1.4 数列在日常经济生活中的应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦数列在日常经济生活中的应用这一核心知识点，系统梳理单利与复利的计算原理，构建等差数列（如零存整取）、等比数列（如定期自动转存）模型解决分期付款等实际问题，形成从数列概念到经济应用的完整学习支架。 该资料以银行存款、购房贷款等生活实例为载体，通过导学案例、题型分类及规范答题指导，培养学生数学建模与数学运算核心素养。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过触类旁通练习巩固知识，查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

　数列在日常经济生活中的应用 学业标准 素养目标 1.了解数列在“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”等经济活动中的应用． 2．能在具体的问题情境中，发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型，解决一些实际问题． 1.通过学习银行存款中的单利和复利的计息方式，培养数学抽象、数学运算等核心素养． 2．利用等差、等比数列的相关知识解决经济生产中的问题，提升数学建模等核心素养． 导学 单利与复利 　小王2020年5月16日存入银行1 000元，年利率为1.75%. (1)计算到2021年5月16日得到的本利和； (2)办理一年定期储蓄，以后按约定自动转存，计算到2025年5月16日得到的本利和． [提示]　(1)1 000×(1＋1.75%)＝1 017.5(元). (2)1 000×(1＋1.75%)5≈1 090.62(元). ◎结论形成 单利、复利 单 利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为利息＝本金×利率×存期． 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝P(1＋nr)． 复 利 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法. 复利的计算公式是S＝P(1＋r)n． [拓展]　 (1)单利和复利分别以等差数列和等比数列为数学模型． (2)零存整取、活期储蓄、定期储蓄等都是计单利的储蓄模型． (3)定期自动转存是计复利的储蓄类型． (4)复利计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的． 1．某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是(　　) A． B． C．－1 D．－1 解析　设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设平均增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，所以x＝－1. 答案　C 2．小李年初向银行贷款m万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始还款，分10次等额本息还清，每年1次，问每年应还 万元．(　　) A． B． C． D． 解析　设每年应还x万元，则x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)9＝m(1＋p)10，＝m(1＋p)10，x＝.故选B. 答案　B 3．现存入银行10 000元，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是(　　) A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364 C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366 解析　由复利公式得 S＝10 000×(1＋3.60%)5＝10 000×1.0365. 答案　C 4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，到期后自动转存，那么10年后共得本利和为 万元．(精确到0.001) 解析　10年后的本利和S＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元). 答案　6.246 题型一　等差数列模型的应用 　[教材例1迁移]某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月是开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？ [解析]　因购房时先付150万元， 则欠款1 000万元，依题意分20次付款， 则每次付款的数额顺次构成数列{an}． 则a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，……， 所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1% ＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N＋). 所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列． 所以a10＝60－9×＝55.5， 所以第10个月应付55.5万元， a20＝60－19×＝50.5. 所以S20＝×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105. 所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元). 1．利用等差数列模型解答问题，首先要判断和证明数列是等差数列；如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差数列模型； 2．一定要弄清数列的首项、公差和项数等，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题．　 [触类旁通] 1．某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计息，那么实际取出多少钱？ 解析　实际取出的钱等于本金＋利息． 第1个月存款利息：100×12×0.165%， 第2个月存款利息：100×11×0.165%， …… 第11个月存款利息：100×2×0.165%， 第12个月存款利息：100×1×0.165%， 所以S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2×0.165%＋100×1×0.165% ＝100×0.165%×(1＋2＋3＋…＋12) ＝100×0.165%×＝12.87. 所以实际取出100×12＋12.87＝1 212.87(元). 题型二　等比数列模型的应用 　[教材例3拓展]某商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1 000人的学生公寓，工程于2024年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还建行贷款． (1)若公寓收费标准定为每生每年800元，求到哪一年可偿还建行全部贷款； (2)若公寓管理处要在2032年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元？(精确到元，参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 5) [解析]　依题意，公寓2024年底建成，2025年开始使用． (1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1 000×800＝800 000＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元． 依题意有62×[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n-1]≥500(1＋5%)n+1. 化简得62×(1.05n－1)≥25×1.05n+1. 所以1.05n≥1.734 3. 两边取对数整理得n≥≈≈11.28. 所以取n＝12. 所以到2036年底可全部还清贷款． (2)设每生每年的最低收费标准为x元，因到2032年底公寓共使用了8年． 依题意有[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9. 化简得(0.1x－18)×≥500×1.059. 所以x≥10≈10 ≈10×(18＋81.2)＝992. 故每生每年的最低收费标准为992元． 定期自动转存是复利的储蓄类型，复利问题需转化为等比数列模型解决．　 [触类旁通] 2．(2025·山东威海高二期末)经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应．如果政府增加某项支出a亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加．假设受惠居民将收入增加量的p%用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的p%用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响……假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额是(最初政府支出也算是国内消费)(　　) A．a·(p%)29亿元 B．a·(p%)30亿元 C．亿元 D．亿元 解析　1轮影响后，国内消费总额为a＋a·p%，2轮影响后，国内消费总额为a＋a·p%＋a·(p%)2，…，30轮影响后，国内消费总额为a＋a·p%＋a·(p%)2＋…＋a·(p%)30＝(亿元). 答案　D 题型三　等差、等比数列模型的综合应用 　[教材例2拓展]某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年多获利5 000元．两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.786) [解析]　甲方案十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S10＝≈42.62(万元).又贷款本息总数为10(1＋10%)10＝10×1.110≈25.94(万元)， 所以甲方案净获利42.62－25.94＝16.68(万元). 乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为，前10项和为T10＝1＋＋＋…＋＝＝32.50(万元). 又贷款本息总数为1.1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝1.1×≈17.53(万元)， 所以乙方案净获利32.50－17.53＝14.97(万元). 比较两方案可得甲方案获利较多． [母题变式] (变条件)在本例中，若该企业还有两种技术改造的方案：丙方案，一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润；丁方案，一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息．两种方案均按年息2%的复利计算，试比较两种方案，哪种方案净获利更多？(参考数据：1.259≈7.45，1.2510≈9.3，1.029≈1.20，1.0210≈1.22) 解析　方案丙：由题意知，每年的利润an成等比数列， 且a1＝4，公比q＝1＋25%＝1.25，n＝10， 收入S丙＝≈＝132.8(万元). 净获利W丙＝132.8－40(1＋2%)10≈132.8－48.8＝84(万元). 方案丁：由题意，每年的利润记为数列{bn}，它是等差数列，且b1＝3，公差为1.5，n＝10， 收入S丁＝10×3＋×10×9×1.5＝30＋67.5 ＝97.5(万元). 净获利：W丁＝97.5－20(1＋2%)10≈97.5－24.4 ＝73.1(万元). 比较两方案可得丙方案净获利更多． [素养聚焦]　本例通过数列在日常经济生活中的应用，提升数学建模和数学运算等核心素养． 应用数列知识解决实际问题的一般思路 (1)建模．根据题设条件，建立数列模型： ①分析实际问题的结构特征； ②找出所含元素的数量关系； ③确定为何种数列模型． (2)解模．利用相关的数列知识加以解决： ①分清首项、公差(公比)、项数等； ②分清是求an还是求Sn； ③选用适当的方法求解． (3)还原．把数学问题的解代回实际问题中，根据实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解．　 [触类旁通] 3．张先生2024年年底购买了一辆1.6 L排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金购买了2亩荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶3 000 km就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1 m3，平均可吸收1.8吨二氧化碳． (1)张先生估计第一年(即2025年)会用车12 000 km，以后逐年会增加1 000 km，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？ (2)若种植的林木第一年(即2025年)生长了1 m3，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量？(参考数据：1.114≈3.797 5，1.115≈4.177 2，1.116≈4.595 0) 解析　(1)设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为an(n∈N＋)， 则a1＝＝4，a2＝＝，a3＝＝，…， 显然其构成首项为a1＝4，公差为d＝a2－a1＝的等差数列，所以S10＝10×4＋×＝55， 即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨． (2)记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为bn(n∈N＋)， 则b1＝1×1.8，b2＝1×(1＋10%)×1.8， b3＝1×(1＋10%)2×1.8，…， 其构成首项b1＝1.8，公比q＝1.1的等比数列， 记其前n项和为Tn， 由题意，有Tn＝＝18×(1.1n－1)＞55，解得n≥15. 所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量． [缜密思维提能区] 规范答题 数列模型在经济生活中的应用 [典例]　(13分)假设你正在某公司打工，根据表现，公司给你提供两个加薪的方案： 方案一　每年年末加1 000元； 方案二　每半年结束时加300元． 请你选择． (1)如果在该公司干10年，两种方案各加薪多少元？ (2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？ [审题指导]　—————— [规范解答]　设方案一第n年年末加薪an， 因为每年年末加薪1 000元， 则an＝1 000n； 设方案二第n个半年加薪bn， 因为每半年加薪300元， 则bn＝300n①.(2分) (1)在该公司干10年(20个半年). 方案一：共加薪S10＝a1＋a2＋…＋a10＝55 000(元)；(4分) 方案二：共加薪T20＝b1＋b2＋…＋b20＝20×300＋×300＝63 000(元).(6分) (2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1 000×n＋×1 000 ＝500n2＋500n，(8分) T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2n×300＋×300＝600n2＋300n②.(10分) 令T2n≥Sn，即600n2＋300n≥500n2＋500n， 解得n≥2， 当n＝2时等号成立③. 所以如果干3年以上(包括3年)应选择方案二；如果只干2年，随便选；如果只干1年，应选择方案一．(13分) 知识落实 技法强化 (1)银行存款，付款问题． (2)等差(比)数列的实际应用． (1)两种数列模型． (2)对数列模型是等差数列还是等比数列要准确作出判断和证明，正确区分所求的是项还是和． [必备知识·基础巩固] 1．(2025·安徽宿州高二期中)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数学九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属于现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余3且被6除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数{an}，则a10等于(　　) A．115　　　　　　　 B．117 C．119 D．121 解析　被4除余3的正整数为4n＋3(n∈N＋)，被6除余1的正整数为6m＋1(m∈N＋)，令4n＋3＝6m＋1，得n＝，因为m，n∈N＋，所以m＝2k－1，k∈N＋，所以an＝6(2n－1)＋1＝12n－5，所以a10＝12×10－5＝115. 答案　A 2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：译为“有一个人要走508里路，第一天健步行，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了7天后到达目的地．”那么，此人第1天走的路程是(　　) A．83里 B．192里 C．128里 D．256里 解析　依题意可知这个人每天走的路程构成公比q＝的等比数列，设第1天走的路程为a1，所以S7＝＝a1＝508，解得a1＝256(里). 答案　D 3．某地为了保护耕地资源实行退林还耕，如果2022年退林a万亩，以后每年比上一年增加10%，那么到2029年一共退林(　　) A．10a(1.18－1)万亩 B．a(1.18－1)万亩 C．10a(1.17－1)万亩 D．a(1.17－1)万亩 解析　记2022年为第一年，第n年退耕an万亩，则{an}为等比数列，且a1＝a，公比q＝1＋10%，则问题转化为求数列{an}的前8项和，所以数列{an}的前8项和为＝＝10a(1.18－1).所以到2029年一共退耕10a(1.18－1)万亩． 答案　A 4．龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱．某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鳞片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定骨架材质按图中规律排列(即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列)，则该“龙身”中竹质骨架的个数为(　　) A．161 B．162 C．163 D．164 解析　设有n个碳质骨架，n∈N＋，由已知可得n＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n≥180，若只有(n－1)个碳质骨架，则骨架总数少于180，所以(n－1)＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＜180，所以n2＋3n≥360，且n2＋n＜362，又n∈N＋，解得n＝18，所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有180－18＝162(个). 答案　B 5．某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是 ． 解析　由题意可知，今年年末的总产值为1.1a，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a，公比为1.1.所以其前5项和为S5＝＝11×(1.15－1)a亿元． 答案　11×(1.15－1)a亿元 6．有一条信息，若某人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内分别传给未知信息的另外两人……如果每人只传两人，如此下去，要把信息传遍一个有55人的班级所需时间大约为 小时． 解析　由题意，n小时后得知信息的总人数为1＋2＋22＋…＋2n＝2n+1－1，令2n+1－1≥55，即2n+1≥56，所以n＋1≥6，所以n≥5. 答案　5 7．银行一年定期储蓄存款年息为r，到期后自动转存，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期后自动转存，则q的取值范围为 ． 解析　设存款数为a元，则三年后本利和分别为a(1＋r)3和a＋3aq，由题知a＋3aq＞a(1＋r)3， 解得q＞[(1＋r)3－1]. 答案　q＞[(1＋r)3－1] 8．小华计划从今年4月开始存钱买车，若他第一个月存10 000元，以后每个月在前一个月的基础上增加20%.记小华第一个月(今年4月)存入的金额为a1万元，小华第n个月当月存入的金额为an万元． (1)求小华前3个月的总存款金额； (2)若小华想购买的汽车售价为11万元，求小华至少要存几个月钱才能全款购买这辆汽车．(取1.26≈2.99，1.27≈3.58，1.28≈4.30) 解析　(1)依题意，得a2＝a1(1＋20%)＝1.2a1，a3＝1.2a2，…，an＋1＝1.2an，所以数列{an}是首项为a1，公比为1.2的等比数列，所以an＝1.2n-1a1，又a1＝1，所以小华前3个月的总存款金额为a1＋1.2a1＋1.22a1＝3.64a1＝3.64(万元). (2)由(1)知an＝1.2n-1，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝，由≥11，可得1.2n≥3.2，又1.26≈2.99，1.27≈3.58，1.28≈4.30，所以n≥7，故小华至少要存7个月钱才能全款购买这辆汽车． [关键能力·综合提升] 9．某地区农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，2023年该地区农民人均收入为31 500元(其中工资性收入为18 000元，其他收入为13 500元)，预计该地区自2024年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加1 600元．根据以上数据，2028年该地区农民人均收入介于(参考数据：1.066≈1.418 5，1.065≈1.338 2，1.064≈1.2625)(　　) A．42 000元～44 000元之间 B．44 000元～46 000元之间 C．46 000元～48 000元之间 D．48 000元～50 000元之间 解析　2028年农民收入为18 000·(1＋6%)5＋13 500＋5×1 600≈18 000×1.338 2＋21 500≈45 588，故选B. 答案　B 10．(2025·北京人大附中高二期中)小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她先在一个半径为r的圆纸片上画一个内接正方形，再画该正方形的内切圆，依次重复以上画法，得到了一幅由6个圆和6个正方形构成的图案，依次剪去夹在正方形及其内切圆之间的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一幅剪纸，则该图案(阴影部分)的面积为(　　) A．(π－2)r2 B．(π－2)r2 C．(π－2)r2 D．(π－2)r2 解析　将6个圆从外到内依次记为Oi，i∈{1，2，3，4，5，6}，将6个正方形从外到内依次记为Ai，i∈{1，2，3，4，5，6}，记6次形成的阴影部分从外到内的面积依次为Ti＝S⊙Oi－SAi＝πr－(ri)2＝(π－2)r，其中ri表示Oi的半径． 由题意可知r1＝r，r2＝r1，…，ri＝ri－1，i≥2，故半径成等比数列，且公比为，ri＝r，i∈{1，2，3，4，5，6}，所以Ti＝(π－2)r＝(π－2)r2·，i∈{1，2，3，4，5，6}，故{Ti}为等比数列，且首项为(π－2)r2，公比为，所以T1＋T2＋…＋T6＝＝(π－2)r2，故选C. 答案　C 11．(2025·石家庄模拟)法国数学家费马于1640年提出了Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被数学家欧拉算出F5＝641×6 700 417不是质数．现设an＝log4(n＝1，2，…)，Sn表示数列{an}的前n项和，若32Sn＝63an，则n＝ ． 解析　由题设，an＝2n-1，则Sn＝＝2n－1，又32Sn＝63an， 所以32(2n－1)＝63·2n-1，即2n＝64， 可得n＝6. 答案　6 12．某科研单位打算拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元……以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励． 解析　设第10名到第1名得到的资金数分别是a1，a2，…，a10，则an＝Sn＋1，则a1＝2，an－an－1＝－＝(Sn－Sn－1)＝an，即an＝2an－1，因此每人得到的资金额组成以2为首项，2为公比的等比数列，所以S10＝＝2 046. 答案　2 046 13．(2025·杨浦区高二检测)某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一． 策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足In＋1＝1.02In－0.20； 策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足In＋1＝1.08In－0.46. (1)设第一周的虫害指数I1∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ (2)设第一周的虫害指数I1＝3，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？ 参考数据：lg ≈0.320，lg 1.08≈0.033. 解析　(1)策略A：In＋1＝1.02In－0.20，策略B：In＋1＝1.08In－0.46， 当1.02I1－0.20＝1.08I1－0.46时，可得I1＝， 当I1＝时，两者相等，当I1∈时，策略B的I2更小． 当I1∈时，策略A的I2更小． (2)当I1＝3时，选择策略B，即In＋1＝1.08In－0.46. 两边同时加上x得 In＋1＋x＝1.08 令x＝，即0.08x＝－0.46， 解得x＝－. 故数列是首项为I1－＝3－＝－， 公比为1.08的等比数列． 当In＝0时，则－＝·1.08n-1，可得＝1.08n-1，所以n＝＋1≈11， 所以虫害的危机最快在第11周解除． [学科素养·探索创新] 14．(2025·鹤岗期末)某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为的小数点后前6位数字，编码方式如下： ①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母的位置； ②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为3n的项得到新数列{an}，即2，3，4，6，8，32，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为2n的项得到新数列{an}，即1，2，3，22，5，7，23，9，11，13，…； ③N为数列{an}的前x项和． 如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位，所以x＝11，前11项中有2，22，23，所以有8个奇数，N＝1＋3＋…＋15＋2＋22＋23＝78，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为 ． 解析　当值社员姓徐，则X在26个英文字母中排第24位，故x＝24， 前24项中有3，32，33，所以有21个偶数， 所以N＝2＋4＋…＋42＋3＋32＋33＝＋3＋9＋27＝501， 计算≈0.199 600 8，则当日密码为199600. 答案　199600 15．假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3分别以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线，然后又以A为圆心，AA3为半径画弧……如此下去，请回答以下问题． (1)所得螺旋线CA1，A1A2，A2A3，…的长度是否能够构成等差数列？若能，请求出通项公式an；若不能，请说明理由； (2)设bn＝3an，请证明数列{bn}为等比数列； (3)若bn＝can，则当c满足什么条件时，数列{bn}为等比数列．(直接给出结论，不要求证明) 解析　根据弧长公式知弧长 CA1，A1A2，A2A3，…，A3n－2A3n－1，A3n－1A3n的长度分别为，，…，， 化简得，2×，3×，…，3n×， 此数列是以为首项，以为公差，项数为3n的等差数列． (1)螺旋线CA1，A1A2，A2A3，…的长度能够构成等差数列，根据等差数列的通项公式得an＝＋(n－1)×＝. (2)证明　由(1)得bn＝3， 而＝＝3(n≥2)，故数列{bn}是以3为首项，以3为公比的等比数列． (3)当c≠0时，数列{bn}为等比数列．　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $