1.1.2 数列的函数特性-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦“数列的函数特性”核心知识点，从函数视角出发，通过类比函数的表示方法（通项公式、列表、图象）引入数列的表示，进而探究数列的增减性（递增、递减、常数列）及周期数列概念，构建“定义-判断方法（作差、作商、函数性质）-应用（求最大项、参数范围）”的完整学习支架。 该资料以导学问题引导学生类比函数特性自主探究，结合具体数列实例（如2n、二次函数型数列）培养直观想象与逻辑推理素养。题型分层设计覆盖基础巩固与综合提升，课中助力教师引导学生深化理解，课后便于学生回顾方法、查漏补缺，强化知识应用能力。

1.2　数列的函数特性 学业标准 素养目标 1.理解数列的函数特性．(重点) 2．会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性．(难点) 1.通过学习数列的函数特性，培养直观想象等核心素养． 2．通过判断数列的增减性，提升逻辑推理等核心素养． 导学 数列的函数特性 　数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？ [提示]　数列还可以用图象、列表来表示． 　以数列2，4，6，8，10，12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？ [提示]　(1)通项公式法：an＝2n. (2)列表法： n 1 2 3 … k … an 2 4 6 … 2k … (3)图象法： 　类比函数的单调性，问题2中的数列的增减性如何？ [提示]　问题2中的数列是递增数列，它满足an＋1>an. ◎结论形成 1．数列的图象 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(n，an)，n＝1，2，3，…这个图象也称为数列的图象． 2．数列的增减性 递增 数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列 递减 数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列． 常数列 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列 [拓展] 周期数列的概念 观察摆动数列－1，1，－1，1，－1，1，－1，1，…，我们可以发现，数列的项－1，1重复出现，用公式表示为an＝an＋2.若记f(n)＝an，则可以表示为f(n)＝f(n＋2)，即数列中的项循环出现，我们称此类数列为周期数列．周期数列的递推公式的一般形式为an＋k＝an(n∈N＋，k∈N＋，k≥2)，如数列1，2，3，1，2，3，1，2，3，…是周期为3的周期数列，满足an＋3＝an(n∈N＋). 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列可以看作是定义域为正整数集的函数的函数值.(　　) (2)函数y＝f(x)为减函数，则数列an＝f(n)必为递减数列．(　　) (3)0，1，0，1，…是常数列．(　　) (4)数列是递增数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(2025·重庆永川北山中学月考)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，，，，… B．sin ，sin ，sin ，… C.－1，－，－，－，… D．1，，，…， 解析　观察可知A中数列是递减数列，B中数列是摆动数列，D中数列是有穷数列，均不符合题意．故选C. 答案　C 3．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 解析　an＋1－an＝3>0，故数列{an}为递增数列． 答案　A 4．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋24n，则数列{an}各项中的最大项是(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 解析　因为an＝－2n2＋24n＝－2(n－6)2＋72， 所以当n＝6时，an取得最大值为a6，故选C. 答案　C 题型一　图象法判断数列的增减性 　[教材例4迁移]已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图象，并判断增减性． [解析]　图象如图所示，当1≤n≤4，n∈N＋时，数列{an}是递减的；当n≥5，n∈N＋时，数列{an}也是递减的． 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而判断数列的增减性．　 [触类旁通] 1．根据下面3个数列的通项公式，分别作出它们的图象，并判断它们是递增数列还是递减数列． (1)an＝－；(2)bn＝；(3)cn＝. 解析　(1)图象如图①，由图象知数列{an}为递减数列． (2)图象如图②，由图象知数列{bn}为递增数列． (3)图象如图③，由图象观察表示数列{cn}的各点在横轴上、下摆动，它不是递增数列，也不是递减数列． 题型二　定义法判断数列的增减性 　[教材例3拓展](1)(多选题)如果{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为(　　) A．an＝2n＋3 B．an＝－n2－3n＋1 C．an＝ D．an＝1＋log2n (2)已知数列{an}的通项公式是an＝，判断该数列的单调性． [解析]　(1)A是n的一次函数，一次项系数为2，所以为递增数列； B是n的二次函数，二次项系数为－1，且对称轴为n＝－，所以为递减数列； C是n的指数函数，且底数为，是递减数列； D是n的对数函数，且底数为2，是递增数列． (2)法一(作差法) 因为an＋1－an＝－ ＝＝＞0， 所以an＋1＞an对任意的n(n∈N＋)都成立， 所以数列{an}是递增数列． 法二(作商法) 因为an＝＞0， 所以＝＝＝＞1， 所以an＋1＞an对任意的n(n∈N＋)都成立． 故数列{an}是递增数列． 法三(函数性质法) an＝＝＝2－. 由于函数y＝2－在[1，＋∞)上单调递增， 因此数列{an}是递增数列． [答案]　(1)AD　(2)略 [素养聚焦]　在判断数列增减性的过程中，提升了逻辑推理等核心素养． 1．作差比较法．根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； 2．作商比较法．根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断； 3．利用相应的函数性质判断，即函数单调，相应的数列必单调．　 [触类旁通] 2．(1)(多选题)下列是递增数列的是(　　) A．{1＋3n} B．{3n－2n+2} C．{2n－n} D．{(－3)n} (2)已知数列{an}的通项公式为an＝－，求证：数列{an}为递增数列． 解析　(1)令an＝1＋3n，则an＋1－an＝1＋3(n＋1)－(1＋3n)＝3＞0，故{1＋3n}是递增数列，符合题意； 令an＝3n－2n+2，则a1＝－5，a2＝－7，不符合题意； 令an＝2n－n，则an＋1－an＝2n+1－(n＋1)－2n＋n＝2n－1>0， 故{2n－n}是递增数列，符合题意； 令an＝(－3)n，则a1＝－3，a3＝－27，不符合题意． 故选AC. (2)证明　法一　an＋1－an＝(－)－(－)＝2－(＋). 因为(2)2－(＋)2 ＝4n＋4－(n＋2＋n＋2 ) ＝2(n＋1)－2 ＝2(－ ) ＝2(－ )>0， 即an＋1>an，所以数列{an}是递增数列． 法二　＝ ＝<1. 因为an<0，所以an＋1>an. 所以数列{an}是递增数列． 答案　(1)AC　(2)略 题型三　数列增减性的应用 　(1)(2025·北京市海淀区期末)已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3)　　　　　　　 B．(1，2] C．(2，3) D． (2)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋).试问数列{an}有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，请说明理由． [解析]　(1)由题意知an＝ 因为数列{an}是递增数列， 所以当n≤10时，3－a＞0，即a＜3； 当n＞10时，a＞1. 又a10＜a11，所以(3－a)×10－6＜a11-9， 即a2＋10a－24＞0，即(a＋12)(a－2)＞0， 所以a＜－12或a＞2. 综上可得，a的取值范围为(2，3). (2)因为an＋1－an＝·(n＋2)－·(n＋1)＝ ＝·， 所以当n≤7时，an＋1－an>0，an＋1>an； 当n＝8时，an＋1－an＝0，an＋1＝an； 当n≥9时，an＋1－an<0，an＋1<an. 所以存在最大项，最大项为a8＝a9＝0.98×9. [答案]　(1)C　(2)略 [母题变式] 　(变条件)本例(2)通项an变为an＝，其他不变，如何解？ 解析　＝＝. 因为n∈N＋，所以6n＋3＞2n＋3，所以＞1， 又an＞0，所以an＋1＞an. 所以数列{an}是递增数列， 即数列{an}中没有最大项． 数列增减性的应用 (1)求数列的最大项．首先判断数列的单调性或项的增减特征，确定最大项的项数后求出相应的项． (2)求参数的范围，由数列的单调性，列出关于an＋1，an的不等式，利用不等式及函数知识求范围，其中分离参数是常用的解题技巧．　 [触类旁通] 3．(1)已知an＝(n∈N＋)，则数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是(　　) A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a50 D．a44，a45 (2)(多选题)数列{an}的通项公式an＝n＋，则(　　) A．当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B．当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C．当0<a<4时，a不是数列{an}的项 D．当a<2时，{an}为递减数列 解析　(1)an＝＝1＋， 因为442＝1 936，452＝2 025，所以n≤44时，数列{an}单调递减，且0＜an＜1；n≥45时，数列{an}单调递减，且an＞1. 所以在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a44，a45. (2)当a＝2时，an＝n＋，由f(x)＝x＋的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确； 当a＝－1时，an＝n－，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确； 令an＝n＋＝a，得n2－na＋a＝0，当0<a<4时，Δ＝a2－4a<0，故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C正确； 若{an}是递减数列，则an＋1<an，即n＋1＋<n＋，得a>n2＋n，又n2＋n≥2，所以a>2，D错误．故选ABC. 答案　(1)D　(2)ABC 知识落实 技法强化 (1)数列的函数特征． (2)数列的增减性及应用． (1)判断数列的单调性：定义法、数形结合法． (2)数列与函数既有联系又有区别． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列四个命题中，正确的有(　　) A．数列的第k项为1＋ B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的第7项 C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1 D．数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}是递增数列 解析　对于A，数列的第k项为＝1＋，A正确；对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；对于C，将3，5，9，17，33，…的各项均减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1，C错误；对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝－＝＞0，因此数列{an}是递增数列，D正确．故选ABD. 答案　ABD 2．(多选题)数列{an}的通项公式为an＝2n2－22n，则数列{an}各项中最小项是(　　) A．第4项　　　　　　　 B．第5项 C．第6项 D．第7项 解析　an＝2n2－22n＝2－， 故当n＝5或n＝6时， an的值最小，最小值为a5＝a6＝－60. 答案　BC 3．(多选题)(2025·江苏南通期末)若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，关于该数列，以下四种说法正确的是(　　) A．该数列有无限多个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值 D．－70是该数列中的一项 解析　令－2n2＋13n>0，得0<n<，故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项，所以A错误，B正确；当n＝3时，数列{an}取到最大值，而当x＝3.25时，函数f(x)取到最大值，所以C错误； 令－2n2＋13n＝－70， 解得n＝10或n＝－(舍去). 即－70是该数列的第10项，所以D正确．故选BD. 答案　BD 4．(2025·福建福州期中)已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的最大项的值为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意可知an＝＝，易知y＝在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，而2＜＜3，经计算可知a2＝a3＝，所以该数列的最大项的值为，故选B. 答案　B 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为 ． 解析　因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－. 答案　1－ 6．(2025·山东聊城高二期末)已知数列{an}满足an＝，则|a2－a1|＋|a3－a2|＋…＋|a10－a9|＝ ． 解析　因为an＋1－an＝－＝， 当n＝1时，a2－a1＝2>0； 当n≥2时，an＋1－an＜0， 所以|a2－a1|＋|a3－a2|＋…＋|a10－a9| ＝a2－a1＋a2－a3＋a3－a4＋…＋a9－a10 ＝2a2－a1－a10 ＝2－(－1)－＝3－＝. 答案　 7．数列{(25－2n)2n-1}的最大项的项数为 ． 解析　令an＝(25－2n)2n-1，当n≥2时，设an为最大项，则即解得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝11.又当n＝1时，a1＝23＜42＝a2，所以数列{(25－2n)·2n-1}的最大项的项数为11. 答案　11 8．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，请回答下列问题． (1)这个数列共有几项为负？ (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由． 解析　(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)·(n－10)，所以当0<n<10时，an<0，所以数列{an}共有9项为负． (2)因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，故从第4项开始数列{an}递增． (3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，即数列中有最小值，最小值为－36. [关键能力·综合提升] 9．(2025·天津五校期中联考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，则“k≥－2”是“{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 解析　由题意得数列{an}为递增数列等价于对任意n∈N＋，an＋1－an＝2n＋k＋1>0恒成立，即k>－2n－1对任意n∈N＋恒成立，故k>(－2n－1)max＝－3，所以“k≥－2”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选A. 答案　A 10．在数列{an}中，“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　“|an＋1|＞an”⇔an＋1＞an或－an＋1＞an，充分性不成立；数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1＞an成立，必要性成立，所以“|an＋1|＞an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B. 答案　B 11．已知数列{an}满足an＝n＋(n∈N＋)，且对任意n∈N＋，an<an＋1恒成立，则正数m满足 ． 解析　∵an<an＋1恒成立，∴{an}是递增数列，当≤1时符合题意； 当>1时得1<m<2， 综上所述0<m<2. 答案　0<m<2 12．数列{an}的通项公式为an＝其中n∈N＋，若a5是{an}中的最大值，则a的取值范围是 ． 解析　当n≤4时，an＝2n－1单调递增， 因此n＝4时取最大值，a4＝24－1＝15. 当n≥5时， an＝－n2＋(a－1)n＝－2＋. 因为a5是{an}中的最大值， 所以解得9≤a≤12， 所以a的取值范围是[9，12]. 答案　[9，12] 13．已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋. (1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？ (2)证明：an≥对一切正整数恒成立． (1)解析　数列{an}是递增数列． 理由如下： 因为an＝＋＋＋…＋， 所以an＋1－an＝＋－ ＝－＝. 又n∈N＋，所以an＋1－an＞0. 所以数列{an}是递增数列． (2)证明　由(1)知数列{an}为递增数列， 所以数列{an}的最小项为a1＝. 所以an≥a1＝， 即an≥对一切正整数恒成立． [学科素养·探索创新] 14．(多选题)对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得ak＜ak－1，ak＜ak＋1，则称ak是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”．在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 解析　因为an＝，所以a1＝2，a2＝，a3＝2，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，a8＝.当n≥7，n∈N＋时，n＋－8＞0，所以an＝＝n＋－8，此时数列单调递增，a2<a1，a2＜a3，a7<a6，a7<a8，所以数列{an}的“谷值点”为2，7. 答案　AD 15．(2025·福州高二质检)已知在数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0). (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)法一　因为a＝－7， 所以an＝1＋. 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N＋)， 所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. 法二　因为a＝－7，所以an＝1＋. 设数列中的最大项为an，则 (n≥2且n∈N＋)， 即 解得＜n＜. 又n≥2且n∈N＋，所以n＝5，即数列{an}中的最大项为a5＝2. 同理可得，数列{an}中的最小项为a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. 因为对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立， 所以结合函数f(x)＝1＋的单调性， 知5＜＜6，所以－10＜a＜－8. 故实数a的取值范围为(－10，－8). 学科网（北京）股份有限公司 $