1.1.1 数列的概念-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

　数列的概念及其函数特性

1．1　数列的概念

观察下列示例，回答后面问题．

(1)正整数1，2，3，4，5，6的倒数依次是1，，，，，.

(2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2，4，－8，16.

(3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，….

(4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为，，，，，….

　观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？

[提示]　按照一定的顺序排列．

◎结论形成

1．数列及其相关概念

2.数列的表示

(1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，….

(2)字母表示：上面数列也记为{an}．

3．数列按项的个数分类

 

　函数y＝7x＋9与y＝3x，当依次取1，2，3，…时，其函数值能构成数列吗？

[提示]　能构成数列，分别是数列16，23，30，37，…；3，6，9，12，….

　观察数列1，，，，，…，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？

[提示]　该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，公式an＝可表示这个数列．

◎结论形成

1．数列与函数的关系

数列可以看作定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数．

2．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．

[导学点睛]　(1)数列的通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项．

(2)根据通项公式可以判断某个数是否为该数列中的项或求某个数是数列的第几项．

(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n+2，还可以写成 an＝k∈N＋，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列．

(4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}．(　　)

(2)数列中的项互换次序后还是原来的数列．(　　)

(3){an}与an的意义一样，都表示数列．(　　)

(4)利用数列的通项公式可以求出数列的任何一项.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式为(　　)

A．an＝2n－1　　　　 B．an＝2n-1

C．an＝2n    D．an＝2n＋1

解析　从第二项开始，每一项是前一项的2倍，

故a1＝1，a2＝21，a3＝22，a4＝23，a5＝24，…，

易得an＝2n-1.

答案　B

3．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是{an}的(　　)

A．第4项    B．第5项

C．第6项    D．第7项

解析　设是数列{an}的第n项，则＝，解得n＝4或n＝－5.∵－5∉N＋，∴n＝－5应舍去，故n＝4.

答案　A

4．数列，－，，－，…的一个通项公式为        ．

解析　由数列的前4项知第n项的绝对值等于，且奇数项为正数，偶数项为负数，故此数列的一个通项公式为an＝.

答案　an＝

题型一　数列的概念及分类

[基础题组]

1．(多选题)下列说法中不正确的是(　　)

A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}

B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列

C．数列的项可以相等