精品解析：山东省德州市齐河县第三中学2025-2026学年八年级上学期12月月考 数学 试题

八年级数学试卷 满分：150分 时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，是分式， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘除法及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据幂的乘方、同底数幂的乘除法及积的乘方进行排除选项． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 3. 小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为0的条件，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）和无意义的条件（分母为0），分别验证各选项是否满足时值为0和时无意义． 【详解】解：当时，分式值为0， 分子为0且分母不为0； 当时，分式无意义， 分母为0， 对于选项A：当时，分子，分母， 分式值不为0，不符合题意； 对于选项B：当时，分母， 分式有意义，不符合题意； 对于选项C：当时，分母， 分式无意义，不符合题意； 对于选项D：当时，分子，分母， 分式值为0； 当时，分母， 分式无意义， 故选D． 4. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式适用于形式为的表达式，计算得． 【详解】由平方差公式为， 选项A: ，不符合； 选项B: ，不符合； 选项C: ，符合； 选项D: ，不符合． 故选：C． 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解： A．右边为 ，不是积的形式，故错误，不符合题意； B． ∵ ，故错误，不符合题意； C．左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解，故错误，不符合题意； D．，符合因式分解的定义并分解正确，符合题意． 故选：D． 6. 已知，，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，利用整体代入进行求解． 将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ , 又∵，， ∴ 原式． 故选：A． 7. 如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值是（ ） A. 扩大为原来的 4 倍 B. 扩大为原来的 2 倍 C. 不变 D. 缩小为原来的倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大2倍得： 所以分式的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 8. 若的结果中不含项，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把式子展开合并，找到项的系数，令其系数为0，可求出a的值，从而可得答案， 本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 【详解】解： ∵结果中不含项， ∴， ∴， 故选：B． 9. 小马在下面的计算题中只做对了一道题，你认为他做对的题目是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：因为，所以D选项约分后等于y-x，故答案是D选项. 故选D. 10. 已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. ____． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可． 【详解】解：原式 ． 12. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ， 或， 故答案为：5或． 13. 已知，则____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式．由已知方程变形得到，然后代入所求表达式，利用代数恒等变形和已知条件求解． 【详解】解：由可得， 由题意得，将方程两边除以，得， 则， 由得 ， 所以， 故答案为：6． 14. 小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 15. 有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再去括号合并同类项即可； 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键． 混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接利用提公因式因式分解，即可作答; （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答； （3）运用平方差公式进行因式分解，即可作答； （4）运用分组分解法进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 在计算时，甲错把a看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中x的系数，得到结果：． （1）求出a，b的值； （2）在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，二元一次方程组，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则． （1）根据题意列出算式，再根据多项式乘多项式的法则计算，得出关于a，b的方程组即可求解； （2）根据多项式乘多项式的法则计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， ， ， 解得：， ． 【小问2详解】 解：由（1）得， ． 19. （1）先化简，再求值：，其中． （2）化简：，然后选取一个你喜欢的的值代入求值． 【答案】（1），（2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值： （1）除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可； （2）除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值，进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； ∵， ∴原式； （2）原式， ∵， ∴， ∴当时，原式． 20. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 （2）请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值． 【答案】（1）D （2）， 【解析】 【分析】（1）根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． （2）化简之后的结果选择一个有意义的数代入求值即可． 【小问1详解】 出现错误是在乙和丁， 故选：D． 【小问2详解】 ， 根据分式有意义的条件可得且， 即只能从和中选择一个， 代入，得出结果为． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则． 21. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底； （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握整体思想和公式法进行因式分解，是解题的关键： （1）根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可； （2）根据完全平方公式法继续进行因式分解即可； （3）仿照题干方法，进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选C； 【小问2详解】 分解结果不彻底， 原式 ； 【小问3详解】 设， 原式． 22. 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．譬如：，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即）．根据对数的定义完成下列问题： （1）计算以下各对数的值： ； ； ． （2）由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出；；满足的等量关系式； （3）由（2）猜想一般性结论： （，且），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想． 【答案】（1），， （2） （3） 解：由（2）猜想一般性的结论是：． 设，则根据对数的定义可知：， ∴①， ∵， ∴根据对数的定义：②， 由①②可知：． 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是熟知指数与对数的相互联系． （1）根据指数与对数的相互关联的定义即可得出答案； （2）根据计算结果可得到满足的等量关系式； （3）根据同底数幂相乘的法则再结合对数的定义即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴根据对数的定义可知：． 故答案为：2；4；6． 【小问2详解】 解：∵，且， ∴． 【小问3详解】 略 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：____；图2：；图3：____． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：9， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ．即． 类比迁移： （2）若，，则____． （3）若，，则____． （4）若，则____． （5）将两块正方形纸板（）如图所示放置，其中点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，连接，，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；；（2）13；（3）；（4）10；（5）14 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法计算各个图形中阴影部分的面积即可； （2）根据完全平方公式变形求解即可； （3）根据完全平方公式变形求解即可； （4）根据完全平方公式变形求解即可； （5）设，由题意可得，根据求出的值，即可求出阴影面积． 【详解】解：（1）图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：；图3：． （2），， 则； （3），， ∴， ∴； （4）∵， ∴； （5）设， 在正方形和正方形中， ， ，正方形和正方形的面积和为36， ， ， 阴影面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 满分：150分 时间120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 小彤发现一个关于x的分式满足下表信息，则分式可以为（　　） x的取值 … 2 … … 分式的值 … 0 … 无意义 … A. B. C. D. 4. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 7. 如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值是（ ） A. 扩大为原来的 4 倍 B. 扩大为原来的 2 倍 C. 不变 D. 缩小为原来的倍 8. 若的结果中不含项，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 9. 小马在下面的计算题中只做对了一道题，你认为他做对的题目是（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. ____． 12. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则______． 13. 已知，则____． 14. 小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为______ ． 15. 有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分） 16. 计算 （1） （2） 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 在计算时，甲错把a看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中x的系数，得到结果：． （1）求出a，b的值； （2）在（1）的条件下，计算的结果． 19. （1）先化简，再求值：，其中． （2）化简：，然后选取一个你喜欢的的值代入求值． 20. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的是 A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 （2）请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值． 21. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 22. 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．譬如：，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即）．根据对数的定义完成下列问题： （1）计算以下各对数的值： ； ； ． （2）由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出；；满足的等量关系式； （3）由（2）猜想一般性结论： （，且），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想． 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：____；图2：；图3：____． 这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知，，求的值． 方法一：从“数”的角度解： ， ，即：9， 又， ． 方法二：从“形”的角度解： ， ， 又， ， ．即． 类比迁移： （2）若，，则____． （3）若，，则____． （4）若，则____． （5）将两块正方形纸板（）如图所示放置，其中点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，连接，，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $