′＝4u3·

＝4.

法二　y′＝′

＝4′

＝4.

(2)法一　设y＝u－，u＝1－2x2，

则yx′＝yu′·ux′＝(－4x)