2.3 导数的计算-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦导数的计算核心知识点，通过具体函数实例引出导函数概念，区分函数在某点导数与导函数的异同，系统梳理基本初等函数的导数公式，构建“概念引入—公式推导—应用实践”的学习支架。 资料以问题链驱动概念抽象，通过对比f'(x₀)与f'(x)培养数学抽象素养，结合切线方程求解等例题强化数学运算与逻辑推理能力。课中助力教师分层教学，课后多样题型帮助学生查漏补缺，提升应用导数解决问题的能力。

　导数的计算 学业标准 素养目标 1.理解导函数的概念，会利用导数的概念求常见函数的导数．(难点) 2．掌握导数公式表，并能进行简单的应用．(重点) 1.通过学习导函数的概念，培养数学抽象等核心素养． 2．借助导数公式的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 导学1 导函数 　对于函数f(x)＝－x2＋2，如何求f′(1)，f′(0)，f′，f′(a)(a∈R)? [提示]　＝ ＝－2x0－Δx， 当Δx趋于0时，得导数f′(x0)＝－2x0， 所以f′(1)＝－2，f′(0)＝0，f′＝1， f′(a)＝－2a. 　问题1中，若x0是一个变量x，f′(x)还是常量吗？ [提示]　f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数． ◎结论形成 导函数 　如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝ ，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′． [导学点睛] f′(x0)与f′(x)的异同 名称 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值． 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值． f′(x) f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． 导学2 导数公式 　函数y＝f(x)＝x的导数是什么？ [提示]　因为＝＝＝1，所以y′＝ ＝1，即y′＝1. 　函数y＝x的导数y′＝1的意义是什么？ [提示]　y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处的切线的斜率都为1，如图，若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动． ◎结论形成 基本初等函数的导数 函数 导数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝xα(α是实数) y′＝αxα-1 y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝ax ln a 特别地(ex)′＝ex y＝logax(a＞0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝ y＝sin x y′＝cos x y＝cos x y′＝－sin x y＝tan x y′＝ [拓展]　 1．函数f(x)＝ln x与f(x)＝logax的导数公式之间有内在联系，根据对数的换底公式，可以得到f(x)＝logax＝，于是f′(x)＝(logax)′＝′＝·(ln x)′＝.据此我们一方面可以推导出对数函数的导数公式，另一方面还可以加深我们对这个导数公式的记忆． 2．由于根式函数可以转化为幂函数的形式，因此可以利用幂函数的导数公式解决根式函数的求导问题．一般地对于函数f(x)＝，有f(x)＝＝x，从而f′(x)＝′＝x-1. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝，则y′＝×2＝1.(　　) (2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．(　　) (3)f(x)＝，则f′(x)＝－.(　　) (4)f(x)＝ln ex，则f′(x)＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．f(x)＝x2，若f′(x0)＝2，则x0＝(　　) A．2　　　　　　 B．1 C．－2 D．－1 解析　f′(x)＝(x2)′＝2x， 又f′(x0)＝2，所以2x0＝2，所以x0＝1. 答案　B 3．已知函数f(x)＝sin x，其导函数为f′(x)，则f′＝(　　) A．－　　 B．　　　 C．　　 D．－ 解析　∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cos x， ∴f′＝cos ＝.故选C. 答案　C 4．曲线y＝f(x)＝ln x与x轴交点处的切线方程是 ． 解析　因为曲线y＝f(x)＝ln x与x轴的交点为(1，0)，所以f′(1)＝1，切线的斜率为1， 所以切线方程为y＝x－1. 答案　y＝x－1 题型一　利用导数公式求函数的导数 　求下列函数的导数． (1)y＝x7；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝2sin cos ；(5)y＝logx2－logx. [解析]　(1)y′＝7x7-1＝7x6. (2)因为y＝x-2，所以y′＝－2x-2-1＝－2x-3. (3)因为y＝x，所以y′＝x－. (4)因为y＝2sin cos ＝sin x， 所以y′＝cos x. (5)因为y＝logx2－logx＝logx， 所以y′＝(logx)′＝. 用导数公式求函数导数的方法 (1)对于简单的函数，直接套用公式； (2)对于较为复杂，不能直接套用公式的函数，可先把题中函数解析式恒等变形为基本初等函数，再求导． [提醒]　求导前要注意判断自变量是什么，例如f(x)＝cos π的导数f′(x)＝0.　 [触类旁通] 1．(1)函数f(x)＝，则f′(x)＝ ，f′＝ ． (2)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝ ． 解析　(1)因为f(x)＝＝x， 所以f′(x)＝x－. f′＝×＝×＝. (2)∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝， ∴f′(x)－g′(x)＝3x2－. 答案　(1)x－　 (2)3x2－ 题型二　导数公式的简单应用 　已知曲线y＝ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． [解析]　因为y′＝，所以当x＝e时，y′＝， 即切线斜率为， 所以切线方程为y－1＝(x－e)， 即x－ey＝0. [母题变式] 1．(变结论)若本例条件不变，求曲线过O(0，0)的切线． 解析　因为O(0，0)不在曲线上， 所以设切点为Q(a，b)， 则切线斜率k＝，又因为k＝，且b＝ln a， 所以a＝e，b＝1，所以切线方程为x－ey＝0. 2．(变条件、变结论)若方程ln x＝mx恰有一个根，求m的取值范围． 解析　问题可以转化为函数y＝ln x与y＝mx的图象有且仅有一个公共点．由图象易知m≤0满足条件．另外就是y＝mx是y＝ln x的切线时满足条件．因为y＝mx图象过(0，0)，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率m＝， 又因为m＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1， m＝，即m的取值范围为(－∞，0]∪. 已知一点求切线方程 [触类旁通] 2．(1)已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程为 ． (2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为 ． 解析　(1)因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于直线PQ， 所以k＝2x0＝1，即x0＝， 所以切点为M. 所以所求的切线方程为y－＝x－， 即4x－4y－1＝0. (2)设切点为(x0，ln x0)， 由y＝ln x得y′＝. 因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1. 所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＝1， 所以切点为(1，0). 所以1－0＋c＝0，所以c＝－1. 答案　(1)4x－4y－1＝0　(2)－1 题型三　与切线有关的综合问题 　求证：在曲线y＝上任意一点处的切线与x轴，y轴围成的三角形的面积为常数． [证明]　设P(x0，y0)为y＝上任意一点， 则y0＝(x0≠0).又y′＝′＝－， 所以双曲线在P处的切线斜率k＝－，所以切线方程为y－y0＝－(x－x0). 令x＝0，则y＝；令y＝0，则x＝2x0. 所以切线与x轴，y轴的交点分别为(2x0，0)，.因此，所求三角形的面积为S＝|2x0|·＝2(常数). 所以在双曲线y＝上任意一点处的切线与x轴，y轴围成的三角形的面积为常数． [素养聚焦]　本例通过导数知识的综合应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 要求面积，须求出切线与x轴、y轴的交点坐标，因此解决问题的切入点是切点P(x0，y0)的设定，然后利用参数x0表达出切线方程及三角形面积，消去参数x0，说明面积与参数x0无关.　 [触类旁通] 3．(1)已知曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线与圆C：x2＋y2＝r2(r>0)相切，则C的半径为(　　) A． B．1 C． D． (2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝ ． 解析　(1)由y＝ln x得y′＝，故切线斜率k＝y′|x＝1＝1，所以切线方程为y＝x－1，又直线y＝x－1与圆x2＋y2＝r2相切，所以圆C的半径r＝＝. (2)由y＝x3可得y′＝3x2， 所以曲线在点(a，a3)处的切线的斜率为k＝3a2， 切线方程为y－a3＝3a2(x－a)， 切线与x轴的交点为. 所以三角形的面积为·|a3|＝， 解得a＝±1. 答案　(1)C　(2)±1 知识落实 技法强化 (1)常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式及应用． (3)利用导数研究曲线的切线方程． (1)牢记和运用好导数公式．能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． (2)有些函数可先化简再应用公式求导． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列结论中错误的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．′＝cos C．若y＝，则y′＝－ D．′＝ 解析　因为(cos x)′＝－sin x，所以A错误； ′＝′＝0，所以B错误； ′＝(x-2)′＝－2x-3，所以C错误，D正确． 答案　ABC 2．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析　因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x. 所以f′＋f＝－sin ＋cos ＝0. 答案　A 3．(多选题)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　) A．(－1，1) B．(－1，－1) C．(1，1) D．(1，－1) 解析　y′＝3x2，因为k＝3， 所以3x2＝3，所以x＝±1， 则P点坐标为(－1，－1)或(1，1). 答案　BC 4．(多选题)设函数f(x)的定义域为D，f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)在D上单调，则称函数f(x)为“C函数”．下列函数中，是“C函数”的有(　　) A．y＝ex B．y＝ln x C．y＝x3 D．y＝cos x 解析　由y＝ex得y′＝ex在(－∞，＋∞)上单调； 由y＝ln x得y′＝在(0，＋∞)上单调； 由y＝x3得y′＝3x2在(－∞，＋∞)上不单调； 由y＝cos x得y′＝－sin x在(－∞，＋∞)上不单调． 综上，故选AB. 答案　AB 5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 解析　因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2， 所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1，0)， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 答案　 6．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝ ． 解析　因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x， 所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0， f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0， 解得x＝1或x＝－(舍去).故x＝1. 答案　1 7．过点A(2，8)，且与曲线f(x)＝x3相切的直线方程为 ． 解析　f′(x)＝3x2，设切点坐标为(m，m3)，则切线斜率为f′(m)＝3m2，所以切线方程为y－m3＝3m2(x－m)，又点(2，8)在切线上，所以8－m3＝3m2(2－m)，所以m3－3m2＋4＝m2(m－2)－(m＋2)(m－2)＝(m2－m－2)(m－2)＝(m＋1)(m－2)2＝0，解得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，切线方程为y＋1＝3(x＋1)，整理为3x－y＋2＝0；当m＝2时，切线方程为y－8＝12(x－2)，整理为12x－y－16＝0. 答案　3x－y＋2＝0或12x－y－16＝0 8．已知函数f(x)＝4x2，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，直线m平行于直线l且过点(0，－6). (1)求直线l与m的方程； (2)指出曲线y＝f(x)上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离． 解析　(1)因为f(x)＝4x2，所以f′(x)＝8x，所以f′(1)＝8，又f(1)＝4，即切点为(1，4)，所以切线l的方程为y－4＝8(x－1)，即8x－y－4＝0.因为直线m与直线l平行，所以直线m的斜率为8，又直线m过点(0，－6)，所以直线m的方程为y＝8x－6，即8x－y－6＝0. 故直线l：8x－y－4＝0，直线m：8x－y－6＝0. (2)依题意得点(1，4)到直线m：8x－y－6＝0的距离最短，最短距离d＝＝. [关键能力·综合提升] 9．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　) A． B．－ C．－e D．e 解析　曲线y＝ex的导数为y′＝ex，设切点为P(x0，ex0)，则在P处的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)， 代入(0，0)点得x0＝1，所以P(1，e)， 所以k＝e，故选D. 答案　D 10．(多选题)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 解析　A．对于函数y＝sin x，y′＝cos x，设图象上存在这样两点(x1，sin x1)，(x2，sin x2)，那么两切线的斜率k1＝cos x1，k2＝cos x2，令k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1，则x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(x2＝2kπ，x1＝2kπ＋π)，k∈Z，即存在这样的两点，所以具有T性质． B．对于函数y＝ln x，y′＝，k1·k2＝·，而x1＞0，x2＞0，所以k1·k2≠－1，所以函数y＝ln x不具有T性质． C．对于函数y＝ex，y′＝ex，k1＝ex1，k2＝ex2，显然均大于0.所以函数y＝ex不具有T性质． D．对于函数y＝x3，y′＝3x2，k1＝3x，k2＝3x，显然k1·k2≠－1，所以函数y＝x3不具有T性质． 答案　BCD 11．已知P为曲线y＝ln x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为 时，PQ最小，此时最小值为 ． 解析　如图，当直线l与曲线y＝ln x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值．易知(ln x)′＝，令＝1，得x＝1，故此时点P的坐标为(1，0)，所以PQ的最小值为＝. 答案　(1，0)　 12．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ． 解析　∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak). 又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1，0)， ∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝的等比数列， ∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 答案　21 13．求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公共切线的斜率． 解析　(1)当公共切线的切点相同时，对C1，C2分别求导得y′＝2x，y′＝3x2.令2x＝3x2，解得x＝0或x＝. ①当x＝0时，2x＝3x2＝0； ②当x＝时，2x＝3x2＝. 当切线的斜率为0时，曲线C1，C2的公共切线为y＝0.当切线的斜率为时，此时C1的切线方程为y－＝，而C2的切线方程为y－＝，显然两者不是同一条切线，所以x＝舍去． (2)当公共切线的切点不同时，在曲线C1、C2上分别任取一点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y′＝2x1，y′＝3x. 因为AB的斜率为kAB＝， 所以有2x1＝3x＝. 由2x1＝3x，得x1＝x，代入3x＝中，解得x2＝，x1＝. 此时公共切线的斜率为2x1＝. 综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，. [学科素养·探索创新] 14．“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线．曲线y＝ln x在点(1，0)处的切线方程为 ，利用上述“切线近似代替曲线”的思想方法计算所得结果为 (结果用分数表示). 解析　由y＝ln x得y′＝，所以在点(1，0)处的切线斜率k＝1，则切线方程为y＝x－1； 由题意知ln x≈x－1，所以ln ≈－1，即ln e≈e－1，所以e≈ln e＋1＝＋1＝，即≈. 答案　y＝x－1　 15．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处的两曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解析　不存在．理由如下：设y1＝sin x，y2＝cos x两条曲线的一个公共点为P(x0，y0). 则两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为 k1＝y1′， k2＝y2′， 若使两条切线互相垂直，必须有 cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的， 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两曲线的切线互相垂直． 学科网（北京）股份有限公司 $