6.2黄金分割同步练习2025-2026学年苏科版数学九年级下册

黄金分割 一、单选题 1.如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC<BC),若AB长为2，则线段AC的长为() A C A.3-V5 B.3+V5 C.V5+1 D.5-1 2.大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美.如图，P为线段AB的黄 金分割点(AP>PB).如果AB的长度为I0cm,那么AP的长度是() B A.(5V5-5cm B.(15-5v5)cm c.(10-5V5cm D.(55+5)cm 3.如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠 近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C,B两点之间的距离为() D B A.(40V5-40)jcm B.120-40N5)cm c.(80v5-80)cm D.(80V5-160cm 4.若线段AB=2,且点C是AB的黄金分割点，则BC等于() A.5-1 B.3-V5 c.5-1 D.√5-1或3-√5 2 答案第1页，共2页 5.大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),若 AB=4cm,则AP的长为() A.(6-2V5)cmB.(2V5-2)cm C.(5-1)cm D.(3-V5)cm 6.两千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上 一点(4P>BP,若满足化，则称点P是B的黄金分制点。黄金分洁在日常生活中 AP AB 广泛应用，若舞台AB长20m,主持人从舞台一侧B进入，走到舞台的黄金分割点P处，设 BP=xm,则x满足的方程是() y P B A.（20-x)2=20x B.x2=20(20-x C.x20-x=202 D.(20-x)2x=20 7.已知线段AB=2cm,点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,则AC的长为() A.(√5+1)cm B.(V5-1)cm C.(3-5)cm D.(3+V5)cm 8.黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最 美比例的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB>BC,若AC=12cm,那么AB的长 为()cm 答案第1页，共2页 A.18-6√5 B.12-125 C.65-6 D.12V5-12 9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC,利用圆规在AC上截取CD=CB,在 AB上截取AE=AD,点E就是AB的黄金分割点.若AB=4,则AE的长为() A.2 B.2V5-2 c.5-1 D.V5-2 2 10.如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是5-的为() 2 A. AC C. BC BC B.B AC D.AB AB BC 二、填空题 11.己知P是线段AB的黄金分割点，PA>PB,AB=4cm,则PA=Cm. 12.达·芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了 黄金分割的比例.图画中头顶到手的长度AB为90cm,下巴的位置点E是头顶点A到手部 点B的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度AE为cm(结果保留根号，黄金 比为5-). 2 答案第1页，共2页 13.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比.如 图，点B为AC的黄金分割点(AB>BC),若AC=20cm,则AB的长为 cm, (结果保留根号) 14.如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄 金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳，·一把二胡的琴弦AC长为70©m,千斤线绑 在点B处，则B点下方的琴弦BC长为 cm. B 15.我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”.如图.在设计人体雕像时， 为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像AB分为上下两部分，其中C为AB的黄金分割 AB ≈0.618，已知AB长为2米，则BC的长是米. 答案第1页，共2页 B 16.研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现 站在6米舞台PQ的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走米（结果保留 根号.（说明：黄金分制比的数学表达式为'=子共中1是整体的长度，1-x是较小 部分的长度，x是黄金分制比例，约等于0618.黄金分制比的确切值是5-) 2 三、解答题 17.线段AB上的一点P将AB分割成PA、PB(PA>PB)两段，如果PA的长度是AB与PB长 度的比例中项，即PA=PB·AB,那么称点P为线段AB的黄金分割点.如图，己知线段 AB=1,点P是线段AB的黄金分割点(PA>PB),求PA的长度， B 答案第1页，共2页 18.宽与长的比是5-」的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界 各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是 希腊的巴特农神庙.如图乙所示，若黄金矩形的长AD=2,求该黄金矩形的宽AB是多少？ 图甲 图乙 19.把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值， 则这个比值 V5-1 为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例.杭州亚运会会徽一潮 2 涌，由中国美术学院教授袁由敏设计.其中浪潮设计借助了黄金分割比.如图，若点C可看 作是线段AB的黄金分割点(AC<CB),若AB=40cm,求AC的长. 答案第1页，共2页 20,知图，设B是已知线段，经过点B作8D1AB,使BD=4B,连接40，试在线段 AB上求作点C,使得点C为线段AB上靠近点B的黄金分割点， D ◇ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 黄金分割 一、单选题 1．如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 3．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．若线段，且点C是的黄金分割点，则等于（   ） A． B． C． D．或 5．大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段AB的黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．两千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中广泛应用，若舞台长，主持人从舞台一侧进入，走到舞台的黄金分割点处，设，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 10．如果点是线段的黄金分割点，那么下列线段的值不可能是的为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知是线段的黄金分割点，，，则 ． 12．达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 13．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为 ．（结果保留根号） 14．如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点下方的琴弦长为 ． 15．我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为米，则的长是 米． 16．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳，如图，主持人现站在6米舞台的左边端点P处，那时要站在最佳位置处时至少要走 米（结果保留根号）．（说明：黄金分割比的数学表达式为，其中 1 是整体的长度， 是较小部分的长度，x是黄金分割比例，约等于0.618．黄金分割比的确切值是） 三、解答题 17．线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 18．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 19．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 20．如图，设是已知线段，经过点B作，使，连接，试在线段上求作点C，使得点C为线段上靠近点B的黄金分割点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D B A B C B D 1．A 【分析】本题考查了黄金分割，掌握较长线段是全线段的即是解题的关键． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴； 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 3．B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 4．D 【分析】分、两种情况，根据黄金比值计算即可．本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【详解】解：∵线段，且点C是的黄金分割点， ∴当时，， 当时， ， 故选D． 5．B 【分析】本题考查了黄金分割．把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中． 根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长． 【详解】解：∵为的黄金分割点， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．利用黄金分割点的定义列方程即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵点P是的黄金分割点， ∴，即 ∴， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了黄金分割点的计算，分式方程的运用，掌握黄金分割点的计算方法是关键．根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， 故选：B ． 8．C 【分析】本题考查了黄金分割的有关计算．根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 9．B 【分析】先由勾股定理求出，再由求出，再由勾股定理可得，得，即可得出结论． 【详解】解：解：∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：B. 10．D 【分析】此题主要考查了黄金分割比的概念，根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比作出判断．找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， 则； 或， 则． 故只有的值不可能是． 故选：D． 11． 【分析】本题主要考查黄金分割比，解决此题的关键是熟记黄金分割比的公式；根据公式列出等式，计算出答案即可； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：(负值舍去)； 故答案为． 12． 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．因为点是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义，可求出长度，再进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵点是线段的黄金分割点， ∴． ∵， ， 故答案为： ． 13．/ 【分析】本题考查了黄金分割.根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义并结合图象计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米， 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用．设至少向前走米，由黄金比列方程解答即可． 【详解】解：设至少向前走米， 依题意得，， 解得，． 即主持人站在最佳位置处时至少要走米， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键． 设，根据点P是线段的黄金分割点得出，解方程即可求解． 【详解】解：设，则， ∵点P是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 18． 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 19． 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 20．见解析 【分析】本题主要考查了黄金分割，勾股定理，如图所示，以D为圆心，以的长为半径画弧，交于E，再以A为圆心，的长为半径画弧交于C，则点C即为所求． 【详解】解：如图所示，以D为圆心，以的长为半径画弧，交于E，再以A为圆心，的长为半径画弧交于C，则点C即为所求； 由勾股定理易得，则， 则，则． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $