2.2.1 导数的概念-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦导数的概念这一核心知识点，从平均变化率实例（如函数f(x)=3x²+2在区间[2,2+Δx]的平均变化率）入手，逐步过渡到瞬时变化率，最终抽象出导数定义，结合物理瞬时速度、降雨量变化率等实际应用，通过导学问题、结论形成、题型示例及练习题构建完整学习支架。 该资料以具体实例驱动抽象概念学习，通过自由落体运动分析、降雨量数据解读等培养数学抽象与数学建模素养，题型分层设计（判断、选择、解答）及母题变式强化数学运算能力，课中助力教师落实素养目标，课后练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

　导数的概念及其几何意义 2．1　导数的概念 学业标准 素养目标 1.了解函数导数的概念，会求函数在某点处的导数．(重点) 2．理解导数在实际问题中的意义并能简单应用．(难点) 1.通过导数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助求函数在某点处的导数及结合具体问题解释导数的实际意义，提升数学运算等核心素养． 导学 导数的概念 　已知函数f(x)＝3x2＋2. (1)求f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率； (2)当Δx趋于0时，平均变化率有什么样的变化趋势？ [提示]　(1)因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝12Δx＋3(Δx)2，所以f(x)在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为＝12＋3Δx. (2)当Δx趋于0时，趋于常数12. ◎结论形成 导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝．当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ ． [拓展]　 1．理解函数在某点处的导数 (1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． (2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关． (3)导数的实质是一个极限值． 2．函数在某点处的导数f′(x0)的物理意义 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)位移函数f(t)在t0处的导数f′(t0)就是f(t)在t0时刻的瞬时速度． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) (4)函数y＝f(x)在x0处的导数实质就是函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选题)物体自由落体的运动函数为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中不正确的是(　　) A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 解析　结合平均变化率与瞬时变化率可知选项A，B，D都不正确．只有C正确． 答案　ABD 3．已知函数f(x)＝A(A为常数)，则f′(2)＝ ． 解析　因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝A－A＝0， 所以＝0. 当Δx趋于0时，趋于0，所以f′(2)＝0. 答案　0 4．某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是 ． 解析　＝＝2(Δt)2＋6Δt＋6， 所以当Δt趋于0时，趋于6，即s′(1)＝6， 故物体在第t＝1时的瞬时速度为6. 答案　6 题型一　函数在某点处的导数 　(1)已知函数y＝f(x)＝ax＋4，若当Δx趋于0时，趋于2，则实数a的值为(　　) A．2　　　　　　　 B．－2 C．3 D．－3 (2)求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数． [解析]　(1)若当Δx趋于0时，趋于2， 所以f′(x)＝a，所以a＝2. (2)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3， ＝＝5＋3Δx＋(Δx)2， 当Δx趋于0时，趋于5，所以f′(1)＝5. [答案]　(1)A　(2)略 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). (2)求平均变化率＝. (3)取极限，得导数f′(x0)＝ .即Δx趋于0时，趋于一个常数．简记为一差、二比、三极限.　 [触类旁通] 1．(1)(2025·佛山高二检测)设f(x)＝x3－8x，则f′(2)＝(　　) A．－4 B．－8 C．4 D．8 (2)设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝ ． 解析　(1)因为Δy＝f(2＋Δx)－f(2) ＝(2＋Δx)3－8(2＋Δx)－(8－16) ＝4Δx＋16(Δx)2＋(Δx)3， 所以＝4＋16Δx＋(Δx)2， 当Δx趋于0时，趋于4. 故f′(2)＝4.选C. (2)因为Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝a(－1＋Δx)3＋2－[a(－1)3＋2] ＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx， ＝a(Δx)2－3aΔx＋3a， 所以当Δx趋于0时，趋于3a，所以3a＝3， 即a＝1. 答案　(1)C　(2)1 题型二　物体在某点处的瞬时速度 　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝1－t＋t2表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． [解析]　因为＝ ＝＝1＋Δt， 所以当Δt趋于0时，趋于1. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为1 m/s. [母题变式] 1．(变结论)若本例中的条件不变，试求物体的初速度． 解析　求物体的初速度，即求物体在t＝0 s时的瞬时速度， 因为＝ ＝＝－1＋Δt， 所以当Δt趋于0时，趋于－1. 即物体的初速度为－1 m/s. 2．(变结论)若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解析　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝＝2t0－1＋Δt. 当Δt趋于0时，趋于2t0－1. 所以由2t0－1＝9，得t0＝5. 则物体在t0＝5 s时的瞬时速度为9 m/s. 求物体瞬时速度的步骤 (1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t). (2)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). (3)求在区间[t0，t0＋Δt]上的平均速度. (4)求在t＝t0时的瞬时速度v＝ .　 [触类旁通] 2．(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为 ． (2)某物体的运动方程为s(t)＝2t3，则物体在t＝1时的瞬时速度为 ． 解析　(1)∵s(t0＋Δt)－s(t0)＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－g(Δt)2， ∴＝v0－gt0－gΔt， 所以当Δt趋于0时，趋于v0－gt0， 即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0. (2)∵当t＝1时，s(1＋Δt)－s(1) ＝2(1＋Δt)3－2×13 ＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2 ＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2 ＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt， ∴＝ ＝2(Δt)2＋6Δt＋6， 所以当Δt趋于0时，趋于6， 即物体在t＝1时的瞬时速度为6. 答案　(1)v0－gt0　(2)6 题型三　解释导数的实际意义 　[教材例2、例3拓展]下表为一次降雨过程中一段时间内记录的降雨量数据： 时间t/min 0 10 20 30 40 50 60 降雨量y/mm 0 10 14 17 20 22 24 显然，降雨量y(单位：mm)是时间t(单位：min)的函数，用y＝f(t)表示． (1)分别计算当t从0 min变到10 min，从50 min变到60 min时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义； (2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为f(t)＝，求f′(40)并解释它的实际意义． [解析]　(1)当t从0 min变到10 min时，降雨量y从0 mm变到10 mm，此时，降雨量y关于时间t的平均变化率为＝＝1(mm/min). 它表示从0 min到10 min这段时间内，平均每分钟降雨量为1 mm. 当t从50 min变到60 min时，降雨量y从22 mm变到24 mm， 此时，降雨量y关于时间t的平均变化率为＝＝0.2(mm/min). 它表示从50 min到60 min这段时间内，平均每分钟降雨量为0.2 mm. 1＞0.2，说明这次降雨过程中，刚开始的10 min比后10 min的雨下得大． (2)因为＝ ＝＝， 所以当Δt趋于0时，趋于， 即f′(40)＝0.25(mm/min)， f′(40)表示当t＝40 min时，瞬时降雨强度为0.25 mm/min. 函数在某点处的导数就是函数在该点处的瞬时变化率，而瞬时变化率刻画的是函数在这一点处变化的快慢．导数可以描述事物的瞬时变化率，它在现实生活中有广泛的应用，如用导数来解决膨胀率、效率、GDP的增长率、瞬时速度等．　 [触类旁通] 3．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s. (1)h(0)，h(1)分别表示什么？ (2)求第1 s内高度的平均变化率； (3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并解释它的实际意义． 解析　(1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度，h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度． (2)＝＝80(m/s)，即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s. (3)因为＝＝5(Δt)2＋45Δt＋120， 所以当Δt趋于0时，趋于120. 即第1 s末高度的瞬时变化率为120 m/s. 它说明在第1 s末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s 的速度增加． 知识落实 技法强化 (1)导数的概念及应用． (2)导数在实际问题中的意义． 在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择相应的形式． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则lim 的值(　　) A．与x0有关　　　　 B．与h有关 C．与x0无关 D．与h无关 解析　由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD. 答案　AD 2．(2025·福建南平期末)如果某质点运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝，那么该质点在t＝3s时的瞬时速度为(　　) A． m/s B．－ m/s C． m/s D．－ m/s 解析　＝＝＝－， 所以当Δt趋于0时，趋于－. 即质点在t＝3s时的瞬时速度为－m/s. 故选D. 答案　D 3．(2025·山东滕州一中高二质检)一质点做直线运动，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s＝t2＋2t，设其在t∈内的平均速度(单位：m/s)为v1，在t＝3 s时的瞬时速度(单位：m/s)为v2，则＝(　　) A． B． C． D． 解析　根据平均速度定义可知，在t∈内的平均速度v1＝＝＝7(m/s). 在t＝3 s时的瞬时速度 v2＝ ＝ (8＋Δt)＝8(m/s).所以＝.故选B. 答案　B 4．(多选题)已知函数y＝f(x)＝3x2－1的图象上一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为 ，则下列结论正确的是(　　) A．＝2＋Δx B．＝3(2＋Δx) C． ＝2 D． ＝6 解析　＝＝3(2＋Δx)， 故Δx趋于0时，趋于6. 即 ＝6. 答案　BD 5．如果函数y＝f(x)＝在点x＝x0处的瞬时变化率是，那么x0的值为 ． 解析　＝＝ ＝， 当Δx趋于0时，趋于＝， 所以x0＝. 答案　 6．一质点的运动方程为s＝，则t＝3时的瞬时速度为 ． 解析　由导数定义及导数的物理意义知 ＝＝＝， 当Δt趋于0时，趋于－， 所以s′(3)＝－，即t＝3时的瞬时速度为－. 答案　－ 7．已知球的体积V是关于半径r的函数，V(r)＝，则当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为 ． 解析　因为ΔV＝V(2＋Δr)－V(2)＝ －＝， 所以＝[12＋6Δr＋(Δr)2]， 当r趋于2，即当Δr趋于0时，趋于16π， 故当r＝2时，球的体积的瞬时变化率为16π. 答案　16π 8．若一物体的运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)： s＝ 求：(1)物体在[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． 解析　(1)因为物体在[3，5]上的时间变化量Δt＝5－3＝2，物体在[3，5]上的位移变化量Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在[3，5]上的平均速度为＝＝24(m/s). (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为＝ ＝ ＝3Δt－18， 当Δt趋于0时，趋于－18，故v′(0)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在t＝1时的瞬时速度，即为函数s(t)在t＝1处的瞬时变化率． 因为＝ ＝ ＝3Δt－12， 当t趋于1，即当Δt趋于0时，趋于－12，即v′(1)＝－12. 即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，则适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0值为(　　) A．0　　　　　　　　 B． C． D． 解析　因为＝＝ ＝2x0＋Δx. 所以当Δx趋于0时，2x0＋Δx趋于2x0， 即f′(x0)＝2x0. 因为＝＝ ＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2， 所以当Δx趋于0时，3x＋3x0Δx＋(Δx)2趋于3x， 即g′(x0)＝3x， 依题意得f′(x0)＋2＝g′(x0)， 所以2x0＋2＝3x， 解得x0＝或x0＝，故选CD. 答案　CD 10．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比．若车轮开始转动后的第一圈需要1 s，则车轮转动开始后第2 s时的瞬时速度为(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 解析　设角度θ关于时间t的函数关系式为θ(t)＝kt2(k≠0)，由已知得2π＝k·12，即k＝2π， 故θ(t)＝2πt2. 第2 s时的瞬时速度即为θ′(2). 由于＝＝2πΔt＋8π， 当Δt趋于0时，趋于8π， 所以θ′(2)＝lim ＝8π， 即第2 s时的瞬时速度为8π. 答案　D 11．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1，1＋Δt]内的平均加速度是 ，在t＝1时的瞬时加速度是 ． 解析　在[1，1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4. 答案　Δt＋4　4 12．某正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t (单位：℃)时正方形的边长为10(1＋t)cm，设此时正方形的面积为S(单位：cm2)，且S＝f(t)，求f′(0)并解释其实际意义． 解析　依题意可知， S＝f(t)＝[10(1＋t)]2＝100(1＋t)2. 设t＝0时温度的改变量为Δt，则 ＝ ＝ ＝200＋100Δt， 所以当Δt趋于0时，趋于200， 即f′(0)＝200. f′(0)＝200的实际意义是在铁板温度为0 ℃时，铁板面积增加的速度为200 cm2/℃，也就是说，保持这一增速每升高1 ℃，铁板面积就要增加200 cm2. 13．蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)＝＋15，其中T(t)为蜥蜴的体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min). (1)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均变化率是多少？ (3)当t＝10时，蜥蜴体温的瞬时变化率是多少？ (4)蜥蜴体温的瞬时变化率为－1 ℃/min时的时刻t是多少？(≈5.477，精确到0.01) 解析　(1)由题意可知，T(t)＝＋15， 当t＝0时，T＝＋15＝39(℃)， 当t＝10时，T＝＋15＝23(℃)， 从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了39－23＝16(℃). (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为＝－1.6. (3)当t＝10时，＝ ＝ ＝＝ ＝. 当Δt趋于0时，趋于－，故当t＝10时，蜥蜴体温的瞬时变化率是－. (4)对T(t)＝＋15得 ＝ ＝ ＝ ＝ 当Δt趋于0时，趋于， 即T′(t)＝， 令T′(t)＝－1，得＝－1， 解得t＝2－5≈5.95， 所以时刻t≈5.95 min时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为－1 ℃/min. [学科素养·探索创新] 14．已知函数f(x)在x＝x0处可导，若 ＝3，则f′(x0)＝(　　) A．1 B． C．2 D．8 解析　f′(x0)＝ ＝ ＝ ＝1，故选A. 答案　A 15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为 ． 解析　由导数的定义，得 f′(0)＝ ＝ ＝ [a·(Δx)＋b]＝b>0. 又∴ac≥，∴c>0. ∴＝≥≥＝2， 当且仅当a＝c＝时等号成立． 答案　2 学科网（北京）股份有限公司 $