1.5 数学归纳法-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

　数学归纳法

　下图为多米诺骨牌：

　能使所有多米诺骨牌全部倒下的两个条件是什么？

[提示]　(1)第一块骨牌倒下；

(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．

　你认为第二个条件的作用是什么？

[提示]　第二个条件给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k＋1块也倒下．

◎结论形成

1．数学归纳法

数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：

(1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立．

根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．

2．数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立的原因

下面以n0＝1时的情况加以说明．

根据数学归纳法证明命题的步骤(1)，证明了当n＝1时命题成立；根据数学归纳法证明命题的步骤(2)可知，当n＝1＋1＝2时命题成立．由于n＝2时命题成立，再根据数学归纳法证明命题的步骤(2)可知，当n＝2＋1＝3时命题也成立……这样递推下去，就可以知道当n＝4，5，…时命题也成立．即命题对任意正整数n都成立．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，n的第一个可取值都是1.(　　)

(2)与自然数n有关的问题只能用数学归纳法来进行证明．(　　)

(3)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设．(　　)

(4)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝(　　)

A．　　　　　　　 B．

C．    D．

解析　由已知得a1＝1，a1＋a2＝4a2，得a2＝，a1＋a2＋a3＝9a3，得a3＝，a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，得a4＝，可得B正确．

答案　B

3．用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取(　　)

A．2　　 B．3　　　

C．4　　 D．5

解析　显然当n＝1时，21＞12，而当n＝2时，22＝22，A错误；

当n＝3时，23＜32，B错误；

当n＝4时，24＝42，C错误；

当n＝5时，25＞52，符合要求，D正确．

答案　D

4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为             ．

解析　当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k

＋1.

答案　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2

题型一　用数学归纳法证明等式

　[教材例1迁移]用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N＋).

[证明]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3.

则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3，

即当n＝k＋1时，等式也成立．

由(1)(2)知，等式对任意n∈N＋都成立．

用数学归纳法证明等式的方法

[触类旁通]

1．用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N＋).

证明　(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，左边＝右边，等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，

即有＋＋…＋＝，