5.4.2正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，通过生活周期现象实例导入，结合复习诱导公式、函数图像等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以“数学眼光”观察周期现象，用“数学思维”推导周期公式与奇偶性判定，通过例题变式形成“数学语言”表达。如用24小时、星期实例引入周期，结合诱导公式推导周期定义，总结周期公式，助力学生理解概念，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

第五章　三角函数 5.4　三角函数的图像与性质 第二课时 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 复习回顾 1.诱导公式 公式三 sin(2π－α)=sin(－α)＝ ， cos(2π－α)= cos(－α)＝ ， tan(2π－α) =tan(－α)＝ . 公式二 sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ . 公式四 sin(π － α)＝ ， cos(π － α)＝ ， tan(π － α)＝ . 公式一 sin(2π＋α)＝ ， cos(2π＋α)＝ ， tan(2π＋α)＝ . －sin α －cos α tan α －sin α cos α －tan α －tan α sin α －cos α sin α cos α tan α 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 1.诱导公式 公式六 sin(α)= ， cos(α)= ， 公式五 sin(α)＝ ， cos(α)＝ ， －sin α cos α sin α cos α 第五章　三角函数 数学必修一 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 奇变偶不变，符号看象限 的三角函数值 (1)当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号; (2)当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号; 复习回顾 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 2.任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 锐角的 三角函数 公式 三或一 公式 二或四 或五或六 公式一 0～2π的角的三角函数 负化正，正化小，化到锐角为终了 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 1.正弦函数与余弦函数的图像 正弦函数图像 余弦函数图像 在精确度要求不高时，常先找出五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到三角函数的简图． 第五章　三角函数 数学必修一 | 新 知 学 习 | 第五章　三角函数 数学必修一 新知探究 如果现在是早上9点钟,问你:24小时以后是几点钟?你会毫不犹豫地回答:还是早上9点钟.因为你很清楚,0点、1点、2点、3点……23点,每隔24小时就重复出现一次. 如果今天是星期一,问你:7天以后是星期几?你也会回答:还是星期一.因为你很清楚,星期一、星期二……星期天,每隔7天就重复出现一次. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象,如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象,如日出日落、月圆月缺、四季交替等。 由诱导公式一:sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x. 结合正(余)弦曲线,可以看出正(余)弦函数怎样的特征?图象变化趋势是怎样的? 自变量x增加2π的整数倍时,函数值重复出现,图象发生“周而复始”的变化. 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：周期性 探究1 大家观察下面的图像，有什么特点？ 你能解释正弦函数值为什么会具有的“周而复始”的变化规律吗？ 即自变量的值加上的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等. 数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律． 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：周期性 周期函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D 且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期. 说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期。 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：周期性 探究2 根据周期函数的定义，正弦函数的周期是多少呢？ X X+2π y x 0 2 4 -2 y=sinx(x∈R) 自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的 o y x 4π 8π x o y 6π 12π T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数) 正弦函数的周期不止一个（取不同的k值）。 …以及…等.都是正弦函数的周期. 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：周期性 正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：周期性 例2 求下列函数的周期： 解 ：（1） ∀x∈R，有3sin（x＋2π）＝3sin x， 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π． 解 ：（2）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π， 即cos（z＋2π）＝cos z， 于是cos（2x＋2π）＝cos 2x，所以cos 2（x＋π）＝cos 2x，x∈R． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π． 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：周期性 例2 求下列函数的周期： 解 ：（3）令 ，由得， 于是 所以 由周期函数的定义可知，原函数的周期为． 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：周期性 总结 回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 函数 周期 与x的系数有关 第五章　三角函数 数学必修一 知识点一：周期性 总结 回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 仿照上述分析过程可得函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期为：T ． 第五章　三角函数 数学必修一 知识点二：奇偶性 探究3 根据函数奇偶性的定义，三角函数的奇偶性是？ 正弦函数图像 余弦函数图像 是奇函数 是偶函数 定义域关于原点对称 第五章　三角函数 数学必修一 | 题 型 讲 解 | 第五章　三角函数 数学必修一 1.求下列函数的周期. (1);(2). 题型一 三角函数的周期 解：(1)∵,即,∴函数的最小正周期 (2)∵∴函数, ∴函数的最小正周期 第五章　三角函数 数学必修一 解：(1)∵,即,∴函数的最小正周期 (2)∵∴函数, ∴函数的最小正周期 变式1.求下列函数的周期. (1),;(2). 题型一 三角函数的周期 第五章　三角函数 数学必修一 2.判断下列函数的奇偶性： (1);(2) 题型二 正、余弦函数的奇偶性 解：(1)定义域为，关于原点对称. ∵ ∴函数是奇函数. (2)据题意，定义域为实数R.关于原点对称. ∵ ∴函数是偶函数. 第五章　三角函数 数学必修一 变式2.判断下列函数的奇偶性： (1); (2) (3) 题型二 正、余弦函数的奇偶性 解：(1)据题意，定义域为实数R，关于原点对称. ∵ ∴函数是偶函数. (2)据题意，定义域为实数R，关于原点对称. ∵ ∴函数是奇函数. 第五章　三角函数 数学必修一 变式2.判断下列函数的奇偶性： (3) 题型二 正、余弦函数的奇偶性 解：(3)据题意，有即 所以定义域为，关于原点对称. ∵ , ∴函数是奇函数. 第五章　三角函数 数学必修一 3.下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）. A. B. C. D. 题型三 三角函数的奇偶性与周期的综合应用 答案：D. 解：是偶函数，是偶函数， 是偶函数，是奇函数，且由周期公式可知其最小正周期为. 第五章　三角函数 数学必修一 变式3.定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则等于（ ）. A. B. C. D. 题型三 三角函数的奇偶性与周期的综合应用 答案：D. 解： 第五章　三角函数 数学必修一 | 课 堂 总 结 | 第五章　三角函数 数学必修一 复习回顾 1.周期函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x+T∈D 且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期. 仿照上述分析过程可得函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的最小正周期为：T ． 第五章　三角函数 数学必修一 正弦函数图像 余弦函数图像 是奇函数 是偶函数 定义域关于原点对称 复习回顾 3.三角函数的奇偶性 第五章　三角函数 数学必修一 $