3.3数量之间的关系 教学设计2025-2026学年冀教版 数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦用代数式表示数量关系，通过抢答题（数列规律填空）导入，承接“用字母表示数”“代数式”基础，引导学生从特殊到一般发现规律，搭建知识支架。 亮点在“一起探究”环节，数阵、点阵问题结合数形结合思想，如空心方阵用n²-(n-2)²或4(n-1)等表示，培养抽象能力、几何直观与推理意识。自主探究与小组合作结合，提升学生探究能力，为教师提供结构化教学流程，助力高效课堂。

第三章 代数式 3.3数量之间的关系   一、教材分析 本节课是在《用字母表示数》和《代数式》的基础上引入的，主要内容是用代数式表示数、式子和图形中的数量关系，让学生体会从特殊到一般，转化，数形结合等数学思想方法.本节课还会让学生从不同的角度分析和解决问题，体会同一个量可以用不同的代数式来表示，代数式可以更简洁地表达规律.   二、学情分析 七年级学生好奇心强，思维活跃，对直观内容感兴趣，喜欢动手操作，厌倦枯燥乏味.学生已经能够根据题意列代数式，对数学探究问题的方法有一定了解，具有一定的探究分析能力.但抽象思维能力不够成熟，缺乏理性思维过程，需要以感性认识作为依托.   三、学习目标 1．会用代数式表示数、式子和图形的变化规律，从不同角度分析和解决问题，同一量可以用不同的代数式来表示. 2．发现特例中的变与不变，寻找一般规律，体会由特殊到一般、转化、数形结合等数学思想方法. 3．进一步培养学生的独立思考、合作交流及观察分析等能力..  四、教学重难点 重点：会用代数式表示数、式子和图形的变化规律，同一量可以用不同的代数式来表示. 难点：发现特例中的变与不变，寻找一般规律，体会由特殊到一般、转化、数形结合等数学思想方法.   五、教学过程 情境导入 问题:仔细观察，按所发现的规律填空： (1) 1,2,3,4, ， ，...， （第n个数）； (2) 2,4,6,8, ， ，...， （第n个数）； (3)2,4,8,16, ， ，...， （第n个数）； (4)1,4,9,16, ， ，...， （第n个数）； (5)1, 3,6,10， ， ，...， （第n个数）. 答案:(1)5,6,n; (2)10,12,2n; (3)32,64,2n; (4)25,36,n2; (2)15,21, 师生活动：学生思考后，教师提问，学生回答并解释． 设计意图：以抢答题导入，激发学生探索的欲望和学习的热情. 一起探究 问题1：如图，这是一个由1～120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化. 1.如果设方框左上角的数为a， (1)用含a的代数式表示这9个数的和； (2)当a为1,8,15时,分别求这9个数的和. 2.如果设方框正中间的数为m，用含m的代数式表示这9个数的和. 答案：解：(1)设方框左上角的数为a,则其他8个数分别为a+1,a+2,a+6,a+7,a+8,a+12,a+13,a+14,这9个数的和为a+a+1+a+2+a+6+a+7+a+8+a+12+a+13+a+14=9a+63. (2)当a=1时,这9个数的和为9a+63=9×1+63=72； 当a=8时,这9个数的和为9a+63=9×8+63=135； 当a=15时, 9a+63=9×15+63=198. 2.设方框正中间的数为m,则其他8个数分别为m－7,m－6,m－5,m－1,m+1,m+5,m+6, m+7,所以这9个数的和为m－7+m－6+m－5+m－1+m+m+1+m+5+m+6+m+7=9m. 师生活动：需要学生先自主理解题意,思考之后,小组合作,一起分析里面的数和数之间的关系,并将自己的思考过程表达出来,学生之间互评,最后教师点评. 设计意图：学生自主发现规律求解， 激发学生的学习兴趣，培养探究精神. 问题2：图（1）是由点组成的n行n列的方阵，图（2）是由每条边上n个点围成的空心方阵． 1.图（1）中方阵的总点数为多少？ 2.图（2）中方阵的总点数是多少？ 答案：1. n2 2. n2 －(n－2)2 图（2）方阵的总点数还可以怎么求呢？ 答案:4(n-1) 4n-4 4(n-2) +4 2n+2(n-2) 师生活动：需要学生先自主理解题意,思考之后,小组合作,一起分析里面的点阵中每行每列点的有什么规律,学生之间互评,最后教师点评. 设计意图：感受解决问题的多种策略，认识到对于同一个问题，由于着眼点不同，可以有不同的解决方法. 问题3：如图，已知大正方形的边长为1，连接对边中点，将大正方形分为4个边长相等的小正方形，并将其中的3个小正方形涂上阴影，得到如图(1)所示的图形，连接图(1)中空白正方形的对边中点，又得到4个边长相等的小正方形，再将其中的3个小正方形涂上阴影，得到如图(2)所示的图形……按照这样的方式继续分割下去，设阴影部分的面积为S. (1)在图(1)中，空白正方形的边长为______,S=______. (2)在图(2)中，空白正方形的边长为______,S=______. (3)在第n个图形中，S=_______.（用含n的代数式表示） 答案：（1） （2） （3）1-（）² 师生活动：需要学生先自主理解题意,思考之后,小组合作,一起分析图中空白正方形边长的变化规律，进而找出阴影部分的面积变化规律,并将自己的思考过程表达出来,学生之间互评,最后教师点评. 设计意图：培养学生从不同角度分析、解决问题的能力，使学生发现代数式可以更简洁地表达规律. 课堂练习 1.观察下面各式的规律： 第1个：1×3=1×3=2²-1， 第2个：2×4=3²-1， 第3个：3×5=4²-1， …… 写出第n个式子. 答案：第n个式子为n (n+2)= (n+1)²-1. 2.如图是用火柴摆图形. （1） 填写下表： （2）要拼出有n(n>1)个三角形的图形，需要多少根火柴? （3）要拼出有18个与40个三角形的图形，分别需要多少根火柴? 答案：(2)要拼出有n(n>1)个三角形的图形,需要(2n+1)根火柴. (3)当n=18时,2n+1=2×18+1=37;当n=40时,2n+1=2×40+1=81. 所以要拼出有18个三角形的图形,需要37根火柴;要拼出有40个三角形的图形,需要81根火柴. 师生活动：学生先独立思考图形的变化规律，然后小组一起讨论，找学生说出图形的变化规律，以及怎么用代数式表示规律，学生之间互评,最后教师点评. 设计意图：同学们独立思考,再一起研讨,通过多情境的练习,不断培养学生有意识地分析图形和式子的变化规律,并用代数式表示规律，感受代数式解决问题的优势. 课堂检测 1.如图，图（1）中有1个三角形，分别连接这个三角形各边中点就得到图（2），再连接图（2）中的中间三角形各边中点就得到图（3）……按这样的方法进行下去，设第n个图形中三角形的个数为Sn，求Sn。 答案： 解：设第n个图形中三角形的个数为Sn，观察题中图形，可知S1=1+4×0=1，S2=1+4×1=5，S3=1+4×2=9，依此类推，Sn=1+4×(n-1)=4n-3. 2.李老师在生物实验室里分组做水稻种子发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，……按此规律，请推测第n组应取多少粒种子. 答案：解：设取出的种子粒数为y. n=1时，y=3，即y=2×1+1=3；n=2时，y=5，即y=2×2+1=5； n=3时，y=7，即y=2×3+1=7；n=4时，y=9，即y=2×4+1=9, 所以，第n组应该取（2n+1)粒种子. 师生活动：学生独立作答，教师关注有困难的学生，巡视学生作答情况.完成后随机选择学生回答. 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，能准确地发现规律，并用代数式表示规律。检测本节课学生对用代数式表示数或图形规律的掌握情况. 课堂总结 1.本节课你收获了什么? 2. 你会找数、式子和图形的变化规律了吗？ 师生活动：学生独立思考，解答问题，并在组内交流.教师规范学生的语言表述，引导学生在回顾本节课的知识. 设计意图：通过回顾本节的知识和数学思想方法，发展学生归纳总结能力，发挥学生的主体作用；为本章后续的学习埋下伏笔，形成知识体系．同时也为今后研究学习列一元一次方程奠定思维基础．  六、板书设计 3.3数量之间的关系 探索规律 观察 观察 探索规律 归纳 猜想 分析 七、教学反思 本节课主要让学生通过观察数或图形来探索规律，用代数式表示规律.学生对于规律的探索，习惯用具体的数去寻找规律，不知道用代数式能更清楚、全面、准确的体现出规律.本节课老师引导学生从已知数据、图形中发现数量关系，正确列出代数式，从而总结出规律.让学生体验转化的数学思想，并体会到对同一个事物或问题，由于着眼点不同，可以有不同的解决办法. 本节课通过抢答题引出问题，学生先自主探究，再小组讨论，最后总结出规律，充分调动了学生的积极性.本节课蕴含了初中数学中重要的数学思想——数形结合、分类讨论、转化思想.让学生从具体形象（数）到抽象（字母）的认知的飞跃，对学生能力要求较高.数学教学中要有意识、 有目的地结合数学知识，逐步渗透数学思想，让学生潜移默化中掌握数学思想，提高学生的数学思维能力. 学科网（北京）股份有限公司 $