2.5 简单复合函数的求导法则-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦简单复合函数的求导法则，从复合函数概念（如y=(3x+2)²的分解）入手，推导求导法则（y'=f'(u)φ'(x)），再通过实例应用（如切线方程求解），构建“概念理解-法则推导-应用实践”的学习支架。 资料以问题链驱动探究，通过导学问题培养数学抽象，例题变式提升数学运算，实际应用强化逻辑推理。课中助力教师分层教学，课后易错案例与练习题帮助学生查漏补缺，有效巩固核心素养。

　简单复合函数的求导法则 学业标准 素养目标 1.理解复合函数的概念．(难点) 2．掌握简单复合函数的求导法则并能熟练应用．(重点) 1.通过学习复合函数的概念，培养数学抽象等核心素养． 2．借助复合函数求导法则的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 导学 复合函数的求导法则 　试说明y＝(3x＋2)2是如何复合而成的． [提示]　令u＝φ(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2， 则y＝f(u)＝f(φ(x))＝(3x＋2)2. 　试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，φ(x)＝3x＋2的导数． [提示]　y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12， f′(u)＝2u，φ′(x)＝3. 　观察问题2中的导数有何关系． [提示]　y′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x). ◎结论形成 1．复合函数的概念 对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成 x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x). [导学点睛] 1．复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数． 2．y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝a·f′(ax＋b). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(　　) (2)函数f(x)＝sin (－x)的导数为f′(x)＝cos x．(　　) (3)函数f′(x)＝cos 2x导数为f′(x)＝－sin 2x.(　　) (4)函数f(x)＝ln (5x)的导数为f′(x)＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数y＝(3x－4)2的导数是(　　) A．4(3x－2)　　　　　　 B．6x C．6x(3x－4) D．6(3x－4) 解析　y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4). 答案　D 3．f(x)＝ln (cos2x)的导数是(　　) A． B． C． D．－ 解析　因为f(x)＝ln cos2x， 所以f′(x)＝＝－. 答案　D 4．(2025·山东潍坊月考)设函数f(x)＝(2x2－ex)·cos (e为自然对数的底数)的导函数为f′(x)，则f′(0)＝ ． 解析　f′(x)＝(4x－ex)cos －2(2x2－ex)·sin ， ∴f′(0)＝－＋2×＝. 答案　 题型一　复合函数概念的理解 　指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x. [解析]　(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的． (2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的． (3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的． 判断复合函数的方法 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次运算而得到的函数．　 [触类旁通] 1．指出下列函数由哪些函数复合而成． (1)y＝ln ；(2)y＝esin x；(3)y＝cos (x＋1). 解析　(1)y＝ln u，u＝. (2)y＝eu，u＝sin x. (3)y＝cos u，u＝x＋1. 题型二　简单的复合函数的导数 　[教材例1、例2迁移]求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝. [解析]　(1)法一　设u＝2x3－x＋，y＝u4， 则yx′＝yu′·ux′＝4u3· ＝4. 法二　y′＝′ ＝4′ ＝4. (2)法一　设y＝u－，u＝1－2x2， 则yx′＝yu′·ux′＝(－4x) ＝－(1－2x2)－(－4x) ＝2x(1－2x2)－＝. 法二　y′＝′＝[(1－2x2)－]′ ＝－(1－2x2)－·(1－2x2)′＝2x(1－2x2)－ ＝. 复合函数的求导步骤 [提醒]　注意正确判断复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的．　 [触类旁通] 2．求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝esin (ax＋b)； (3)y＝sin 2；(4)y＝5log2(2x＋1). 解析　(1)设y＝u－，u＝1－2x2， 则yx′＝yu′·ux′＝(u－)′(1－2x2)′＝·(－4x)＝－(1－2x2)－(－4x)＝2x(1－2x2)－. (2)设y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cos v·a ＝a cos (ax＋b)·esin (ax＋b). (3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋， 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2＝4sin v cos v＝2sin 2v＝2sin . (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则yx′＝yu′·ux′＝(5log2u)′·(2x＋1)′＝＝. 题型三　复合函数导数的应用 　已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值． [解析]　因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，所以f′(1)＝2a－2， 所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0. 因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝， 解得a＝. [母题变式] (变条件)若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝相交”，求a的取值范围． 解析　由例题知，直线l的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0. 因为直线l与圆C：x2＋y2＝相交， 所以圆心到直线l的距离小于半径． 即d＝＜.解得a＞. [素养聚焦]　通过复合函数导数的应用，重点提升数学运算等核心素养． 解决此类问题，正确求出复合函数的导数是前提．审题时要注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数．解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．　 [触类旁通] 3．(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．假设1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100)，那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　) A．－40元/吨 B．－10元/吨 C．10元/吨 D．40元/吨 (2)有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y＝s(t)＝5－.求函数在t＝时的导数，并解释它的实际意义． 解析　(1)净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为c(x)＝(80＜x＜100)，所以c′(x)＝′＝，又因为c′(90)＝＝40，所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/吨． (2)函数y＝5－可以看作函数f(x)＝5－和x＝φ(t)＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量． 由导数公式表可得f′(x)＝－x－， φ′(t)＝－18t. 再由复合函数求导法则得yt′＝s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝·(－18t)＝，将t＝代入s′(t)，得s′＝0.875(m/s).它表示当t＝时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 答案　(1)D　(2)略 [缜密思维提能区] 易错案例 复合函数求导法则用错致误 [典例]　求下列函数的导数． (1)y＝cos 2x＋sin ；(2)y＝； (3)y＝3xe-3x. [错解]　(1)设u＝2x，v＝， 则y′＝－sin u·u′＋cos v·v′ ＝－sin 2x＋·cos ＝－sin 2x＋. (2)y′＝(1－3x)-5. (3)y′＝3xe-3xln 3＋3x+1e-3x. [正解]　(1)y′＝(cos 2x)′＋(sin )′， 所以y′＝－2sin 2x＋. (2)y＝＝(3x－1)-4， 所以y′＝－4(3x－1)-5×3＝. (3)y′＝(3x)′e-3x＋3x·(e-3x)′ ＝3x(ln 3)·e-3x＋3xe-3x·(－3x)′ ＝3xe-3xln 3－3x+1e-3x. [纠错心得]　求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量；如果选不好，计算复合函数的导数时容易出错． 知识落实 技法强化 (1)复合函数的概念及求导法则． (2)复合函数的导数的应用． (1)正确分析函数的复合层次； (2)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (3)最后要把中间变量换成自变量的函数． [必备知识·基础巩固] 1．(2025·辽宁大连高二期中)函数y＝ex cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2ex sin 2x B．y′＝－2ex sin 2x C．y′＝ex(cos 2x－2sin 2x) D．y′＝ex(cos 2x＋2sin 2x) 解析　y′＝(ex)′cos 2x＋ex(cos 2x)′＝ex cos 2x－2ex sin 2x＝ex(cos 2x－2sin 2x).故选C. 答案　C 2．曲线y＝f(x)＝xex-1在点(1，1)处切线的斜率等于(　　) A．2e　　　　　　　 B．e C．2 D．1 解析　f′(x)＝ex-1＋xex-1＝(x＋1)ex-1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为f′(1)＝2. 答案　C 3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln (x＋a)相切，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析　设切点为(x0，y0)， 则y0＝x0＋1，y0＝ln (x0＋a). 又因为y′＝，所以＝1，即x0＋a＝1， 所以y0＝0，x0＝－1，所以a＝2. 答案　B 4．(多选题)下列求导正确的是(　　) A．[ln (2x＋1)]′＝ B．(e5x-4)′＝e5x-4 C．()′＝ D．′＝－2sin 解析　[ln (2x＋1)]′＝，A正确； (e5x-4)′＝5e5x-4，B错误； ()′＝··(2x－1)′＝，C正确； ′＝－2sin ，D正确．故选ACD. 答案　ACD 5．已知f(x)＝sin ，则f′＋f′的值为 ． 解析　因为f′(x)＝2cos ， 所以f′＝1，f′＝－2， 即f′＋f′＝－1. 答案　－1 6．曲线y＝2ln (x＋1)在点(0，0)处的切线方程为 ． 解析　因为y＝2ln (x＋1)，所以y′＝. 令x＝0，得y′＝2， 由切线的几何意义得切线斜率为2， 又切线过点(0，0)，所以切线方程为y＝2x. 答案　y＝2x 7．曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 解析　∵y′＝ex，∴y′|x＝4＝e2. ∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为 y－e2＝e2(x－4)， 整理得y＝e2x－e2， 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2，0)， 则切线与坐标轴围成的三角形面积 S＝×|－e2|×|2|＝e2. 答案　e2 8．求下列函数的导数． (1)y＝； (2)y＝e－xsin 2x； (3)y＝ln －1； (4)y＝cos (－2x)＋32x+1. 解析　(1)因为y＝， y′＝ ＝. (2)y′＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x ＝e－x(2cos 2x－sin 2x). (3)因为y＝ln －1＝ln (2x＋1)－1， 所以y′＝××(2x＋1)′＝. (4)y′＝－2sin 2x＋(2x＋1)′32x+1ln 3 ＝－2sin 2x＋2·32x+1ln 3. [关键能力·综合提升] 9．已知函数f(x)＝xex－a，曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析　由题意得f′(x)＝(x＋1)ex－a， 所以f′(a)＝a＋1＝3， 解得a＝2， 所以f(x)＝xex-2，可得f(2)＝2×e2-2＝2， 所以切点为(2，2). 将(2，2)代入切线方程得b＝－4， 所以a＋b＝－2. 故选B. 答案　B 10．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著的经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝P0·2－，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为(　　) A．20天 B．30天 C．45天 D．60天 解析　P′(t)＝－·P0·2－ln 2，则P′(15)＝－P0＝－，解得P0＝18，则P(t)＝18·2－，令P(t)＝4.5，则18·2－＝4.5，即2－＝，所以－＝－2，解得t＝60.故选D. 答案　D 11．(2025·贵州贵阳一中高二质量检测)对于y＝ax(a＞0且a≠1)这类函数的求导，可以使用下面的方式进行： 第一步：ln y＝ln ax＝x ln a； 第二步：(ln y)′＝(x ln a)′； 第三步：·y′＝ln a； 第四步：y′＝y·ln a＝ax·ln a 根据框内的信息，函数y＝xx(x>0)的导数y′＝ ． 解析　因为y＝xx，故可得ln y＝x ln x， 所以(ln y)′＝(x ln x)′，即·y′＝ln x＋1， 所以y′＝y(ln x＋1)＝xx(ln x＋1). 答案　xx(ln x＋1) 12．(2025·南通模拟)写出一个同时具有性质①②的函数f＝ (f不是常值函数).①f′为偶函数；②f′＝f′. 解析　由f′＝f′知函数f′的周期为π，则f′＝cos 2x， 同时满足f′为偶函数， 所以f＝sin 2x满足条件(答案不唯一). 答案　sin 2x(答案不唯一) 13．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t). (1)求切线l的方程； (2)求S(t)的解析式． 解析　(1)因为y＝e－x，所以y′＝(e－x)′＝－e－x， 所以当x＝t时，y′＝－e－t， 故切线l的方程为y－e－t＝－e－t(x－t)， 即x＋ety－(t＋1)＝0. (2)令y＝0，得x＝t＋1，令x＝0，得y＝e－t(t＋1). 所以S(t)＝(t＋1)·e－t(t＋1) ＝(t＋1)2e－t(t≥0). [学科素养·探索创新] 14．(2025·青岛二中高二月考)已知函数f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x-2－x，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 ． 解析　设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝ex-2＋x， ∵f(x)为偶函数，∴x>0时，f(x)＝ex-2＋x， 则f′(x)＝ex-2＋1，∴f′(2)＝2， 又f(2)＝3，∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝2(x－2)，即y＝2x－1. 答案　y＝2x－1 15．已知函数f(x)＝e－x(cos x＋sin x)，将满足f′(x)＝0的所有正数x从小到大排成数列{xn}．证明：数列{f(xn)}为等比数列． 证明　f′(x)＝e－x·(－x)′·(cos x＋sin x)＋e－x(cos x＋sin x)′ ＝－e－x(cos x＋sin x)＋e－x(cos x－sin x) ＝－2e－xsin x. 由f′(x)＝0知－2e－xsin x＝0， 得x＝nπ，n∈N＋， 从而xn＝πn，n＝1，2，3，…， 则f(xn)＝(－1)ne－nπ， 易知＝－e－π. 所以数列{f(xn)}是公比为q＝－e－π，且首项为f(x1)＝－e－π的等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $