1.1.2 数列的函数特性-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

1.2　数列的函数特性

　数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？

[提示]　数列还可以用图象、列表来表示．

　以数列2，4，6，8，10，12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？

[提示]　(1)通项公式法：an＝2n.

(2)列表法：

(3)图象法：

　类比函数的单调性，问题2中的数列的增减性如何？

[提示]　问题2中的数列是递增数列，它满足an＋1>an.

◎结论形成

1．数列的图象

可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(n，an)，n＝1，2，3，…这个图象也

称为数列的图象．

2．数列的增减性

[拓展]

周期数列的概念

观察摆动数列－1，1，－1，1，－1，1，－1，1，…，我们可以发现，数列的项－1，1重复出现，用公式表示为an＝an＋2.若记f(n)＝an，则可以表示为f(n)＝f(n＋2)，即数列中的项循环出现，我们称此类数列为周期数列．周期数列的递推公式的一般形式为an＋k＝an(n∈N＋，k∈N＋，k≥2)，如数列1，2，3，1，2，3，1，2，3，…是周期为3的周期数列，满足an＋3＝an(n∈N＋).

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)数列可以看作是定义域为正整数集的函数的函数值.(　　)

(2)函数y＝f(x)为减函数，则数列an＝f(n)必为递减数列．(　　)

(3)0，1，0，1，…是常数列．(　　)

(4)数列是递增数列．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．(2025·重庆永川北山中学月考)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)

A．1，，，，…

B．sin ，sin ，sin ，…

C.－1，－，－，－，…

D．1，，，…，

解析　观察可知A中数列是递减数列，B中数列是摆动数列，D中数列是有穷数列，均不符合题意．故选C.

答案　C

3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　)

A．递增数列　　　　　 B．递减数列

C．常数列    D．不能确定

解析　an＋1－an＝3>0，故数列{an}为递增数列．

答案　A

4．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋24n，则数列{an}各项中的最大项是(　　)

A．第4项    B．第5项

C．第6项    D．第7项

解析　因为an＝－2n2＋24n＝－2(n－6)2＋72，

所以当n＝6时，an取得最大值为a6，故选C.

答案　C

题型一　图象法判断数列的增减性

　[教材例4迁移]已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图象，并判断增减性．

[解析]　图象如图所示，当1≤n≤4，n∈N＋时，数列{an}是递减的；当n≥5，n∈N＋时，数列{an}也是递减的．

数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而判断数列的增减性．　

[触类旁通]

1．根据下面3个数列的通项公式，分别作出它们的图象，并判断它们是递增数列还是递减数列．

(1)an＝－；(2)bn＝；(3)cn＝.

解析　(1)图象如图①，由图象知数列{an}为递减数列．

(2)图象如图②，由图象知数列{bn}为递增数列．

(3)图象如图③，由图象观察表示数列{cn}的各点在横轴上、下摆动，它不是递增数列，