精品解析：福建省漳州市第三中学2025-2026学年高一上学期12月阶段考试数学试卷

漳州三中2025-2026学年12月阶段考试 高一数学试卷 命题人：李小权 审题人：郭欢 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于存在量词命题的否定，可改变量词，否定结论即可. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，对命题否定需要改变量词，否定结论， 所以该命题的否定为“”． 故选：D． 2. 已知函数，下列区间中，一定包含函数零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助零点的存在性定理计算即可得. 【详解】在上单调递增， ， ， 则零点在上. 故选：B. 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 【详解】选项A：是奇函数，不符题意； 选项B：在区间上单调递增，不符题意； 选项C：符合题意； 选项B：在区间上单调递增，不符题意； 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性和奇偶性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答的关键． 4. 在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料中，用电焊切割成扇形，现有如图所示的两种方案，则（ ） A. 方案一中的扇形弧长为 B. 方案一中的扇形面积为 C. 方案二中的扇形弧长为 D. 方案二中的扇形面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式与面积公式计算即可. 【详解】因为是顶角为、腰长为2的等腰三角形， 所以，上的高为1，即，， 所以方案一中扇形的弧长为；扇形的面积为； 方案二中扇形的弧长为；扇形的面积为． 综上，选项D正确． 故选：D 5. 若a，，则“”是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】取，根据对数函数的定义域知没有意义判断充分性，再利用对数函数的单调性判断必要性. 【详解】当时，由于的定义域为，没有意义，推不出，故不充分； 当时，由于在上单调递增，所以，故必要； 故选：A 6. 若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 7. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即， 解得或. 因为，则，故. 故选：B 8. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有个零点， 由函数有个零点，得函数有个零点， 由，得，需使，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式正确的是（ ） A. 设，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：将根式化为分数指数幂，再结合指数幂运算求解；对于B：根据指数幂运算求解；对于C：将对数式化为指数式，再结合指数幂运算求解；根据对数运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：若，，则， 所以，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：ABC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的单调递增区间为 C. 的图象关于点对称 D. 在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用最小正周期公式即可判断；对于B，利用正弦函数的单调性即可判断；对于C，将代入函数式，判断是否满足；对于D，求出的范围，即可求出函数的值域. 【详解】对于A，由，可得最小正周期为，故正确； 对于B，因为，可得， 所以的单调递增区间为，故错误； 对于C，因为，所以的图象关于点对称，故正确； 对于D，因为，所以， 所以，所以，故正确. 故选：ACD 11. 函数对，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 的周期为6 C. 的图象关于中心对称 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A选项，首先通过奇偶性得，然后根据已知条件通过赋值进行求解；对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可；对于C选项，通过奇偶性可得函数关于中心对称，再根据函数周期性即可判断正误；对于D选项，利用函数周期性可得，再根据通过赋值可得，进而可以判断选项正误. 【详解】对于A，已知为奇函数，则有， 令，得， 又，令，得， 时，因此可得，故A错误； 对于B，已知为奇函数，则有， 又，则有，由此可得， 而，可得的一个周期为12， 若的周期为6，则有，得为偶函数，与题意不符，故B错误； 对于C，已知为奇函数，则有，则可得函数的图象关于中心对称， 又函数的周期为12，所以的图象关于中心对称，故C正确； 对于D，已知函数的周期为12，则有， 又，令，得， 则，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数图象可判断单调性，进而可得，为整数，由验证是否是偶函数即可求解. 【详解】有图象可知：该幂函数在单调递减，所以，解得，,故可取，又因为该函数为偶函数，所以为偶数，故 故答案为： 13. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的关系和诱导公式求解. 【详解】由，得， 又，则， 有， 则. 故答案为： 14. 已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，接着由题设得到，令，得到为偶函数，且在上递增，在上单减，结合，把不等式转化为，得到不等式组，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，解得， ，且，则， 又因为，所以， 所以，则， 令，则，故在上单调递增， 因为为上的偶函数，所以为上的偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以，即为， 即，则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由根式、对数函数的性质求定义域得集合，再求得集合，进而根据并集的定义求解即可； （2）先求出，根据交集结果，分，两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 对于集合A：，得，故； 当时，，所以. 【小问2详解】 由，则或，而， 当时，，即，满足题设； 当时，，可得. 综上所述，实数m的取值范围为. 16. 已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合. （1）若点坐标是且，求的值； （2）若角满足 ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义列方程求解的值即可； （2）①结合平方关系将已知等式平方可得，判断的符号，从而再平方可得的值；②由①中结论，列方程组解得的值，代入即可得所求. 【小问1详解】 因为且，所以点在第一或第二象限， 又 ，所以在第一象限且， 由三角函数概念知：， 故实数的值为； 【小问2详解】 ①因为角满足， 则， 所以， 又因为，则且， 所以， 由且，有， 所以， ②由①知：，则， 则. 17. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；② (常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题： （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）设函数，若在R上的最小值为6，求实数a的值. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数、偶函数的定义列出方程组求解即得. （2）由（1）的结论求出，利用换元法，结合二次函数并按分类求出最小值即可. 【小问1详解】 依题意，由，得，而为奇函数，为偶函数， 则，由，解得， 所以双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式分别为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 令，当且仅当时取等号，， ， 当时，函数在上单调递增，，则； 当时，，则， 所以实数a的值或. 18. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）1 （2）函数在上单调递减，证明见详解. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义分析求解，可得，并代入检验即可. （2）由复合函数各自的单调性得到函数在上单调性，然后由作差法证明函数在的单调性. （3）由奇函数化简不等式，然后由（2）得到奇函数在上单调性，由自变量的范围结合单调性建立不等式，解得不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数是奇函数， 则， 可得，即， 结合x的任意性可得，解得， 若，则，不合题意； 若，则， 令，等价于，解得， 可知函数的定义域为，符合题意； 综上所述：. 【小问2详解】 由（1）可知函数， 令，当时，函数单调递减， ∵，∴对数函数在定义域上单调递增， ∴函数在上单调递减. 任取， 则， ∵， ∵，∴，∴， ∴， 即，所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 因为奇函数在上单调递减，可知在上单调递减. ∵， ∴， 恒成立，恒成立， ∴，即，即. 所以不等式的解集为. 19. 已知，且恒成立，当时等号成立，. （1）证明： ，并说明取等号的条件； （2）证明，； （3）已知满足，满足，比较与的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由恒成立，得到，两边同时取对数得即可证明； （2）由，令 ,则，两侧分别令累加，再利用对数的运算即可证明； （3）先根据条件化简得到和，构造函数，得到再化简得到，则可证明. 【小问1详解】 证明：由题可知恒成立，所以利用替换得； 当时，两边同时取对数得，当时取等号， 故，当等号成立. 【小问2详解】 证明：由（1）知，当且仅当时等号成立， 令 ,则； 所以； 所以得证. 【小问3详解】 因为，，所以； 又因为，，所以； 即； 令，则； 又因为为增函数，故，即， 代入得到 ； 又因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州三中2025-2026学年12月阶段考试 高一数学试卷 命题人：李小权 审题人：郭欢 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，下列区间中，一定包含函数零点的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一块顶角为、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料中，用电焊切割成扇形，现有如图所示的两种方案，则（ ） A. 方案一中的扇形弧长为 B. 方案一中的扇形面积为 C. 方案二中的扇形弧长为 D. 方案二中的扇形面积为 5. 若a，，则“”是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式正确的是（ ） A. 设，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的单调递增区间为 C. 的图象关于点对称 D. 在上的值域为 11. 函数对，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 的周期为6 C. 的图象关于中心对称 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 幂函数y＝（m∈Z）的图象如图所示，则实数m的值为________. 13. 已知，，则的值为______． 14. 已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于的不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合. （1）若点坐标是且，求的值； （2）若角满足 ①求的值； ②求的值. 17. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；② (常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题： （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）设函数，若在R上的最小值为6，求实数a的值. 18. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）解关于的不等式. 19. 已知，且恒成立，当时等号成立，. （1）证明： ，并说明取等号的条件； （2）证明，； （3）已知满足，满足，比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $