1.2.1 等差数列的概念及其通项公式-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

　等差数列

2．1　等差数列的概念及其通项公式

第1课时　等差数列的概念及其通项公式

　数列：

(1)0，5，10，15，20；

(2)48，53，58，63；

(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5.

以上三个数列有什么共同的特征？

[提示]　共同特征：从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数．

　问题1中的数列的共同特征能不能用一个式子表示？

[提示]　能，如果用d表示那个常数，则可以表示成an＋1－an＝d.

◎结论形成

等差数列的概念

　对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．由此定义可知，对等差数列{an}，有a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝…＝d．

[导学点睛]　

对等差数列定义的理解

(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．

(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件．

(3)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．注意公差是每

一项与其前一项的差，且用d＝an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N＋.

　若一个等差数列{an}，首项是a1，公差为d，你能用a1和d表示出a2，a3，a4吗？

[提示]　a2－a1＝d，即a2＝a1＋d；

a3－a2＝d，即a3＝a2＋d＝a1＋2d；

a4－a3＝d，即a4＝a3＋d＝a1＋3d.

　由问题1中的a2，a3，a4的表示，你能猜想等差数列的通项公式吗？

[提示]　猜想通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

◎结论形成

等差数列的通项公式

若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．

[拓展]　在公差为d的等差数列中，an与am满足关系：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋).

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(　　)

(2)若数列{an}满足an－an－1＝d(d是常数)，则{an}是等差数列．(　　)

(3)若数列{an}满足an＋2－an＝3，则{an}是等差数列．(　　)

(4)若a＋c＝2b，则实数a，b，c成等差数列．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．(多选题)下列数列是等差数列的是(　　)

A．0，0，0，0，0，…

B．1，11，111，1111，…

C．－5，－3，－1，1，3，…

D．1，2，3，5，8，…

解析　根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，每一项与前一项的差不是同一个常数．

答案　AC

3．已知数列{an}为等差数列，a4＝2，a7＝－4，那么数列{an}的通项公式为(　　)

A．an＝－2n＋10

B．an＝－2n＋5

C．an＝－n＋10

D．an＝－n＋5

解析　设数列{an}的首项为a1，公差为d，

由题得所以

所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝－2n＋10.

答案　A

4．已知等差数列－5，－2，1，…，则该数列的第20项为        ．

解析　由已知得，此等差数列的公差为d＝3，

故a20＝－5＋19×3＝52.

答案　52

题型一　等差数列的概念 

[基础题组]

1．(多选题)下列数列中成等差数列的是(　　)

A．，，    B．lg 5，lg 6，lg 7

C．1，，    D．3，3，3

解析　对于A，－≠－，故A不是等差数列；对于B，lg 6－lg 5≠lg 7－lg 6，故B不是等差数列；对于C，－1＝－，故C是等差数列；对于D，公差为0，故D是等差数列．故选CD.

答案　CD

2．判断下列数列是不是等差数列，如果不是，请说明理由．

(1)an＝

(2)an＝a，且n∈N＋(a为常数).

解析　(1)由题意得a1＝6，a2＝5，当n≥3时，an－an－1＝－2.由于5－6＝－1，而从第3项起，每一项与前一项的差等于同一个常数－2，所以该数列不是等差数列，但可以说从