1.2.1 等差数列的概念及其通项公式-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学等差数列核心知识，以“概念—公式—性质—应用”为脉络搭建学习支架，先通过实例抽象出等差数列概念，推导通项公式，再从函数角度分析增减性，结合等差中项、角标和性质等深化理解，形成完整知识体系。 资料以问题驱动探究，通过导学问题、母题变式等培养数学抽象与逻辑推理素养，如由数列实例归纳概念提升抽象能力，性质应用题强化逻辑推理。分层练习设计兼顾课中教学与课后巩固，易错案例助学生规避误区，有效提升数学运算与问题解决能力。

　等差数列 2．1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 学业标准 素养目标 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的判断与证明的方法．(重点) 2．会归纳等差数列的通项公式，会运用通项公式解决一些简单问题．(重点、难点) 1.借助等差数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助等差数列通项公式的求解与运用，提升数学运算等核心素养． 导学1 等差数列的概念 　数列： (1)0，5，10，15，20； (2)48，53，58，63； (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5. 以上三个数列有什么共同的特征？ [提示]　共同特征：从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数． 　问题1中的数列的共同特征能不能用一个式子表示？ [提示]　能，如果用d表示那个常数，则可以表示成an＋1－an＝d. ◎结论形成 等差数列的概念 　对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．由此定义可知，对等差数列{an}，有a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝…＝d． [导学点睛]　 对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”． (2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件． (3)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用d＝an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N＋. 导学2 等差数列的通项公式 　若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，你能用a1和d表示出a2，a3，a4吗？ [提示]　a2－a1＝d，即a2＝a1＋d； a3－a2＝d，即a3＝a2＋d＝a1＋2d； a4－a3＝d，即a4＝a3＋d＝a1＋3d. 　由问题1中的a2，a3，a4的表示，你能猜想等差数列的通项公式吗？ [提示]　猜想通项公式为an＝a1＋(n－1)d. ◎结论形成 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． [拓展]　在公差为d的等差数列中，an与am满足关系：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(　　) (2)若数列{an}满足an－an－1＝d(d是常数)，则{an}是等差数列．(　　) (3)若数列{an}满足an＋2－an＝3，则{an}是等差数列．(　　) (4)若a＋c＝2b，则实数a，b，c成等差数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选题)下列数列是等差数列的是(　　) A．0，0，0，0，0，… B．1，11，111，1111，… C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，… 解析　根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，每一项与前一项的差不是同一个常数． 答案　AC 3．已知数列{an}为等差数列，a4＝2，a7＝－4，那么数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝－2n＋10 B．an＝－2n＋5 C．an＝－n＋10 D．an＝－n＋5 解析　设数列{an}的首项为a1，公差为d， 由题得所以 所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝－2n＋10. 答案　A 4．已知等差数列－5，－2，1，…，则该数列的第20项为 ． 解析　由已知得，此等差数列的公差为d＝3， 故a20＝－5＋19×3＝52. 答案　52 题型一　等差数列的概念 [基础题组] 1．(多选题)下列数列中成等差数列的是(　　) A．，， B．lg 5，lg 6，lg 7 C．1，， D．3，3，3 解析　对于A，－≠－，故A不是等差数列；对于B，lg 6－lg 5≠lg 7－lg 6，故B不是等差数列；对于C，－1＝－，故C是等差数列；对于D，公差为0，故D是等差数列．故选CD. 答案　CD 2．判断下列数列是不是等差数列，如果不是，请说明理由． (1)an＝ (2)an＝a，且n∈N＋(a为常数). 解析　(1)由题意得a1＝6，a2＝5，当n≥3时，an－an－1＝－2.由于5－6＝－1，而从第3项起，每一项与前一项的差等于同一个常数－2，所以该数列不是等差数列，但可以说从第2项起该数列是等差数列． (2)该数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数0，所以该数列是等差数列． 判断一个数列是不是等差数列，切记不可通过计算a2－a1，a3－a2，a4－a3等几个有限的式子的值后，根据它们的值都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论(事实上，由以上3个式子仅可得出数列{an}的前四项成等差数列)，因为由特殊到一般得出的结论不一定正确．　 题型二　等差数列的通项公式及应用 　[教材例2拓展](1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an； (2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值． [解析]　(1)法一　因为a4＝7，a10＝25， 则得 所以an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 即通项公式an＝3n－5(n∈N＋). 法二　因为a4＝7，a10＝25， 所以a10－a4＝6d＝18， 所以d＝3，所以an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋). (2)法一　由得 解得a1＝，d＝－. 所以a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－. 法二　由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d， 解得d＝－. 所以a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－. 等差数列通项公式的应用 (1)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量． (2)若所求问题中的条件与结论的联系不明显，则可把所给条件都化为与a1和d的方程组，解方程组可求出a1和d.　 [触类旁通] 1．(1)已知数列是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝(　　) A．－　　　　　　　　 B．－ C． D． (2)(2025·日照高二月考)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 解析　(1)设等差数列的公差为d，则－＝3d＝－，解得d＝－，所以＝＋9d＝1－＝－，所以a10＝－.故选A. (2)设首项为a1，公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d， 由已知 解得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋， 所以153是所给数列的第45项． 答案　(1)A　(2)略 题型三　等差数列的判定与证明 　[教材例1提升](1)判断下列数列是否为等差数列． ①an＝3n＋2；②an＝n2＋n. (2)在数列{an}中，a1＝0，a2＝1，当n≥2时，＝.求证：数列{an}是等差数列． (1)[解析]　①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数， 所以此数列为等差数列． ②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n) ＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列． (2)[证明]　当n≥2时，由＝， 得(n－1)an＋1＝nan， 所以nan＋2＝(n＋1)an＋1，两式相减得 nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan， 整理得，nan＋2＋nan＝2nan＋1， 所以an＋2＋an＝2an＋1， 所以an＋2－an＋1＝an＋1－an， 又因为a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1， 所以数列{an}是等差数列． [母题变式] 1．(变条件)本例(2)中若将“a1＝0，a2＝1，当n≥2时，＝”改为“a1＝1，当n≥1时，＝，n∈N＋”，试判断此数列是否为等差数列？ 解析　因为由＝，得nan＋1＝(n＋1)an， 所以(n＋1)an＋2＝(n＋2)an＋1， 两式相减得 (n＋1)an＋2－nan＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 整理得，(n＋1)an＋2＋(n＋1)an＝2(n＋1)an＋1， 所以an＋2＋an＝2an＋1，n∈N＋， 即an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1＝1， 所以数列{an}是等差数列． 2．(变条件、变结论)已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋). (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　因为an＋1＝，a1＝3， 所以＝＝1，＝ ＝＝＝ ＝＋. 即－＝，n∈N＋. 故数列是首项为1，公差为的等差数列． (2)解析　由(1)知＝＋(n－1)×＝，所以an＝，n∈N＋. 1．要判断或证明数列{an}是等差数列，只需证明an＋1－an＝d，其中d是常数． 2．要判断或证明数列{an}不是等差数列，可以举出反例，如说明前三项不是等差数列，也可以运用反证法间接证明． [提醒]　当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数)，无法说明数列{an}是等差数列，因为a2－a1不一定等于d.　 [触类旁通] 2．(2025·漳州期末)已知数列{an}的通项公式an＝2n＋1，判断数列{log2(an－1)}是否为等差数列，并证明你的结论． 解析　数列{log2(an－1)}是等差数列，证明如下： 令bn＝log2(an－1)，因为an＝2n＋1， 所以bn＝log2(an－1)＝log2(2n＋1－1)＝n. 所以bn＋1＝n＋1，则bn＋1－bn＝1，又b1＝1， 所以{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． 即{log2(an－1)}是首项为1，公差为1的等差数列． [缜密思维提能区] 易错案例 对等差数列的概念理解不深致误 [典例]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式． [错解]　由已知，得an＋1－an＝2n， 所以{an}是公差为2n的等差数列， 于是an＝1＋(n－1)·2n＝2n2－2n＋1. [正解]　由已知，得an＋1－an＝2n， 所以a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，a4－a3＝2×3，…，an－an－1＝2(n－1)， 以上各式相加，得an－a1＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)， 所以an＝n2－n＋1. [纠错心得]　等差数列的定义是判断或证明一个数列是不是等差数列的重要依据，要说明{an}是等差数列，应证明an＋1－an＝d，其中d必须是一个与n无关的常数． 知识落实 技法强化 (1)等差数列的有关概念． (2)等差数列的通项公式及应用、证明． (1)证明数列是等差数列时常用定义法、公式法． (2)证明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可． [必备知识·基础巩固] 1．下列数列不是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 解析　根据等差数列的定义，可得：A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列． 答案　C 2．已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，若an＝2 026，则序号n等于(　　) A．667　　　　　　　 B．668 C．675 D．676 解析　依题意，得an＝1＋3(n－1)＝3n－2，令2 026＝3n－2，解得n＝676. 答案　D 3．已知{an}是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10等于(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由得解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝9－(n－1)＝－n＋10， 所以a10＝－10＋10＝0. 答案　B 4．(2025·河南洛阳一中高二月考)－401是等差数列－5，－9，－13，－17，…中的(　　) A．第98项 B．第99项 C．第100项 D．第101项 解析　根据题意，数列－5，－9，－13，－17，…是等差数列，数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1，令an＝－4n－1＝－401，解得n＝100.故－401是数列的第100项． 答案　C 5．若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝ ． 解析　由题意得该等差数列的公差d＝＝，所以c－a＝2d＝. 答案　 6．已知{an}为等差数列，且a5－2a2＝1，a3＝－2，则公差d＝ ． 解析　根据题意得 a5－2a2＝a1＋4d－2(a1＋d)＝－a1＋2d＝1，① 又a3＝a1＋2d＝－2，② 由①②联立，得d＝－. 答案　－ 7．已知{an}是等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝ ． 解析　由题意知 即解得 所以a5＝a1＋4d＝47－32＝15. 答案　15 8．已知在数列{an}中，a1＝1，a3＝4. (1)若数列{an}是等差数列，求a11的值； (2)若数列是等差数列，求数列{an}的通项公式． 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d. 由题设，2d＝4－1＝3，所以d＝. 所以an＝1＋(n－1)＝－＋，所以a11＝16. (2)设bn＝，则数列{bn}是等差数列， b1＝，b3＝， 所以2d＝－，即d＝－. 所以bn＝－(n－1)＝， 即＝，所以an＝. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列．若81是该数列中的一项，则公差可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　因为数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列，所以an＝1＋(n－1)d. 因为81是该数列中的一项，所以81＝1＋(n－1)d， 所以n＝＋1.因为d，n∈N＋， 所以d是80的因数，故d可能是2，4，5，不可能是3.故选ACD. 答案　ACD 10．数列{an}满足a1＝2，＝＋1(n∈N＋)，则(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 解析　记bn＝，则bn＋1＝bn＋1，b1＝＝1，故数列{bn}是以b1＝1为首项，1为公差的等差数列，故bn＝1＋(n－1)×1＝n＝，所以an＝1＋＝.故选B. 答案　B 11．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为 ． 解析　因为＝＋，a1＝8， 所以 －＝，＝2， 所以数列{}是以2为首项，为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×＝(n＋1)， 所以an＝2(n＋1)2. 答案　an＝2(n＋1)2 12．(2025·徐州高二检测)若数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5成等差数列，则的值为 ． 解析　数列{an}是公差不为0的等差数列，ln a1，ln a2，ln a5成等差数列， 所以ln a2－ln a1＝ln a5－ln a2， 即ln (a1＋d)－ln a1＝ln (a1＋4d)－ln (a1＋d)， 即＝，所以(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)， 所以a＋2a1d＋d2＝a＋4a1d， 解得d＝2a1，所以＝＝3. 答案　3 13．已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16. (1)证明：数列是公差为－2的等差数列； (2)若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，求新数列的第41项． (1)证明　设数列{an}的公差为d， 因为a2＝4，a6＝16， 所以4d＝a6－a2＝12，得d＝3， 所以an＝a2＋(n－2)d＝3n－2， 设bn＝an－3n，则bn＝－2n－， 所以bn＋1－bn＝－2， 即数列是公差为－2的等差数列． (2)解析　由(1)得a1＝4－3＝1，设新数列为{cn}，其公差为d1，则c1＝1，c5＝4， 所以4d1＝3，得d1＝， 所以c41＝1＋(41－1)×＝31. [学科素养·探索创新] 14．(多选题)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有(　　) A．若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列 B．数列{(－1)n}是等方差数列 C．若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{an}一定是常数列 D．若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(n∈N＋，k为常数)不是等方差数列 解析　根据等方差数列的定义易知A正确；因为(－1)2n－(－1)2(n-1)＝0，所以数列{(－1)n}是等方差数列，B正确； 若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，设公差为d，则a－a＝(an－an－1)·(an＋an－1)＝d[2a1＋(2n－3)d]＝2a1d＋(2n－3)d2＝p. 又p为常数，所以d＝0，C正确； 若数列{an}是等方差数列，则a－a＝p， a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp为常数，D错误． 答案　ABC 15．(2025·潍坊高二检测)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2, … )，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由． 解析　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)， 且a1＝1. 所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3. 从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)数列 {an}不可能为等差数列， 理由如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)， a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ). 若存在λ，使{an}为等差数列， 则a3－a2＝a2－a1， 即(5－λ)(2－λ)＝1－λ， 解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24. 这与{an}为等差数列矛盾． 所以，不存在λ使{an}是等差数列． 第2课时　等差数列的性质及其应用 学业标准 素养目标 1.理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项．(重点) 2．会从函数的角度研究等差数列的增减性并能运用等差数列的性质解决问题．(重点、难点) 1.借助等差中项的学习，提升数学抽象等核心素养． 2．通过等差数列性质的探究性应用，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学1 从函数角度研究等差数列 　给出等差数列{an}：1，5，9，13，…，其通项公式是什么？从函数的角度看，an是关于n的什么函数？其图象有什么特点？该数列的增减性如何？ [提示]　通项公式为an＝4n－3，an是关于n的一次函数，其图象是直线y＝4x－3上的一群孤立的点，显然是递增函数． 　由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，那么这个等差数列的图象与一次函数y＝dx＋(a1－d)(其中d≠0)图象之间有什么关系？公差d的几何意义是什么？ [提示]　等差数列an＝dn＋(a1－d)的图象就是一次函数y＝dx＋(a1－d)图象的一个子集，是直线y＝dx＋(a1－d)上的均匀分布的一群孤立的点．公差d的几何意义就是对应直线y＝dx＋(a1－d)的斜率． ◎结论形成 从函数的角度研究等差数列的增减性与图象 由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)可知，其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. 当d>0时，{an}为递增数列，如图甲所示； 当d＜0时，{an}为递减数列，如图乙所示； 当d＝0时，{an}为常数列，如图丙所示． [导学点睛] 等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列 一次函数 解析式 an＝kn＋b(n∈N＋) f(x)＝kx＋b(k≠0) 不同点 定义域为N＋，图象是一系列孤立的点(在一条直线上) 定义域为R，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式 导学2 等差中项 　若三个数a，b，c成等差数列，那么它们之间的关系应如何表示？ [提示]　b－a＝c－b，即2b＝a＋c. 　等差数列中的任意连续三项之间有什么关系？ [提示]　2an＝an－1＋an＋1. ◎结论形成 等差中项 1．概念 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，并且A＝． 2．结论 在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项． 导学3 等差数列项的运算性质 　请你观察几个具体的等差数列，通过计算分析判断：与首末两项“等距离”的两项之和是否等于首项与末项的和？当m＋n＝p＋q时，是否有am＋an＝ap＋aq？特别地，当m＋n＝2t时，am，an，at之间的关系是什么？ [提示]　等于；有am＋an＝ap＋aq，am＋an＝2at. ◎结论形成 等差数列项的运算性质 1．等差数列的项的对称性．在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. 2．项的个数相同的前提下，项数和相等，对应项之和相等，即在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，特别地，若m＋n＝2t，则am＋an＝2at． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个实数都有等差中项且唯一．(　　) (2)在等差数列的通项公式中，an是关于n的一次函数．(　　) (3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(　　) (4)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项仍构成等差数列．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　) A．12　　　　　　　　 B．16 C．20 D．24 解析　在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16. 答案　B 3．(多选题)设数列{an}，{bn}均是公差为d(d≠0)的等差数列，则下列数列中是等差数列的是(　　) A．{man}(m为常数) B．{a－b} C．{an－bn} D．{anbn} 解析　等差数列{an}，{bn}的公差均为d(d≠0)，对于A，则man＋1－man＝m(an＋1－an)＝md(常数)，知数列{man}是等差数列；对于B，由(a－b)－(a－b)＝(an＋1－an)(an＋1＋an)－(bn＋1－bn)·(bn＋1＋bn)＝d[2a1＋(2n－1)d]－d[2b1＋(2n－1)d]＝2d(a1－b1)为常数，知数列{a－b}为等差数列；对于C，由an＋1－bn＋1－(an－bn)＝(an＋1－an)－(bn＋1－bn)＝0为常数，知数列{an－bn}为等差数列；对于D，由an＋1bn＋1－anbn＝(an＋d)(bn＋d)－anbn＝d2＋d(an＋bn)不为常数，知数列{anbn}不是等差数列． 答案　ABC 4．(2025·安徽池州高二期中)在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知an＝pn＋q(p，q为常数)，则a2 025＝ ． 解析　根据题意可知数列{an}为等差数列，且公差d＝＝2，故a2 025＝a1＋(2 025－1)d＝3＋2 024×2＝4 051. 答案　4 051 题型一　等差中项及其应用 　(1)若3，x，y，z，12成等差数列，则x＋y＋z＝ ； (2)一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数． [解析]　(1)由等差中项的定义可知x＋z＝3＋12＝2y，即y＝，所以x＋y＋z＝2y＋y＝3y＝. (2)设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则有 解得 所以所求三个数分别是1，3，5或5，3，1. [答案]　(1)　(2)略 [母题变式] 1．(变条件)将本例(2)的条件改为已知三个数成等差数列并且是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 解析　设这三个数为a－d，a，a＋d. 由已知得 由①，得a＝6，代入②，得d＝±2. 因为该数列是递增的，所以d＝－2舍去． 所以这三个数为4，6，8. 2．(变条件、变结论)若将本例(2)中的三个数改为四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解析　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 由题意可知， 即解得或 故这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 1．三个数或四个数成等差数列的设法 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时， 方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解． 方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a－d，a，a＋d；四个数时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 2．{an}为等差数列⇔2an＝an＋1＋an－1(n≥2，且n∈N＋)可作为判断等差数列的一种方法．　 [触类旁通] 1．(1)(2025·长沙高二检测){an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝(　　) A．2 B． C．1 D． (2)已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． 解析　(1)因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2，a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2， 解得d＝1. (2)设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则 又因为是递增数列，所以d>0， 所以解得a＝±，d＝， 此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1. 答案　(1)C　(2)略 题型二　等差数列性质的应用 角度1　角标和相等性质 　(1)(2025·湖北咸宁高二月考)已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为(　　) A．10　　　　　　 B．－10 C．15 D．－15 (2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值为 ． (3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值． [解析]　(1)法一　设等差数列{an}的公差为d，则30＝(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10，所以a3－2a5＝(a1＋2d)－2(a1＋4d)＝－a1－6d＝－10. 法二　由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10，所以a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10. (2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28. (3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41. [答案]　(1)B　(2)28　(3)略 [素养聚焦]　在等差数列性质的应用过程中，重点提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助a1，d建立方程组进行运算，这是最基本的方法；二是利用性质运算，运用等差数列的性质可简化计算，往往会有事半功倍的效果．　 角度2　等差数列的增减性 　[教材例4拓展](1)设等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，若an＞0，则项数n的最大值是 ． (2)(2025·湖北咸宁高二月考)写出同时满足下面两个条件的数列{an}的一个通项公式an＝ ． ①{an}是递减数列；②对任意m，n∈N＋，都有an＋m＝am＋an. [解析]　(1)因为a7＋a8＋a9＝3a8＞0，而a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a7＞0，a8＞0，a9＜0，a10＜0，故等差数列{an}单调递减，所以，对于等差数列{an}，要使an＞0的最大n值为8. (2)假设数列{an}为等差数列，设其公差为d，由条件②可得a1＋(m＋n－1)d＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d，所以a1＝d；再根据①{an}是递减数列，可知d<0，则an＝a1＋(n－1)d＝nd，且d<0.取d＝－1，此时an＝－n，满足题意． [答案]　(1)8　(2)－n(答案不唯一) 等差数列增减性的应用 根据等差数列的单调性可以得到正负转折项，可以用来求与项数相关的最值问题．　 [触类旁通] 2．(1)在等差数列{an}中，a2＋a3＝4，a5＋a6＝8，则a4＝(　　) A．4 B． C．3 D．2 (2)若{an}是等差数列，首项a1＞0，a19＋a20＞0，a19a20＜0，则使an＞－a1成立的最大自然数n是(　　) A．20 B．37 C．38 D．40 解析　(1)因为(a2＋a3)＋(a5＋a6)＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)＝4a4＝12，所以a4＝3. (2)因为{an}是等差数列，a19＋a20＞0，a19a20＜0，说明a19，a20异号，所以{an}非常数等差数列而是单调数列，又a1＞0，所以a19＞0，a20＜0，由a19＋a20＞0⇒a1＋a38＞0，由a20＜0⇒2a20＜0⇒a1＋a39＜0，因此使an＞－a1成立的最大自然数n是38. 答案　(1)C　(2)C 题型三　等差数列的实际应用 　[教材例5提升]某公司2022经销一种电子产品，获利200万元，从2023年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不研发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将出现亏损？ [解析]　记2022年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年的获利构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司经销此产品将出现亏损． 设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20， 所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n. 由题意知数列{an}为递减数列，令an＜0， 即an＝220－20n＜0，得n＞11， 即从第12年起，也就是从2033年开始，该公司经销此产品将出现亏损． 解与等差数列有关的实际问题的策略 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．　 [触类旁通] 3．古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人，官赐金，依等次差降之．上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问各得金几何及未到三人复应得金几何．”则该问题中未到三人共得金 斤． 解析　设十人得金按等级依次设为a1，a2，…，a10，则a1，a2，…，a10成等差数列，且设等差数列a1，a2，…，a10的公差为d，则解得d＝－， 所以a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝. 答案　 知识落实 技法强化 (1)由等差数列构造新的等差数列． (2)等差数列中任意两项之间的关系． (3)等差数列的实际应用． (1)活用性质，数列模型． (2)切实把握性质的特点． [必备知识·基础巩固] 1．(2025·福建三明期末)若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为(　　) A．－　　　　　　　 B． C． D．5 解析　由题意得2(2a＋1)＝a－1＋4a－2， 解得a＝5.故选D. 答案　D 2．(2025·安徽六安高二期中)在数列{an}中，已知2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)，且a5＋a8＝16，则a1＋a2＋…＋a12＝(　　) A．256 B．196 C．144 D．96 解析　由2an＋1＝an＋an＋2，得an＋1－an＝an＋2－an＋1，则{an}为等差数列．又a5＋a8＝16，所以由等差数列的性质知a1＋a2＋…＋a12＝6(a5＋a8)＝96.故选D. 答案　D 3．(2025·湖北武汉二中高二期中)设{an}是等差数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由{an}是等差数列，a1＜a2＜a3，可得d＝a2－a1＝a3－a2＞0，所以数列{an}是递增数列，即充分性成立；若数列{an}是递增数列，则必有a1＜a2＜a3，即必要性成立，所以“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充要条件． 答案　C 4．下列说法中正确的是(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 解析　因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c， 所以2b＋4＝a＋c＋4， 即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)， 所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确． 取a＝1，b＝2，c＝3， 则a2＝1，b2＝4，c2＝9不成等差数列，故A不正确． 而log21，log22，log23也不成等差数列，故B不正确． 而21，22，23也不成等差数列，故D不正确． 答案　C 5．(2025·重庆七中高二检测)已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝24，则a3＋a6＋a9的值为 ． 解析　因为{an}是等差数列，设公差为d，所以a2＋a5＋a8－(a1＋a4＋a7)＝3d，a3＋a6＋a9－(a2＋a5＋a8)＝3d，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×24－15＝33. 答案　33 6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为 ． 解析　设这三个数为a－d，a，a＋d， 则 解得或 所以这三个数为－1，3，7或7，3，－1. 所以这三个数的积为－21. 答案　－21 7．在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝ ． 解析　∵等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16， ∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16， ∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16， ∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4. 答案　4 8．在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列． (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列中的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解析　(1)原数列的公差d＝－3－(－5)＝，所以新数列的公差d′＝d＝，故新数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)＝n－. (2)设28是新数列的第n项，则－＝28，解得n＝45∈N＋，所以28是新数列中的第45项． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有(　　) A．a1＋a101>0 B．a2＋a100＝0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 解析　设等差数列{an}的公差为d，易知d>0. 因为等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0， 且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a 51， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，所以a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B，D正确，A错误．又因为a51＝a1＋50d＝0，所以a1＝－50d，所以a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d>0，故C错误． 答案　BD 10．《Rhind Papyrus》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把600个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份为(　　) A.5 B．10 C．11 D．55 解析　设分得的每份面包个数从小到大为等差数列{an}，公差为d(d＞0)， 可得 所以解得a1＝10.故选B. 答案　B 11．等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N＋都有＝，则＋＝ ． 解析　由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6， 所以＋＝＝＝＝1. 答案　1 12．若三个数a－4，a＋2，26－2a适当排列后构成递增等差数列，则a的值为 ． 解析　显然a－4＜a＋2， 若a－4，a＋2，26－2a成等差数列，则 (a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)， 所以a＝6，相应的等差数列为2，8，14. 若a－4，26－2a，a＋2成等差数列，则 (a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)， 所以a＝9，相应的等差数列为5，8，11. 若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则 (26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)， 所以a＝12，相应的等差数列为2，8，14. 答案　6或9或12 13．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 甲　　　　　　　　　　　乙 请你根据提供的信息回答问题． (1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． 解析　由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn. (1)由a1＝1，a6＝2，得 ∴得a2＝1.2. 由b1＝30，b6＝10，得 ∴得b2＝26. ∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2， 即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只． (2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了． [学科素养·探索创新] 14．(2025·辽宁部分高中高二期中)已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n－1，bn＝3n－2，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{cn}，则数列{cn}的通项公式为(　　) A．cn＝3n－2 B．cn＝4n－1 C．cn＝5n－3 D．cn＝6n－5 解析　由已知可得，数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，而数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1，公差为6的等差数列，故cn＝1＋(n－1)×6＝6n－5.故选D. 答案　D 15．若数列{an}满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b2 020＝20 200，则b2b2 019的最大值是 ． 解析　由数列为“调和数列”，可得－＝bn＋1－bn＝d(n∈N＋，d为常数)， ∴数列{bn}是公差为d的等差数列， ∵b1＋b2＋…＋b2 020＝20 200，且b1＋b2 020＝b2＋b2 019＝b3＋b2 018＝…＝b1 010＋b1 011， ∴1 010(b2＋b2 019)＝20 200，∴b2＋b2 019＝20. 又b2>0，b2 019>0， ∴b2＋b2 019≥2， 即b2b2 019≤＝100，当且仅当b2＝b2 019＝10时，等号成立， ∴(b2b2 019)max＝100. 答案　100 学科网（北京）股份有限公司 $