1.1.1 数列的概念-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦数列的概念及其函数特性，从实例引入数列定义、项、首项、通项等概念，区分有穷与无穷数列，建立数列与正整数集函数的联系，进而学习通项公式的定义、求法及应用，构建从具体到抽象的学习支架。 以实例导学驱动概念理解，如通过彗星出现年份等实例引导学生用数学眼光观察规律，培养数学抽象。在求通项公式时，强调观察归纳与逻辑推理，如根据符号、分子分母特征归纳公式，提升数学运算能力。课中辅助教师引导探究，课后通过分层练习和易错分析帮助学生查漏补缺。

　数列的概念及其函数特性 1．1　数列的概念 学业标准 素养目标 1.通过实例理解数列及其相关概念，了解数列是一种特殊的函数．(难点) 2．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点) 3．掌握数列通项公式的简单应用．(重点、难点) 1.通过数列概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过数列通项公式的学习及应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 导学1 数列及其相关概念 观察下列示例，回答后面问题． (1)正整数1，2，3，4，5，6的倒数依次是1，，，，，. (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2，4，－8，16. (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为，，，，，…. 　观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ [提示]　按照一定的顺序排列． ◎结论形成 1．数列及其相关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫作数列 项 数列中的每一个数叫作这个数列的项 首项 数列的第1项a1叫作数列的首项 通项 数列中的第n项an叫作数列的通项 2.数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…. (2)字母表示：上面数列也记为{an}． 3．数列按项的个数分类 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 导学2 数列与函数的关系、数列的通项公式 　函数y＝7x＋9与y＝3x，当依次取1，2，3，…时，其函数值能构成数列吗？ [提示]　能构成数列，分别是数列16，23，30，37，…；3，6，9，12，…. 　观察数列1，，，，，…，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？ [提示]　该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，公式an＝可表示这个数列． ◎结论形成 1．数列与函数的关系 数列可以看作定义域为正整数集N＋(或其子集)的函数． 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． [导学点睛]　(1)数列的通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项． (2)根据通项公式可以判断某个数是否为该数列中的项或求某个数是数列的第几项． (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n+2，还可以写成 an＝k∈N＋，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列． (4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}．(　　) (2)数列中的项互换次序后还是原来的数列．(　　) (3){an}与an的意义一样，都表示数列．(　　) (4)利用数列的通项公式可以求出数列的任何一项.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式为(　　) A．an＝2n－1　　　　 B．an＝2n-1 C．an＝2n D．an＝2n＋1 解析　从第二项开始，每一项是前一项的2倍， 故a1＝1，a2＝21，a3＝22，a4＝23，a5＝24，…， 易得an＝2n-1. 答案　B 3．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是{an}的(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 解析　设是数列{an}的第n项，则＝，解得n＝4或n＝－5.∵－5∉N＋，∴n＝－5应舍去，故n＝4. 答案　A 4．数列，－，，－，…的一个通项公式为 ． 解析　由数列的前4项知第n项的绝对值等于，且奇数项为正数，偶数项为负数，故此数列的一个通项公式为an＝. 答案　an＝ 题型一　数列的概念及分类 [基础题组] 1．(多选题)下列说法中不正确的是(　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 解析　{1，3，5，7}不表示数列，故A错误；数列具有有序性，故B错误；在D中，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误；数列的项可以相等，故C正确． 答案　ABD 2．(多选题)下列关于数列的说法正确的是(　　) A．按一定次序排列的一列数叫做数列 B．若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f(n)表示数列的通项公式 C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一 D．同一个数列的任意两项均不可能相同 解析　根据数列的定义，我们把按一定次序排列的一列数叫做数列，可得A正确；若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f(n)表示数列的通项公式，可得B正确；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如an＝|2－n|，也可写成an＝可得C正确；因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如常数列，所以D项错误． 答案　ABC 3．下列数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ ①2 014，2 016，2 018，2 020，2 022，2 024，2 026； ②0，，，…，； ③1，，，…，，…； ④－，，－，，…； ⑤1，0，－1，…，sin ，…； 解析　①②是有穷数列；③④⑤是无穷数列． 数列概念的三个注意点 (1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…， an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别． (2)从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． (3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性，是理解、把握数列的关键．　 题型二　根据数列的前几项求通项公式 　[教材例2拓展](1)(多选题)已知n∈N＋，给出下列四个表达式，其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是(　　) A．an＝　　 B．an＝ C．an＝ D．an＝ (2)写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数． ①－1，，－，； ② ，3, ， ； ③0.9，0.99，0.999，0.999 9； ④3，5，3，5. [解析]　(1)A中，an＝当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝1，满足条件． B中，an＝，满足条件． C中，an＝，满足条件． D中，an＝，当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝0，以此类推，不满足条件．故选ABC. (2)①任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列各项的绝对值可以看作是自然数列的倒数， 正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·. ②数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝ . ③原数列可变形为，，，，…，故数列的一个通项公式为an＝1－. ④数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n. [答案]　(1)ABC　(2)略 根据前几项求通项公式的方法及关注点 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法； (2)关注点：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n+1处理．　 [触类旁通] 1．(1)(2025·烟台高二质检)已知数列{an}的前几项为－1，4，－7，10，…，则该数列的通项公式可能为(　　) A．an＝(－1)n-1(3n－2) B．an＝(－1)n-1(3n＋1) C．an＝(－1)n(3n－2) D．an＝(－1)n(3n＋1) (2)根据下面前几项的值，写出数列的一个通项公式． ①3，5，7，9，11，13，… ②，，，，，… ③1，3，3，5，5，7，7，9，9，… ④2，－6，12，－20，30，－42，… 解析　(1)根据题意知，数列{an}的前四项为－1，4，－7，10， 即(－1)1(3×1－2)，(－1)2(3×2－2)， (－1)3(3×3－2)，(－1)4(3×4－2)， 故数列的通项公式可以为an＝(－1)n·(3n－2).故选C. (2)①从3开始的奇数列，an＝2n＋1； ②分子为偶数，分母为相邻两奇数的积， an＝； ③将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…， 所以an＝n＋； ④将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，5×6，－6×7，…， 所以an＝(－1)n+1n(n＋1). 答案　(1)C　(2)略 题型三　数列通项公式的简单应用 　[教材例1提升](1)数列{an}的通项公式为an＝，则3－2是此数列的第 项． (2)已知数列{an}的通项公式为an＝. ①写出数列的第4项和第6项； ②试问是该数列的项吗？若是，是第几项；若不是，请说明理由． [解析]　(1)an＝ ＝ ＝－. 因为3－2＝－， 所以3－2是该数列的第8项． (2)①因为an＝， 所以a4＝＝， a6＝＝. ②令＝，则n2＋3n－40＝0， 解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N＋， 故将n＝－8舍去，所以n＝5， 即是该数列的第5项． [答案]　(1)8　(2)略 [母题变式] 1．(变条件、变结论)若将本例(1)中的an变为an＝2n＋1，则257是这个数列的第 项． 解析　令2n＋1＝257，解得n＝8. 答案　8 2．(变条件)若将本例(2)②中的“”变为“”，其他条件不变，结果如何？ 解析　令＝，则4n2＋12n－27＝0， 解得n＝或n＝－，注意到n∈N＋， 所以不是此数列中的项． [素养聚焦]　通过数列通项公式的简单应用，重点提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 求项或判断某数是否为数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项.　 [触类旁通] 2．(1)(2025·佛山高二联考)在数列{an}中，若an＝则a5＋a6＝(　　) A．17　　　　　　　 B．23 C．25 D．41 (2)已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. ①写出数列的第4项和第6项； ②－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？ ③数列{an}中有多少个负数项？ 解析　(1)a5＝2×5－1＝9，a6＝26-1＝32，故a5＋a6＝41.故选D. (2)①a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60. ②令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)， 所以n＝7，即－49是该数列的第7项． 令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2. 因为∉N＋，－2∉N＋，所以68不是该数列的项． ③an＝n(3n－28)，令an＜0，又n∈N＋，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项． 答案　(1)D　(2)略 [缜密思维提能区] 易错案例 对数列概念的理解不清致误 [典例]　写出由集合{x|x∈N＋，且x≤4}中的所有元素构成的数列(要求首项为1，且集合中的元素只出现一次). [错解]　集合中的元素用列举法表示为{1，2，3，4}， 所以所求数列为1，2，3，4. [正解]　集合可表示为{1，2，3，4}．由集合中的元素组成的数列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有6个，分别是1，2，3，4；1，3，2，4；1，2，4，3；1，3，4，2；1，4，2，3；1，4，3，2. [纠错心得]　数列不同于集合，它具有有序性．相同的一组数按照不同的次序排列后，得到的是不同的数列． 知识落实 技法强化 (1)数列的概念与分类． (2)数列的通项公式． (3)数列与函数的关系． (1)归纳法求数列的通项公式时答案不唯一； (2)对于正负相间的数列求an时，用(－1)n进行调节，注意分子、分母间的联系． [必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列命题中正确的是(　　) A．任何数列都有通项公式 B．给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列 C．给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式 D．数列的通项公式an是项数n的函数 解析　根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，A错误；根据数列的表示方法可知B正确；给出了数列的有限项，数列的通项公式形式不一定唯一，C错误；根据数列通项公式的概念可知D正确． 答案　BD 2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为(　　) A．1，0，1，0　　　　　 B．0，1，0，1 C．，0，，0 D．2，0，2，0 解析　法一　由an＝，可得a1＝1， a2＝0，a3＝1，a4＝0.故选A. 法二　当n为奇数时，1＋(－1)n+1＝2，当n为偶数时，1＋(－1)n+1＝0，所以数列{an}的奇数项的值为1，偶数项的值为0，故该数列的前4项依次为1，0，1，0. 答案　A 3．数列，－，，－，…的一个通项公式为(　　) A．an＝(－1)n· B．an＝(－1)n· C．an＝(－1)n+1· D．an＝(－1)n+1· 解析　根据分子、分母还有正负号的变化，可知an＝(－1)n+1·.故选D. 答案　D 4．(2025·河北武邑中学质检)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列的第20项为(　　) A．212 B．200 C．186 D．162 解析　由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则a20＝2×102＝200，即此数列的第20项为200. 答案　B 5．已知数列{an}的通项公式是an＝ 则a2a3＝ ． 解析　根据通项公式可得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝2×10＝20. 答案　20 6．已知数列{an}为－，3，－3，9，…，则a6的值为 ，数列的一个通项公式是 ． 解析　把数列的前4项统一形式后为－，，－，，可知a6＝＝27，数列的一个通项公式为an＝(－1)n. 答案　27　an＝(－1)n 7．已知数列{an}的通项公式为an＝2 021－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为 ． 解析　由an＝2 021－3n>0，得n<＝673， 又因为n∈N＋，所以正整数n的最大值为673. 答案　673 8．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a2 025； (3)2 027是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？ 解析　(1)设an＝kn＋b(k≠0)， 则有 解得k＝4，b＝－1.所以an＝4n－1. (2)a2 025＝4×2 025－1＝8 099. (3)令2 027＝4n－1，解得n＝507∈N＋， 所以2 027是数列{an}的第507项． [关键能力·综合提升] 9．已知数列{an}的通项公式是an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　) A． B．5 C．6 D． 解析　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5. 答案　B 10．(2025·济南一中高二检测)如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为(　　) A．an＝n，n∈N＋ B．an＝，n∈N＋ C．an＝，n∈N＋ D．an＝n2，n∈N＋ 解析　∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝. 答案　C 11．正项数列{an}满足a－(2n－1)an－2n＝0，则数列{an}的通项公式为an＝ ，a2n＋1＝ ． 解析　由a－(2n－1)an－2n＝0，得 (an－2n)(an＋1)＝0， 因为{an}为正项数列，所以an＝2n. 故a2n＋1＝2(2n＋1)＝4n＋2. 答案　2n　4n＋2 12．(2025·青岛高二质检)如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为 ． 解析　我们把图案按如下规律分解： 这三个图案中白色正六边形的个数依次为6，6＋4，6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2. 答案　an＝4n＋2 13．已知数列. (1)求这个数列的第10项； (2)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)上． 解析　设an＝＝＝. (1)令n＝10，得第10项a10＝. (2)令＝，得9n＝300. 此方程无正整数解，所以不是该数列中的项． (3)证明　因为an＝＝ ＝1－，又n∈N＋，所以0＜＜1， 所以0＜an＜1. 即数列中的各项都在区间(0，1)上． [学科素养·探索创新] 14．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的(　　) A．第127项　　　　 B．第128项 C．第129项 D．第130项 解析　将该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组1项：；第二组2项：，；第三组3项：，，；第四组4项：，，，；……容易发现，每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此应位于第十六组的第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项． 答案　B 15．已知{an}是无穷数列，给出下列性质：对于{an}中任意两项ai，aj(i＞j)，在{an}中都存在一项am，使得＝am.若an＝n(n＝1，2，…)，判断数列{an}是否满足上述性质，请说明理由． 解析　不满足．理由如下： 当i＝3，j＝2时，＝，数列{an}中不存在某一项am，使得am＝，所以数列{an}不满足性质． 学科网（北京）股份有限公司 $