3.3数量之间的关系 教学设计2025-2026学年冀教版 数学七年级上册

第三章 代数式

3.3数量之间的关系

本节课是在《用字母表示数》和《代数式》的基础上引入的，主要内容是用代数式表示数、式子和图形中的数量关系，让学生体会从特殊到一般，转化，数形结合等数学思想方法.本节课还会让学生从不同的角度分析和解决问题，体会同一个量可以用不同的代数式来表示，代数式可以更简洁地表达规律.

七年级学生好奇心强，思维活跃，对直观内容感兴趣，喜欢动手操作，厌倦枯燥乏味.学生已经能够根据题意列代数式，对数学探究问题的方法有一定了解，具有一定的探究分析能力.但抽象思维能力不够成熟，缺乏理性思维过程，需要以感性认识作为依托.

1．会用代数式表示数、式子和图形的变化规律，从不同角度分析和解决问题，同一量可以用不同的代数式来表示.

2．发现特例中的变与不变，寻找一般规律，体会由特殊到一般、转化、数形结合等数学思想方法.

3．进一步培养学生的独立思考、合作交流及观察分析等能力..

重点：会用代数式表示数、式子和图形的变化规律，同一量可以用不同的代数式来表示.

难点：发现特例中的变与不变，寻找一般规律，体会由特殊到一般、转化、数形结合等数学思想方法.

情境导入

问题:仔细观察，按所发现的规律填空：

(1) 1,2,3,4,     ，      ，...，            （第n个数）；

(2) 2,4,6,8,     ，      ，...，            （第n个数）；

(3)2,4,8,16,     ，      ，...，            （第n个数）；

(4)1,4,9,16,     ，      ，...，            （第n个数）；

(5)1, 3,6,10，     ，      ，...，            （第n个数）.

答案:(1)5,6,n;     (2)10,12,2n;       (3)32,64,2n;    (4)25,36,n2;   (2)15,21,

师生活动：学生思考后，教师提问，学生回答并解释．

设计意图：以抢答题导入，激发学生探索的欲望和学习的热情.

 一起探究

问题1：如图，这是一个由1～120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.

    

1.如果设方框左上角的数为a，

(1)用含a的代数式表示这9个数的和；

(2)当a为1,8,15时,分别求这9个数的和.

2.如果设方框正中间的数为m，用含m的代数式表示这9个数的和.

答案：解：(1)设方框左上角的数为a,则其他8个数分别为a+1,a+2,a+6,a+7,a+8,a+12,a+13,a+14,这9个数的和为a+a+1+a+2+a+6+a+7+a+8+a+12+a+13+a+14=9a+63.

(2)当a=1时,这9个数的和为9a+63=9×1+63=72；

当a=8时,这9个数的和为9a+63=9×8+63=135；

当a=15时, 9a+63=9×15+63=198.

2.设方框正中间的数为m,则其他8个数分别为m－7,m－6,m－5,m－1,m+1,m+5,m+6,

m+7,所以这9个数的和为m－7+m－6+m－5+m－1+m+m+1+m+5+m+6+m+7=9m.

师生活动：需要学生先自主理解题意,思考之后,小组合作,一起分析里面的数和数之间的关系,并将自己的思考过程表达出来,学生之间互评,最后教师点评.

设计意图：学生自主发现规律求解， 激发学生的学习兴趣，培养探究精神.

问题2：图（1）是由点组成的n行n列的方阵，图（2）是由每条边上n个点围成的空心方阵．

1.图（1）中方阵的总点数为多少？

2.图（2）中方阵的总点数是多少？

答案：1. n2       2. n2 －(n－2)2

图（2）方阵的总点数还可以怎么求呢？

答案:4(n-1)    4n-4       4(n-2) +4    2n+2(n-2)  

师生活动：需要学生先自主理解题意,思考之后,小组合作,一起分析里面的点阵中每行每列点的有什么规律,学生之间互评,最后教师点评.

设计意图：感受解决问题的多种策略，认识到对于同一个问题，由于着眼点不同，可以有不同的解决方法.

问题3：如图，已知大正方形的边长为1，连接对边中点，将大正方形分为4个边长相等的小正方形，并将其中的3个小正方形涂上阴影，得到如图(1)所示的图形，连接图(1)中空白正方形的对边中点，又得到4个边长相等的小正方形，再将其中的3个小正方形涂上阴影，得到如图(2)所示的图形……按照这样的方式继续分割下去，设阴影部分的面积为S.

(1)在图(1)中，空白正方形的边长为______,S=______.

(2)在图(2)中，空白正方形的边长为______,S=______.

(3)在第n个图形中，S=_______.（用含n的代数式表示）

答案：（1）   （2）     （3）1-（）²

师生活动：需要学生先自主理解题意,思考之后,小组合作,一起分析图中空白正方形边长的变化规律，进而找出阴影部分的面积变化规律,并将自己的思考过程表达出来,学生之间互评,最后教师点评.

设计意图：培养学生从不同角度分析、解决问题的能力，使学生发现代数式可以更简洁地表达规律.

课堂练习

1.观察下面各式的规律：

第1个：1×3=1×3=2²-1，

第2个：2×4=3²-1，

第3个：3×5=4²-1，

……

写出第n个式子.

答案：第n个式子为n (n+2)= (n+1)²-1.

2.如图是用火柴摆图形.