26.1.1反比例函数 导学案2025-2026学年人教版九年级数学 下册

该初中数学导学案聚焦九年级下册反比例函数概念及待定系数法求解析式，含思维导图辅助知识梳理。通过课前回顾函数、正比例函数等旧知，结合列车速度与时间、矩形草坪长宽等实际问题引导探究，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立新旧知识联系。 资料以实际问题为载体，引导学生抽象反比例函数本质，培养数学眼光与抽象能力。通过典例解析、分层习题及中考真题，强化待定系数法应用，发展推理意识与模型观念，助力学生掌握学科方法，提升解决实际问题的能力。

九年级下册26.1.1反比例函数 导学案 一、学习目标 1. 理解并掌握反比例函数的概念和意义； 2. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式； 3. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式. 二、核心知识 1.反比例函数的概念: 一般地，形如y= （ ）的函数，叫做反比例函数，其中 是自变量， 是函数。 ★知识点 2:利用待定系数法求反比例函数解析式的方法 (1) 设出含“未知系数”的函数解析式，如 ； (2) 根据已知条件中x、y的值，列出含“ ”的方程； (3) 解这个方程，求出 ； (4) 将求出的 代入所设的解析式y= 𝑘/𝑥中，确定函数解析式. 三、思维导图 四、课前回顾 一、什么是函数？ 二、什么是正比例函数？ 三、什么是一次函数？ 四、什么是二次函数？ 五、新知探究 思考：下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ 1.京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化； (1).平均速度v和运行时间t有函数关系吗？试说明理由． (2).你能写出平均速度v关于运行时间t的解析式吗？ 2.某住宅小区要种植一块面积为1 000m2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化； (1). 草坪的长y和宽x有函数关系吗？试说明理由． (2).你能写出平均速度v关于运行时间t的解析式吗？ 3.已知北京市的总面积为 1.64×104 km2，人均占有面积 S(单位：km2/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化. 你能写出人均占有面积S关于全市总人口n的解析式吗？ 观察上面这三个函数解析式，它们有什么共同点？ 反比例函数的概念： 六、典例分析与习题 巩固练习 1.判断下列式子是不是反比例函数. 2.下列函数中哪些是反比例函数？哪些是一次函数？ ①y=3x －1 ②y=2x ③y= ④y= ⑤y= ⑥ －xy=2 ⑦y=6x－1 3.已知反比例函数的解析式为y=，则a的取值范围是（ ） A. a ≠2 B. a ≠-2 C. a ≠ ±2 D. a= ±2 考点解析 例 已知函数y=(2m2+m－1)x2m² +3m-3是反比例函数，求m的值. 巩固练习 1. 若函数y=(m+1)x|m|－2是反比例函数，则m=( ) A. ±1 B. ±3 C. －1 D.1 2.函数y=(m-1)xm² － m-1是反比例函数，求m的值. 典例解析 例1 已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x=4时，求y的值. 巩固练习 1. y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值： (1)写出这个反比例函数的解析式. (2)根据函数表达式完成上表. 学习检测 1. 下列y关于x的函数中： （1）y= ，（2）y=－ ，（3）xy=9，（4）y= ， （5）y= － ，（6） y=2x－1，（7）y= x2 . 是反比例函数的是_____________． 2.矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（ ） A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数 3.直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为 3，则y与x之间的函数关系式为 . 4.已知菱形的面积是12cm2，菱形的两条对角线长分别为x和y，则y与x之间的函数关系是 . 5.某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t (小时)，写出时间t(小时)与Q之间的函数表达式 . 6. 若函数y=(3+m)x8-m²是反比例函数，则m的取值是 ． 7. 已知y与x成反比例，且当x=－2时，y=3，则 y与x之间的函数解析式是 ，当x=－3时，y= ． 8. 已知反比例函数y= (k为常数，且k≠0)的图象经过点(3，4)，则该函数图象必不经过点( ) A.(2，6) B.(－1，－12) C.(0.5，24) D.(－3，8) 9.已知反比例函数的解析式为y = ，则最小整数k = . 感受中考 1. (2024·内蒙古通辽·中考真题)如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y= (k为常数，k ＞0)上，将正六边形ABCDEF向上平移 个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 3 2. (2024·重庆·中考真题)反比例函数y=－的图象一定经过的点是（ ） A.（1，10） B.（-2，5） C.（2，5） D.（2，8） 参考答案 四、课前回顾 函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 正比例函数：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫作比例系数. 一次函数：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数. 二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数. 五、新知探究 思考：下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ 1.京沪线铁路全程为1 463 km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化； (1).平均速度v和运行时间t有函数关系吗？试说明理由． 当一个变量t变化时，另一个变量v随它变化而变化。 而且对于t的每一个确定的值，v都有唯一一个确定的值与其对应。 (2).你能写出平均速度v关于运行时间t的解析式吗？ v 2.某住宅小区要种植一块面积为1 000m2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化； (1). 草坪的长y和宽x有函数关系吗？试说明理由． 当一个变量y变化时，另一个变量x随它变化而变化。 而且对于y的每一个确定的值，x都有唯一一个确定的值与其对应。 (2).你能写出平均速度v关于运行时间t的解析式吗？ y= 3.已知北京市的总面积为 1.64×104 km2，人均占有面积 S(单位：km2/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化. 你能写出人均占有面积S关于全市总人口n的解析式吗？ S 观察这三个函数解析式，它们有什么共同点？ v y= S 答：这些解析式都具有y= 形式，其中k是非零常数． 反比例函数的概念：一般地，形如y = k为常数， k ≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数． 六、典例分析与习题 巩固练习 1.判断下列式子是不是反比例函数. 2.下列函数中哪些是反比例函数？哪些是一次函数？ ①y=3x －1 ②y=2x ③y= ④y= ⑤y= ⑥ －xy=2 ⑦y=6x－1 反比例函数：③ ④ ⑥ ⑦ 一次函数① ② ⑤ 3.已知反比例函数的解析式为y=，则a的取值范围是（ C ） A. a ≠2 B. a ≠-2 C. a ≠ ±2 D. a= ±2 考点解析 例 已知函数y=(2m2+m－1)x2m² +3m-3是反比例函数，求m的值. 解：∵y=(2m2+m－1)x2m² +3m-3是反比例函数， ∴ 2m² +3m-3= －1 2m2+m－1 ≠0 解得m= －2. 巩固练习 1. 若函数y=(m+1)x|m|－2是反比例函数，则m=( D ) A. ±1 B. ±3 C. －1 D.1 【解析】∵函数y=(m+1) x|m|－2是反比例函数， ∴ |m| － 2= － 1且m+1≠0，解得：m=1. 2.函数y=(m-1)xm² － m-1是反比例函数，求m的值. 【解析】解：由题意得： m－1 ≠ 0 m2 － m－1 ＝ －1 解得m=0. 典例解析 例1 已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式； 分析：因为y是x的反比例函数，所以设y=.把x=2和y=6代入上式，就可求出常数k的值. 解：(1) 设 y= ，因为当x=2时，y=6，所以有 6= ，解得k=12. 因此y= . (2)当x=4时，求y的值. 把x=4代入y= ，得y= =3 巩固练习 1. y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值： (1)写出这个反比例函数的解析式. 解：∵y是x的反比例函数， ∴y= 把x=-0.5，y=4代入上式得4= ，解得k=-2，则y= . (2)根据函数表达式完成上表. 学习检测 1. 下列y关于x的函数中： （1）y= ，（2）y=－ ，（3）xy=9，（4）y= ， （5）y= － ，（6） y=2x－1，（7）y= x2 . 是反比例函数的是（2）（3）（5）. 2.矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（ C ） A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数 3.直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为 3，则y与x之间的函数关系式为 y = . 4.已知菱形的面积是12cm2，菱形的两条对角线长分别为x和y，则y与x之间的函数关系是 y = . 5.某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t (小时)，写出时间t(小时)与Q之间的函数表达式 t = . 6. 若函数y=(3+m)x8-m²是反比例函数，则m的取值是 3 ． 7. 已知y与x成反比例，且当x=－2时，y=3，则 y与x之间的函数解析式是 y = －，当x=－3时，y= 2 ． 8. 已知反比例函数y= (k为常数，且k≠0)的图象经过点(3，4)，则该函数图象必不经过点( D ) A.(2，6) B.(－1，－12) C.(0.5，24) D.(－3，8) 解析：反比例函数y= (k为常数，且k≠0)的图象经过点(3，4)，k=3×4=12， 依次判断：A、B、C经过，D. － 3×8=－24不经过，故选D. 9.已知反比例函数的解析式为y = ，则最小整数k = 1 . 【解析】 根据反比例函数的意义，由反比例函数的解析式为y= 可得2k － 1>0，然后解不等式求出k的取值范围k > ，再找出此范围中的最小整数为1. 感受中考 1. (2024·内蒙古通辽·中考真题)如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y= (k为常数，k ＞0)上，将正六边形ABCDEF向上平移 个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为( A ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 3 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作EH ⊥ x轴于H，连接OE，可证明△OED是等边三角形，则DE=OD，OH=DH=OH，进而得到EH= OD，设OD=2m，则OH=m，HE=m，则E(m， m)，D(2m，0)，即可得到点(2m，)在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到k=2m· =m · m，据此求解即可. 解：如图所示，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE. ∵原点O为正六边形ABCDEF的中心， ∴OE=OD，∠EOD= =60°， ∴ △OED是等边三角形， ∴DE =OD， ∵ EH ⊥OD，∴OH=DH=OD， ∴EH= = OD， 设OD=2m，则OH=m，HE=m， ∴ E(m、 m)，D(2m，0)， ∵将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，点(2m， )在双曲线上，又∵点E也在双曲线上， ∴k=2m· =m· m，解得m=2或m=0(舍去)， k= 2m· =4 ，故选：A. 2. (2024·重庆·中考真题)反比例函数y=－的图象一定经过的点是（ B ） A.（1，10） B.（-2，5） C.（2，5） D.（2，8） 【解析】本题考查了求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数值是解题的关键，分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可. 解：当x=1时，y=-10，图象不经过（1，10），故A不符合要求; 当x=-2时，y=5，图象一定经过，故B符合要求； 当x=2时，y=-5， 图象不经过（2，5） ，故C不符合要求； 当x=2时，y=8， 图象不经过（2，8）故D不符合要求. 故选：B.故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $