1.5 数学归纳法-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，通过多米诺骨牌游戏情境导入，从现实问题抽象出递推思想，衔接数列中与正整数n有关命题的证明需求，构建“情境—抽象—应用”的学习支架。 其亮点在于以情境化导入培养数学眼光，通过“归纳—猜想—证明”完整流程发展逻辑推理，结合例题与分层训练强化数学思维。小结提炼关键点与框图，帮助学生结构化知识，既提升学生的推理能力和探究意识，也为教师提供完整教学资源和实施路径。

第一章　数列 §5　数学归纳法 学习任务 核心素养 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 通过对数学归纳法的学习与应用，提升逻辑推理素养． §5　数学归纳法 在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是：(ⅰ)第一块骨牌倒下；(ⅱ)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 问题：你认为第二个条件的作用是什么？ 必备知识·情境导学探新知 [提示]　条件(ⅱ)给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k＋1块也倒下． §5　数学归纳法 数学归纳法 一般地，证明某些与正整数n有关的数学命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明：当n取第一个值n0(n0∈N＋)时，命题成立； (2)(归纳递推)假设当______________________时命题成立，证明当________时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． 上述证明方法叫作数学归纳法． n＝k(k∈N＋，k≥n0) n＝k＋1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 思考　数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？ [提示]　数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可．另外，在第二步中证明n＝k＋1时命题成立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． (　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1． (　　) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． (　　) × √ × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 √ 2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 C　[凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是_______________． (2k＋2)＋(2k＋3)　[当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)， 当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)， 所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．] (2k＋2)＋(2k＋3) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 关键能力·合作探究释疑难 类型1　用数学归纳法证明等式 【例1】　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N＋． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． §5　数学归纳法 (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立， 即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2， 那么当n＝k＋1时， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N＋都成立． 反思领悟　用数学归纳法证明等式的规则 (1)用数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据． (2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就不是数学归纳法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 [跟进训练] 1．用数学归纳法证明： ＋…＋＝． [证明]　(1)当n＝1时，＝成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 (2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即有＋…＋＝，那么当n＝k＋1时，＋…＋＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立． 类型2　用数学归纳法证明不等式 【例2】　【链接教材P41例3】 证明对任意的n∈N＋，×…×＞均成立． [证明]　(1)当n＝1时，左式＝，右式＝， 左式＞右式，所以结论成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即×…×＞， 则当n＝k＋1时，×…×＞＝， 要证当n＝k＋1时结论成立， 只需证． 即证， 由基本不等式知＝成立， 故成立， 所以当n＝k＋1时，结论成立． 由(1)(2)可知，n∈N＋时，不等式×…×＞成立． 【教材原题·P41例3】 用数学归纳法证明：(1＋α)n≥1＋nα(其中α＞－1，n∈N＋)． 证明：(1)当n＝1时，左边＝1＋α，右边＝1＋α，命题成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 (2)假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即(1＋α)k≥1＋kα． 那么，当n＝k＋1时，因为α＞－1，所以1＋α＞0． 根据假设知，(1＋α)k≥1＋kα，所以 (1＋α)k+1＝(1＋α)k(1＋α) ≥(1＋kα)(1＋α) ＝1＋(k＋1)α＋kα2． 因为kα2≥0，所以1＋(k＋1)α＋kα2≥1＋(k＋1)α． 从而(1＋α)k+1≥1＋(k＋1)α． 这表明，当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)和(2)，该命题对于任意正整数n都成立． 反思领悟　用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明问题时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时不等式成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 [跟进训练] 2．求证：＋…＋＞(n≥2，n∈N＋)． [证明]　(1)当n＝2时，左边＝＝，故左边＞右边，不等式成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即＋…＋＞，则当n＝k＋1时， ＋…＋＋＝＋…＋＞＞＝， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立． 类型3　归纳——猜想——证明 【例3】　【链接教材P40例2】 设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝＋n，an>0(n∈N＋)．猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 [解]　分别令n＝1，2，3，得 ∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3， 猜想：an＝n． 由2Sn＝＋n，① 可知，当n≥2时，2Sn－1＝＋(n－1)，② ①－②，得2an＝＋1，即＝－1． (1)当n＝2时＝2a2＋12－1，∵a2>0，∴a2＝2． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时＝－1＝2ak＋1＋k2－1， 即[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0， ∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0， ∴ak＋1＝k＋1，即当n＝k＋1时也成立， ∴an＝n(n≥2)，显然当n＝1时，也成立， 故对于一切n∈N＋，均有an＝n． 故数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N＋)． 【教材原题·P40例2】 已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝0，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． [解]　由an＋1＝和a1＝0，得a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，… 归纳上述结果，可得猜想an＝． 下面用数学归纳法证明这个猜想． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 (1)当n＝1时，左边＝a1＝0，右边＝＝0，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即ak＝成立． 那么，当n＝k＋1时， ak＋1＝＝＝＝． 这就是说，当n＝k＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知猜想an＝对于任意正整数n都成立． 反思领悟　“归纳—猜想—证明”的一般步骤 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 [跟进训练] 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋)． (1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式． [解]　(1)因为a1＝1，Sn＝n2an，所以S1＝a1＝1， 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2，可得a2＝，S2＝1＋＝； 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝9a3，可得a3＝，S3＝1＋＝； 当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝，S4＝．猜想Sn＝． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 (2)证明：①当n＝1时，结论显然成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即Sk＝， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＝(k＋1)2ak＋1＝(k＋1)2(Sk＋1－Sk)， 所以(k2＋2k)Sk＋1＝(k＋1)2Sk＝(k＋1)2·， 所以Sk＋1＝． 故当n＝k＋1时结论也成立． 由①②可知，对于任意的n∈N＋，都有Sn＝． 因为Sn＝n2an，所以an＝＝＝． 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n∈N＋，n≥3)，第一步应验证(　　) A．n＝1　　　　　　　　 B．n＝2 C．n＝3　　 D．n＝4 §5　数学归纳法 √ 2．一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　) A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 B　[本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A，C，D不正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 3．用数学归纳法证明“＋…＋＞”时，由k到k＋1，不等式左边的变化是(　　) A．增加一项 B．增加和两项 C．增加和两项，同时减少一项 D．以上结论都不正确 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 C　[当n＝k时，左边＝＋…＋， 当n＝k＋1时，左边＝＋…＋， 故不等式左边的变化是增加和两项，同时减少一项．] 4．(教材P46复习题一A组T19改编)用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为________． 3　[根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3．] 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 5．给出四个等式： 1＝1， 1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)， … (1)写出第5，6个等式，并猜测第n(n∈N＋)个等式； (2)用数学归纳法证明你猜测的等式． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 [解]　(1)第5个等式：1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， 第6个等式：1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)， 第n个等式为：12－22＋32－42＋…＋(－1)n-1n2＝(－1)n-1(1＋2＋3＋…＋n)． (2)证明：①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1＝1，左边＝右边，等式成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立， 即12－22＋32－42＋…＋(－1)k-1k2＝(－1)k-1(1＋2＋3＋…＋k) ＝(－1)k-1·． 则当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k-1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k-1·＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k(k＋1) ＝(－1)k ＝(－1)k(1＋2＋3＋…＋k＋1)． 所以n＝k＋1时，等式也成立， 根据①②可知，∀n∈N＋等式均成立． 1．数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从n＝k到n＝k＋1的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清(不)等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，(不)等式的两边会增加多少项、增加怎样的项． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 (3)利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1时命题也成立”，在书写f (k＋1)时，一定要把包含f (k)的式子写出来，尤其是f (k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 2．数学归纳法的框图表示 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 课时分层作业(十)　数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈ N＋)”，在验证n＝1成立时，左边的项是(　　) A．1　　　　　　　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 42 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 C　[因为左边式子中a的最高指数是n＋1，所以当n＝1时，a的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n＝1时，左边＝1＋a＋a2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 2．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f (n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f (k＋1)－f (k)等于(　　) A．3k－1 B．3k＋1 C．8k　　 D．9k C　[因为f (k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f (k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f (k＋1)－f (k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N＋) B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N＋) C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N＋) D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N＋) B　[n∈N＋且为奇数，由假设n＝2k－1(k∈N＋)时成立推证出n＝2k＋1(k∈N＋)时成立，就完成了归纳递推．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 4．用数学归纳法证明1－＋…＋＝＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　) A． B．－ C． D． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 C　[因为当n＝k时，左端＝1－＋…＋，当n＝k＋1时，左端＝1－＋…＋．所以，左端应在n＝k的基础上加上．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 47 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 5．对于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即 ＜k＋1． 那么当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N＋，不等式均成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的证明过程不正确 √ D　[此同学从n＝k到n＝k＋1的证明过程中没有应用归纳假设．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 二、填空题 6．用数学归纳法证明“设f (n)＝1＋＋…＋，则n＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n－1)＝nf (n)(n∈N＋，n≥2)”时，第一步要证的式子是_______________． 2＋f (1)＝2f (2)　[因为n≥2，所以n0＝2．观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f (1)＝2f (2)．] 2＋f (1)＝2f (2) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 7．用数学归纳法证明＋…＋＞．假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________ ______________________________． ＋…＋＞　[观察不等式左边的分母可知，由n＝k到n＝k＋1左边多出了这一项．] ＋…＋＞ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 8．用数学归纳法证明1＋＋…＋<n(n∈N＋且n>1)，第一步要证明的不等式是_____________，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了________项． 1＋<2　2k　[当n＝2时，1＋<2． 当n＝k时不等式左边有2k－1项， 而当n＝k＋1时不等式左边有2k+1－1项， 所以2k+1－1－(2k－1)＝2k+1－2k＝2·2k－2k＝2k．] 1＋<2 2k　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 三、解答题 9．已知数列{an}，an≥0，a1＝＋an＋1－1＝，用数学归纳法证明：当n∈N＋时，an<an＋1． [证明]　(1)当n＝1时，因为a2是方程＋a2－1＝0的非负根，所以a2＝，即a1<a2成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，0≤ak<ak＋1， 所以＝＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 又ak＋2＋ak＋1＋1>0， 所以ak＋1<ak＋2， 即当n＝k＋1时，an<an＋1也成立． 综上，可知an<an＋1对任意n∈N＋都成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 10．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1(n∈N＋)． (1)写出a1，a2，a3，推测an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得结论． [解]　(1)由Sn＋an＝2n＋1，得a1＝，a2＝，a3＝，推测an＝＝2－(n∈N＋)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 55 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 (2)证明：an＝2－(n∈N＋)． ①当n＝1时，a1＝2－＝，结论成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即ak＝2－，那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1， 因为a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak， 所以2ak＋1＝ak＋2，所以2ak＋1＝4－，所以ak＋1＝2－， 所以当n＝k＋1时结论成立． 由①②知对于任意正整数n，结论都成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 11．如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝1，2也均成立，则下列结论正确的是(　　) A．p(n)对所有正整数n都成立 B．p(n)对所有正偶数n都成立 C．p(n)对所有正奇数n都成立 D．p(n)对所有自然数n都成立 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 A　[由题意若命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立，当n＝1时成立，则p(n)对所有正奇数都成立；当n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立，因此p(n)对所有正整数n都成立．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 12．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N＋”时，从“n＝k”到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是(　　) A．2k＋1　　 B．2(2k＋1) C．　　 D． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 B　[当n＝k(k∈N＋)时， 左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)； 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)， 则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 13．用数学归纳法证明“当n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为_________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是_______________________________． 1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4　[当n＝1时，原式应加到25×1-1＝24， 所以原式为1＋2＋22＋23＋24， 从n＝k到n＝k＋1时需增添的项为25k＋25k+1＋…＋25(k+1)-1．] 1＋2＋22＋23＋24 25k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 14．(源自人教A版教材)设x为实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的正整数，记数列x，x(1＋x)，x(1＋x)2，…，x(1＋x)n-1，…的前n项和为Sn，试比较Sn与nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 §5　数学归纳法 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　由已知可得 Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1． 当n＝2时，S2＝x＋x(1＋x)＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得S2＞2x； 当n＝3时，S3＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1且x≠0，知x2(x＋3)＞0，可得S3＞3x． 由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N＋且n＞1时，Sn＞nx． 下面用数学归纳法证明这个猜想． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 (1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥2)时，不等式成立， 即Sk＞kx， 则Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k． ①当x＞0时，因为k＞1，所以(1＋x)k＞1， 所以x(1＋x)k＞x． ②当－1＜x＜0时，0＜1＋x＜1，且x2＞0．又因为k＞1，所以(1＋x)k＜1＋x， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 可得x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x． 综合①②可得，当x＞－1且x≠0时， Sk＋1＞kx＋x(1＋x)k＞kx＋x＝(k＋1)x， 所以，当n＝k＋1时，猜想也成立． 由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立． $