2.2.1 导数的概念-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

　导数的概念及其几何意义

2．1　导数的概念

　已知函数f(x)＝3x2＋2.

(1)求f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率；

(2)当Δx趋于0时，平均变化率有什么样的变化趋势？

[提示]　(1)因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝12Δx＋3(Δx)2，所以f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝12＋3Δx.

(2)当Δx趋于0时，趋于常数12.

◎结论形成

导数的概念

设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝．当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ ．

[拓展]　

1．理解函数在某点处的导数

(1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在．

(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无

关．

(3)导数的实质是一个极限值．

2．函数在某点处的导数f′(x0)的物理意义

(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率．

(2)位移函数f(t)在t0处的导数f′(t0)就是f(t)在t0时刻的瞬时速度．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　)

(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　)

(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　)

(4)函数y＝f(x)在x0处的导数实质就是函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2．(多选题)物体自由落体的运动函数为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中不正确的是(　　)

A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率

B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率

C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率

D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率

解析　结合平均变化率与瞬时变化率可知选项A，B，D都不正确．只有C正确．

答案　ABD

3．已知函数f(x)＝A(A为常数)，则f′(2)＝        ．

解析　因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝A－A＝0，

所以＝0.

当Δx趋于0时，趋于0，所以f′(2)＝0.

答案　0

4．某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是        ．

解析　＝＝2(Δt)2＋6Δt＋6，

所以当Δt趋于0时，趋于6，即s′(1)＝6，

故物体在第t＝1时的瞬时速度为6.

答案　6

题型一　函数在某点处的导数

　(1)已知函数y＝f(x)＝ax＋4，若当Δx趋于0时，趋于2，则实数a的值为(　　)

A．2　　　　　　　 B．－2

C．3    D．－3

(2)求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数．

[解析]　(1)若当Δx趋于0时，趋于2，

所以f′(x)＝a，所以a＝2.

(2)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，

＝＝5＋3Δx＋(Δx)2，

当Δx趋于0时，趋于5，所以f′(1)＝5.

[答案]　(1)A　(2)略

用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤

(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).

(2)求平均变化率＝.

(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .即Δx趋于0时，趋于一个常数．简记为一差、二比、三极限.　

[触类旁通]

1．(1)(2025·佛山高二检测)设f(x)＝x3－8x，则f′(2)＝(　　)

A．－4    B．－8

C．4    D．8

(2)设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝        ．

解析　(1)因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)