5.1.2 弧度制 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦弧度制，系统讲解概念、角的互化及扇形弧长面积公式。通过“思考”环节从弧长与半径比值入手，关联角度制搭建认知支架，结合明辨是非巩固概念，为后续应用奠定基础。 其亮点在于以数学抽象和数学运算为核心，通过一题多解（如角度弧度互化两种方法）和古代数学问题（《算法统宗》秋千题），培养学生逻辑推理能力。采用典例解析与即学即练结合，学生能提升数学思维，教师可高效实施素养教学。

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 5.1.2　弧度制 内容概览 【学习目标】 1.了解弧度制的概念.(数学抽象) 2.会进行角度与弧度的转化.(数学运算) 3.理解弧度制下弧长与面积公式并能应用.(数学运算、逻辑推理) 01 必备知识•自主导学 一、角度制与弧度制 1.度量角的两种单位制 (1)角度制 ①定义:用___作为单位来度量角的单位制; ②1度的角等于周角的. (2)弧度制 ①定义:以_____作为单位来度量角的单位制; ②1弧度的角:长度等于_______的圆弧所对的圆心角. 度 弧度 半径长 【思考】 1.如图,在射线OA上任取一点Q (不同于点O),OQ=r1.在旋转过程中,点Q所形 成的圆弧的长为l1.l1与r1的比值是多少?你能得出 什么结论? 提示:比值是α.可以发现,圆心角α所对弧长与半径的比 值,只与α的大小有关. 2.弧度制与角度制的区别是什么?思考引入弧度制的意义是什么. 提示:角度制与弧度制是角的两种度量方式,引入弧度制可以使角的集合与 实数集R存在一一对应关系,为三角函数的引入做铺垫. 2.弧度数 正角的弧度数是一个_____,负角的弧度数是一个_____,零角的弧度数是__. 3.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=___ rad 2π rad=_____ 180°=__ rad π rad=_____ 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=()°≈57.30°=57°18' 角度数×=弧度数 弧度数×=角度数 正数 负数 0 2π 360° π 180° 【点拨】 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. 【注意】 (1)弧度单位rad可以省略. (2)在同一个题目中,弧度与角度不能混用. 二、扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为其圆心角,则 (1)弧长公式:l=___. (2)扇形面积公式:S=lR=αR2. αR 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一个角的度数对应唯一一个弧度数.( ) 提示:一个给定的角,其度数和弧度数都是唯一确定的. (2)在大小不同的圆中,长度为1的弧所对的圆心角相等.( ) 提示:弧的长度为1,在大小不同的圆中,由于半径不同,所以圆心角也不同. (3)1弧度的角大于1度的角.( ) 提示:1 rad大约等于57.3°. √ × √ 02 关键能力•师生共研 类型1角度与弧度的互化(数学抽象、数学运算) 【典例1】(1)①将112°30'化为弧度为　　　　　　.  ②将- rad化为角度为　　　　　　.  【解析】①因为1°= rad, 所以112°30'=×112.5 rad= rad. ②因为1 rad=()°, 所以- rad=-(×)°=-75°. 答案:① rad　②-75° (2)(一题多解)已知α=15°,β= rad,γ=1 rad,θ=105°,φ= rad,试比较α,β,γ,θ,φ 的大小. 【解析】方法一(化为弧度):α=15°=15× rad= rad, θ=105°=105× rad= rad,显然<<1<,故α<β<γ<θ=φ. 方法二(化为角度):β= rad=(×)°=18°,γ=1 rad≈57.30°, φ=(×)°=105°.显然,15°<18°<57.30°<105°. 故α<β<γ<θ=φ. 【总结升华】 角度与弧度的互化方法 (1)关键:利用互化公式π rad=180°. (2)方法:角度数×=弧度数;弧度数×=角度数. (3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度. 【即学即练】 (2024·武威高一检测)将下列角度与弧度进行互化: (1)π;　　(2)-; (3)10°;　　　(4)-855°. 【解析】(1)π rad=(×)°=15 330°. (2)- rad=-(×)°=-105°. (3)10°=10× rad= rad. (4)-855°=-855× rad=- rad. 类型2用弧度表示角(数学抽象、数学运算) 【典例2】(1)把角-570°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式为(　　) A.-3π-π B.-4π+150° C.-3kπ-30° D.-4π+π 【解析】选D.因为-570°与π的终边相同,所以把角-570°化为2kπ+α(0≤α<2π) 的形式为-4π+π. (2)用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合. 【解析】①225°角的终边可以看作是-135°角的终边, 化为弧度为-,60°角的终边为的终边, 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z }. ②与①类似,可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 {α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z }∪{α|2kπ+π+<α<2kπ+π+,k∈Z }={α|nπ+<α<nπ+,n∈Z }. 【总结升华】 关于用弧度表示角 (1)弧度制下,与α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k∈Z},注意角度和弧度不能混用. (2)区域角的表示:先用弧度表示出终边所在边界的角,再按照逆时针的方向,写出角的范围. 【即学即练】 1.若角α和β的终边关于y轴对称,则有(　　) A.α=-β B.α=(2k+)π-β(k∈Z) C.α=2π-β D.α=(2k+1)π-β(k∈Z) 【解析】选D.由题意,角α和β的终边关于y轴对称,可得α+β=π+2kπ,k∈Z, 即α=(2k+1)π-β(k∈Z). 2.如图,用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界). 【解析】如题图①,以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z), 以OB为终边的角为-+2kπ(k∈Z), 所以阴影部分内的角的集合为{α|-+2kπ<α<+2kπ,k∈Z }. 如题图②,以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z);以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z). 不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1,左边阴影部分所表示的集合为M2, 则M1={α|2kπ<α<+2kπ,k∈Z },M2={α|+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z }. 所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2={α|2kπ<α<+2kπ或+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z }. 【典例3】(1)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算 秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步与 人齐,五尺人高曾记……”某教师根据这首词设计一题:如图,已知A B⊥l,CD⊥l,AE=AC,CF⊥AE,CD=5,BE=2,FC=3,则的长为(　　) A.π B.π C.2π D.π 【解析】选C.由题意,=AF+(5-2),解得AF=3, 所以∠ACF=,∠FAC=,AC=6, 所以的长为×6=2π. (2)(一题多解)已知一扇形的圆心角是α(α>0),所在圆的半径是R. ①若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧所在的弓形面积; ②若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 【解析】①设弧长为l,弓形面积为S弓, 因为α=60°=,R=10,所以S扇=αR2=, 所以S弓=S扇-S△=-×10×10×sin 60°=-25(cm2). ②方法一:因为扇形周长c=2R+l=2R+αR,所以R=, 所以S扇=αR2=α() 2=·=·≤·=. (利用基本不等式) 所以当且仅当α=,即α=2时,扇形面积有最大值. 方法二:由已知2R+l=c,所以R=(l<c), 所以S=Rl=··l=(cl-l2)=-(l-) 2+,(二次函数最值问题) 所以当l=时,Smax=,此时α==2, 所以当扇形圆心角为2弧度时,扇形面积有最大值. 【总结升华】 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式:面积公式:S=lR=αR2,弧长公式:l=αR(其中l是扇形的弧长,R是扇形的半径,α是扇形圆心角的弧度数,0<α<2π). (2)找关键:涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题,关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解. 【即学即练】 1.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为π,则这个圆心角所对的弧长为 (　　) A.2π B.πsin 2 C. D. 【解析】选C.由题知弧度数为2的圆心角所对的弦长为π,设圆的半径为r, 由sin 1=,得r=.根据弧长公式l=θr=2r=. 2.如果一扇形的弧长变为原来的倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积为原扇形面积的　　　　.  【解析】由于S=lR,若l'=l,R'=R, 则S'=l'R'=×l×R=S. 答案: 3.已知扇形面积为25 cm2,当扇形的圆心角为多大时,扇形的周长取最小值? 【解析】设扇形的半径为R,弧长为l,扇形的周长为y,则y=l+2R.由题意,得lR=25, 则l=,故y=+2R(R>0). 利用函数单调性的定义可得, 当0<R≤5时,函数y=+2R单调递减; 当R>5时,函数y=+2R单调递增. 所以当R=5时,y取最小值20, 此时l=10,α==2, 即当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取最小值. $