2.3 导数的计算-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）
导数的计算
学业标准 | 素养目标 |
1.理解导函数的概念，会利用导数的概念求常见函数的导数．(难点) 2．掌握导数公式表，并能进行简单的应用．(重点) | 1.通过学习导函数的概念，培养数学抽象等核心素养． 2．借助导数公式的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． |
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导学1 | 导函数 |
对于函数f(x)＝－x2＋2，如何求f′(1)，f′(0)，f′
，f′(a)(a∈R)?
[提示] 
＝
＝－2x0－Δx，
当Δx趋于0时，得导数f′(x0)＝－2x0，
所以f′(1)＝－2，f′(0)＝0，f′＝1，
f′(a)＝－2a.
问题1中，若x0是一个变量x，f′(x)还是常量吗？
[提示] f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．
◎结论形成
导函数
如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝
，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′．
[导学点睛]
f′(x0)与f′(x)的异同
名称 | 区别 | 联系 |
f′(x0) | f′(x0)是具体的值，是数值． | 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值． |
f′(x) | f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． |
导学2 | 导数公式 |
函数y＝f(x)＝x的导数是什么？
[提示] 因为＝
＝
＝1，所以y′＝
＝1，即y′＝1.
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函数y＝x的导数y′＝1的意义是什么？
[提示] y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处的切线的斜率都为1，如图，若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动．
◎结论形成
基本初等函数的导数
函数 | 导数 |
y＝c(c是常数) | y′＝0 |
y＝xα(α是实数) | y′＝αxα-1 |
y＝ax(a＞0，a≠1) | y′＝ax ln a 特别地(ex)′＝ex |
y＝logax(a＞0，a≠1) | y′＝ 特别地(ln x)′＝ |
y＝sin x | y′＝cos x |
y＝cos x | y′＝－sin x |
y＝tan x | y′＝ |
[拓展]
1．函数f(x)＝ln x与f(x)＝logax的导数公式之间有内在联系，根据对数的换底公式，可以得到f(x)＝logax＝
，于是f′(x)＝(logax)′＝
′＝
·(ln x)′＝
.据此我们一方面可以推导出对数函数的导数公式，另一方面还可以加深我们对这个导数公式的记忆．
2．由于根式函数可以转化为幂函数的形式，因此可以利用幂函数的导数公式解决根式函数的求导问题．一般地对于函数f(x)＝
，有f(x)＝＝x
，从而f′(x)＝
′＝
x
-1.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
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