1.3.2 等比数列的前n项和-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

3．2　等比数列的前n项和

第1课时　等比数列的前n项和

　要求通项为an＝2n-1的等比数列前64项的和，能不能像等差数列求和一样用倒序相加法？

[提示]　不能用倒序相加法，因为对应各项后的和不相等．

　如何求等比数列{an}的前n项和Sn?

[提示]　设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和为Sn.

由Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1，①

则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn.②

由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn.

当q≠1时，Sn＝；

当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.

　当q≠1时，Sn＝＝－qn＋，即等比数列{an}的前n项和可以写成Sn＝Aqn＋B(q≠1，且AB≠0)的形式，其中A＋B＝0，反之成立吗？

[提示]　成立．若数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠1且AB≠0)，且A＋B＝0，则数列{an}是等比数列．证明如下：当n＝1时，a1＝S1＝Aq＋B＝A(q－1)；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－Aqn-1＝(q－1)·Aqn-1，又因为a1＝A(q－1)满足an＝(q－1)Aqn-1，

所以an＝A(q－1)qn-1，故数列{an}是等比数列．

◎结论形成

等比数列的前n项和公式

[导学点睛]　在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1且q≠0，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.

[拓展]　Sn是数列{an}的前n项和．{an}是公比不等于1的等比数列⇔Sn＝Aqn＋B，且A＋B＝0.

　在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．怎样证明这个关系？

[提示]　因为在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，

所以Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，所以当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列．

◎结论形成

1．前n项和性质

等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(当q＝－1，n为偶数时，上述性质不成立)，公比为qn．

2．项的个数的“奇偶”性质

在等比数列{an}中，公比为q.

(1)若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；

(2)若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠0，q≠1且q≠－1).

[拓展]　若{an}是公比为q的等比数列，前n项积为Tn，n，m∈N＋，则

(1)Tn＝aq；

(2)Tm，，，…是等比数列，公比为qm2.

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)数列1，，，…，的各项和等于2.(　　)

(2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(　　)

(3)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an-1＝.(　　)

(4)1－2＋4－8＋16－…＋(－2)n-1＝.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　)

A．179　　　　　　 B．211

C．243    D．275

解析　因为q4＝＝＝，各项都是正数，

所以q＝，

因此S5＝＝＝211.

答案　B

3．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若27a4＋a7＝0，则＝(　　)

A．10    B．9

C．－8    D．－5

解析　设数列{an}的公比为q，由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0.因为a4≠0，所以27＋q3＝0，解得q＝－3，故＝＝10.

答案　A

4．已知一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比q＝        ．

解析　法一　设S偶与S奇分别是该等比数列偶数项的和与奇数项的和，公比为q，则＝q＝＝2.

法二　设该等比数列的项数为2n，易得该等比数列的奇数项和偶数项也分别成等比数