专题09 投影与视图（期末复习讲义）九年级数学上学期冀教版

该初中数学期末复习讲义以“投影与视图”为核心，通过表格系统梳理四大核心考点，明确复习目标与考情规律。知识点按“定义-性质-应用”逻辑展开，结合图示直观呈现投影区别、正投影情况及三视图关系，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于“情境化题型+分层练习”设计，如皮影表演考查中心投影、测量古塔高度强化平行投影应用，培养空间观念与推理意识。题型覆盖选择、填空、解答，例题与变式搭配，基础与重难练习分层，支持学生自主复习，为教师分层教学提供精准素材。

专题09 投影与视图（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平行投影与中心投影的辨析 能准确区分两种投影类型，结合情境判断影子的方向、长短变化规律 基础必考点，常出现在选择、填空题；命题趋势是结合生活场景考查判断，难度较低 正投影的性质 能熟练掌握线段、平面图形在不同位置下的正投影特点，准确判断正投影的形状、大小关系 中档基础考点，多为选择题；命题趋势是直接考查性质判断或简单推理，难度不大 三视图的画法 能严格遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，画出简单几何体（或组合体）的主视图、俯视图、左视图，正确区分实线（可见轮廓）与虚线（不可见轮廓） 核心操作考点，常以解答题形式出现；命题趋势是考查正方体组合体、棱柱等简单几何体的三视图绘制，分值4-6分，难度中等 由三视图还原几何体 能根据三视图的形状、大小关系，逆向想象出原几何体（或组合体）的立体形状，准确判断几何体的组成部分及尺寸 高频核心考点，覆盖选择、填空题；命题趋势是结合简单组合体（如正方体堆叠、棱柱与圆柱组合）考查还原，难度中等 知识点01 平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，像这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. （2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2.物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即： 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 注意：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 知识点02 中心投影 若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. （2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 三、平行投影与中心投影的区别与联系 1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. （2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 知识点03 正投影 正投影的定义： 如图所示，图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；图（2）（3）中，投影线互相平行，形成平行投影；图（2）中，投影线斜着照射投影面；图（3）中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图（3）这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. （1）线段的正投影分为三种情况.如图所示. ①线段平行于投影面时，它的正投影是线段，与线段的长相等； ②线段倾斜于投影面时，它的正投影是线段，长小于线段的长； ③线段垂直于投影面时，它的正投影是一个点. （2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示. ①当平面图形平行于投影面时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面时，它的正投影是直线或直线的一部分. （3）立体图形的正投影：物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 知识点04 三视图 1.三视图的概念 （1）从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.三视图之间的关系 （1）位置关系 三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图（1）所示. （2）大小关系 三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图（2）所示. 3.画几何体的三视图 画图方法： 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： （1）确定主视图的位置，画出主视图； （2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； （3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 4.由三视图想象几何体的形状 由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 题型一 平行投影与中心投影的概含 【例1】陕西皮影是一种以兽皮雕刻影偶进行表演的传统傀儡戏艺术形式，被列入国家首批非物质文化遗产名录．在表演过程中，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会（    ） A．逐渐变小 B．不变 C．逐渐变大 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：设光源到剪影的距离为，剪影到幕布的距离为，剪影高度为，投影高度为， ∴由相似三角形得： ∵增大，和不变， ∴减小， ∴减小， 故皮影逐渐变小， 故选：A． 【例2】给出下列投影：①线段；②圆；③椭圆；④正方形．有阳光时，手持一元硬币，在平整的地面上形成的投影可能是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】 【详解】解：根据平行投影的原理，圆形物体在阳光下的投影可能因方向不同而呈现线段、圆或椭圆，但无法形成正方形． 故手持一元硬币在平整地面上形成的投影可能是①②③． 故答案为：①②③． 【变式1-1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：A、影子的方向不相同，不符合题意； B、影子方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，符合题意； C、影子方向相同，但较高的树的影子长度小于较低的树的影子，不符合题意； D、影子的方向不相同，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列现象中，属于中心投影的是（   ） A．白天旗杆的影子 B．阳光下广告牌的影子 C．灯光下演员的影子 D．中午小明跑步的影子 【答案】C 【详解】解：∵中心投影需点光源，如灯光， ∴ A、B、D 均由阳光（平行光）形成，属平行投影； C、由灯光（点光源）形成，属中心投影； 故选：C． 【变式1-3】一天小明和爸爸在阳光下的操场上散步，小明测得在同一时刻他和爸爸的影子长度分别是和，又知小明的身高是，则爸爸的身高是 ． 【答案】 【详解】解：设爸爸的身高为米， 由平行投影特点可得比例关系： ， 解得， 即爸爸的身高为米． 故答案为：． 题型二 平行投影与相似 【例3】如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 【例4】数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【答案】该古塔的高度为 【分析】 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 【变式2-1】如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，画图如下，过作于， 竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为， 设树的高为， ∵，在同一条直线上， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴树的高度为． 故答案为： 【变式2-2】如图，身高1.5米的小明在太阳光下的影子长1.8米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，求立柱的高． 【答案】2.5米 【详解】解：如图，过点D作交于H，过点作，交于点，则四边形是平行四边形，即米， 可得：， ， ， 米， （米， 故立柱的高为2.5米． 【变式2-3】如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为米 【详解】解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∵米，米，宽米，米， ∴米，，米， ∵点G是的中点， ∴米， ∴（米）， ∵实际高度和影长成正比例， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）． 答：电线杆的高度为米． 题型三 中心投影与相似 【例5】如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【例6】综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． (1)请画出两竹竿在灯光下的影长； (2)经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 【答案】(1)见解析 (2)灯柱的高为米 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）依题意，，米， ∴， ∴，， 设米， ∴，， 解得， 答：灯柱的高为米． 【变式3-1】小明拿一根竹竿从路灯下经过，竹竿与地面始终保持平行且与地面之间距离不变，请描述竹竿在地面的投影长度变化情况是 ． 【答案】不变 【详解】如图，设路灯高度为，竹竿高度为，竹竿长度为 ∴的高为，的高为， ∵ ∴ ∴ ∴，即投影长度为 与竹竿相对于路灯的水平距离无关．因此，当小明移动竹竿时，投影长度不变． 故答案为：不变． 【变式3-2】小明家的客厅有一张直径为，高 的圆桌 ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为 ．如图，根据题意，以 为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为 ，则点 E 的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， ∵点 D的坐标为 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式3-3】如图，三根木杆，，竖直立于地面，点B，D，F在同一条直线上．米，米，米，且米，木杆、的影子分别为、． (1)请在图中画出表示木杆的影长的线段； (2)已知，在图中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 【答案】(1)见解析 (2)的影长为米． 【分析】 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）如图，过点作垂直于点，设米，米． ，， ， ， ①， 同理可得，， ②， 由①②解得，经检验是分式方程组的解， 同理可得，， ，解得， 经检验是分式方程的解． 即的影长为3.6米． 题型四 判断几何体的三视图 【例7】在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据主视图可以发现，顶端是一个上宽下窄的梯形， ∴从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形， 故选：D． 【例8】如图所示的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，俯视图为： 故选C． 【变式4-1】榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形不属于其三视图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：B选项是其主视图，C选项是其左视图，D选项是其俯视图． A选项不属于其三视图． 故选：A． 【变式4-2】如图所示的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从上边看，该几何体的俯视图是一个矩形加一条实线， 故选：A． 【变式4-3】如图是由五个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：C． 题型五 画出几何体的三视图 【例9】画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】见解析 【分析】 【详解】解：该几何体的三视图如下： ． 【例10】画出如图所示立体图形的三视图． 【答案】画图见解析 【详解】解：三视图如图所示： 【变式5-1】某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【答案】见解析 【详解】解：该几何体的三视图，如下图为所求： ． 【变式5-2】我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】见解析 【分析】 【详解】解：如图所示，即为所作的三视图． 【变式5-3】如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为___________； (3)重新用小立方块搭一个几何体，并保持主视图和左视图不变，则搭这样一个几何体最少要___________个小立方块． 【答案】(1)图见解析 (2)26 (3)6 【分析】 【详解】（1）解：由图可得，三视图如下， （2）解：观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形， ∴这个几何体的表面积为， 故答案为：26； （3）解：由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层， 第一层需要4个小立方块，第二层至少需要2个小立方块， ∴搭这样一个几何体最少要（个）小立方块． 故答案为：6． 题型六 由三视图判断几何体 【例11】分别从前面、左面和上面看某个立体图形，得到如图的平面图形，那么该立体图形是（    ） A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．棱柱 【答案】C 【分析】 【详解】∵该立体图形的左视图和主视图是长方形，俯视图是圆， ∴该立体图形为圆柱． 故选：C． 【例12】图中三种视图对应的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：由三视图可知，对应的几何体是 ． 故选：D． 【变式6-1】从一个物体的不同方向看到的是如图所示的三个图形，则该物体的形状为（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆锥 【答案】D 【详解】解：∵主视图和左视图都是三角形， ∴此几何体为锥体， ∵俯视图是一个圆及圆心， ∴此几何体为圆锥， 故选：D． 【变式6-2】如图所示的三视图所对应的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：根据主视图是两个长方形拼接而成，可以看出A，B，D均不正确，只有C符合题意； 故选：C． 【变式6-3】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体为 ． 【答案】三棱柱 【详解】解：由三视图可知：这个几何体是三棱柱. 故答案为：三棱柱． 题型七 三视图的有关计算 【例13】如图所示是一个长方体的主视图和俯视图，则这个长方体的体积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】 【详解】解：由主视图可知该长方体的长为3，高为4， 由俯视图可知该长方体的宽为2， 这个长方体的体积为． 故选：D． 【例14】已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 【答案】(1)此模型由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体 (2)这个模型的质量为 (3)需要的油漆 【详解】（1）解：∵模型的三视图图， ∴模型是由两个长方体组成，上面是小长方体，下面是大长方体. （2）解：模型的体积（立方分米） 这个模型的质量为． （3）解：模型的表面积为， 需要的油漆． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出长方体的长、宽、高． 【变式7-1】如图所示的是三棱柱的三视图，在中，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】 【详解】解：如图，过点E作交于点H． ， ． 根据左视图可得到． 故答案为：． 【变式7-2】如图是一个几何体的主视图和左视图，图中标注的尺寸单位为，则该几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由主视图和左视图可知，原几何体可看成是3个长方体并排放在一起，长方体的宽都为，长都为，长方体的高分别为：， ∴原几何体的体积为：， 故答案为： ． 【变式7-3】如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)120平方厘米 【分析】 【详解】（1）解：由三视图可知，这个几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）解：由题知，该几何体的表面积． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．下列不是中心投影的是（   ） A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．人在路灯下形成的影子 D．皮影戏中的影子 【答案】A 【详解】解：∵ 中心投影的光线需从一点发散， 而A中阳光为平行光，光线不从一个点发散， ∴ A不是中心投影， B、C、D中光源均为点光源，光线从一点发散，是中心投影， 故选：A． 2．如图所示的几何体，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、是该几何体的左视图； B、不是该几何体的视图； C、是该几何体的俯视图； D、是该几何体的主视图． 故选：C． 3．如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：投影可知：，， ， ， 与的相似比是， ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 的周长为， ， ； 故选． 4．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体个数不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：俯视图最少如图所示： 最少小正方体个数是（个）； 俯视图如图所示： 最多小正方体个数是（个）； 观察四个选项，所需的小正方体个数不可能是， 故选：A． 5．如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B（点B在点A的正对面）的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， 圆柱高为，底面圆的周长为， ， 由图形可知，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点处，那么它爬行的最短路程为的长， 在中， ． 故选：B． 6．如图，是一个无盖长方体盒子的展开图，则该无盖长方体盒子的容积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】 【详解】解：长方体的长为，宽为，高为1，则容积为． 故选C． 7．当你走向路灯时，你的影子在你的 （填“前面”或“后面”），并且影子越来越 （填“长”或“短”）． 【答案】 后面 短 【分析】 【详解】解：晚上在路灯下散步，走向路灯时，影子在人与灯的相反方向，故你的影子在你的后面，离路灯越近影子越短． 故答案为：后面，短． 8．已知小丽的身高为，在同一时刻测得小丽和建筑物的投影长分别为和，建筑物的高是 ． 【答案】/11米 【详解】解：由题意得：， 解得：， 即建筑物的高是， 故答案为：． 9．一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的体积为 （π取）． 【答案】 【分析】 【详解】解：由展开图可知，该几何体为圆柱． 底面是以1为半径的圆，高为4， ∴圆柱的体积 故答案为：． 10．如图，地面上有三根立柱，立柱在光源O的照射下的影子分别为，已知点F、B、G、D、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请在图中画出光源O和立柱的影子． 【答案】见解析 【分析】 【详解】解：光源O如图所示，立柱的影子如图所示． 则即为所求． 11．如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 【答案】(1)三棱柱 (2)它的表面积为，它的体积为． 【分析】 【详解】（1）解：这个几何体为三棱柱． （2）解：它的表面积为：； 它的体积为：． 所以，它的表面积为：，它的体积为：． 12．如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍． (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是 （填序号）； (2)若设长方体的高为，则 ①长方体的宽为 （用含的式子表示）； ②请求长方体包装盒的体积． 【答案】(1)⑤ (2)①（或）② 【分析】 【详解】（1）解：∵长方体展开图的“相间、端”是对面， ∴面①和面⑤是相对面， 故答案为：⑤． （2）解：设长方体的高为，则长方体的长为， ∴长方体的宽为， 或为 故答案为：或； ∵长方体的宽为或， ∴， 解得， ∴长方体的高为，长方体的长为，长方体的宽为， ∴长方体的体积为：， 答：长方体的体积为． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：根据题意， 圆柱B的底面半径为，圆柱B的高为， 圆柱B的底面积为， 圆柱B的体积为． 故选：C． 2．如图，圆锥的底面半径为，母线长为，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点的最短路程是 ． 【答案】 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，， 故答案为：． 3．（1）下面是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出几何体的名称． 几何体：________； （2）用代数式表示阴影部分的面积________； 当，时，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）圆柱；（2）， 【分析】 【详解】解：（1）该几何体的表面展开图上下底面是相同圆，侧面是四边形， ∴该几何体是圆柱体； 故答案为：圆柱体； （2）依题意，； 当，时，原式． 4．综合与实践 【问题情景】：七（1）班某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【操作探究】： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的图形______（填序号）经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是小亮的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的字是______． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小红准备将其四角各剪去一个边长为的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②这个纸盒的容积可列代数式表示为：______，当时，求这个纸盒的容积． 【答案】(1)④ (2)保 (3)①见解析；②， 【分析】 【详解】（1）解：∵折叠成一个无盖的正方体纸盒， ∴展开图有5个面， ∴②不符合题意； ③可以折叠出有盖的正方体的纸盒，不符合题意； ∵正方体的展开图不能出现“田”字形， ∴①不符合题意； ④能经过折叠围成无盖正方体纸盒． 故答案为：④； （2）解：根据“相间、Z端是对面”可知，与“卫”字相对的字是“保”， 故答案为：保； （3）解：①示意图如图所示． ②这个纸盒的容积可列代数式表示为：， 当时，． 5．某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如图1所示．（单位：） (1)直接写出（用含x、y的代数式表示）： ①长方体的体积为： 　 　； ②长方体的表面积为： 　 　； (2)当，时，数学活动小组的同学准备用边长为a的正方形纸板（如图2）裁剪成六块，作为长方体的六个面，粘合成如图1所示的长方体包装盒． ①求出a的值； ②在图2中画出裁剪线的示意图，并标注相关的数据． 【答案】(1)①；② (2)①；②见解析 【分析】 【详解】（1）①解：根据题意得，长方体的体积为 故答案为：； ②解：根据题意得，长方体的表面积为， 故答案为：； （2）①解：当，时， 长方体的表面积为， 则， 解得； ②解：裁剪线的示意图如下： 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 投影与视图（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平行投影与中心投影的辨析 能准确区分两种投影类型，结合情境判断影子的方向、长短变化规律 基础必考点，常出现在选择、填空题；命题趋势是结合生活场景考查判断，难度较低 正投影的性质 能熟练掌握线段、平面图形在不同位置下的正投影特点，准确判断正投影的形状、大小关系 中档基础考点，多为选择题；命题趋势是直接考查性质判断或简单推理，难度不大 三视图的画法 能严格遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，画出简单几何体（或组合体）的主视图、俯视图、左视图，正确区分实线（可见轮廓）与虚线（不可见轮廓） 核心操作考点，常以解答题形式出现；命题趋势是考查正方体组合体、棱柱等简单几何体的三视图绘制，分值4-6分，难度中等 由三视图还原几何体 能根据三视图的形状、大小关系，逆向想象出原几何体（或组合体）的立体形状，准确判断几何体的组成部分及尺寸 高频核心考点，覆盖选择、填空题；命题趋势是结合简单组合体（如正方体堆叠、棱柱与圆柱组合）考查还原，难度中等 知识点01 平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，像这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. （2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2.物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例，即： 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 注意：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 知识点02 中心投影 若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. （2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 三、平行投影与中心投影的区别与联系 1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线. （2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化. 2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例. （2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 知识点03 正投影 正投影的定义： 如图所示，图（1）中的投影线集中于一点，形成中心投影；图（2）（3）中，投影线互相平行，形成平行投影；图（2）中，投影线斜着照射投影面；图（3）中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图（3）这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. （1）线段的正投影分为三种情况.如图所示. ①线段平行于投影面时，它的正投影是线段，与线段的长相等； ②线段倾斜于投影面时，它的正投影是线段，长小于线段的长； ③线段垂直于投影面时，它的正投影是一个点. （2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示. ①当平面图形平行于投影面时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面时，它的正投影是直线或直线的一部分. （3）立体图形的正投影：物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 知识点04 三视图 1.三视图的概念 （1）从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 2.三视图之间的关系 （1）位置关系 三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图（1）所示. （2）大小关系 三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图（2）所示. 3.画几何体的三视图 画图方法： 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： （1）确定主视图的位置，画出主视图； （2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； （3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 4.由三视图想象几何体的形状 由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 题型一 平行投影与中心投影的概含 【例1】陕西皮影是一种以兽皮雕刻影偶进行表演的传统傀儡戏艺术形式，被列入国家首批非物质文化遗产名录．在表演过程中，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会（    ） A．逐渐变小 B．不变 C．逐渐变大 D．无法确定 【例2】给出下列投影：①线段；②圆；③椭圆；④正方形．有阳光时，手持一元硬币，在平整的地面上形成的投影可能是 ．（填序号） 【变式1-1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一天的同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列现象中，属于中心投影的是（   ） A．白天旗杆的影子 B．阳光下广告牌的影子 C．灯光下演员的影子 D．中午小明跑步的影子 【变式1-3】一天小明和爸爸在阳光下的操场上散步，小明测得在同一时刻他和爸爸的影子长度分别是和，又知小明的身高是，则爸爸的身高是 ． 题型二 平行投影与相似 【例3】如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【例4】数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【变式2-1】如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ． 【变式2-2】如图，身高1.5米的小明在太阳光下的影子长1.8米，此时，立柱的影子一部分是落在地面的，一部分是落在墙上的．若量得米，米，求立柱的高． 【变式2-3】如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 题型三 中心投影与相似 【例5】如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为 ． 【例6】综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． (1)请画出两竹竿在灯光下的影长； (2)经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 【变式3-1】小明拿一根竹竿从路灯下经过，竹竿与地面始终保持平行且与地面之间距离不变，请描述竹竿在地面的投影长度变化情况是 ． 【变式3-2】小明家的客厅有一张直径为，高 的圆桌 ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为 ．如图，根据题意，以 为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为 ，则点 E 的坐标是 ． 【变式3-3】如图，三根木杆，，竖直立于地面，点B，D，F在同一条直线上．米，米，米，且米，木杆、的影子分别为、． (1)请在图中画出表示木杆的影长的线段； (2)已知，在图中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 题型四 判断几何体的三视图 【例7】在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【例8】如图所示的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，下列图形不属于其三视图的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图所示的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】如图是由五个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 题型五 画出几何体的三视图 【例9】画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【例10】画出如图所示立体图形的三视图． 【变式5-1】某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【变式5-2】我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 【变式5-3】如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成． (1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为___________； (3)重新用小立方块搭一个几何体，并保持主视图和左视图不变，则搭这样一个几何体最少要___________个小立方块． 题型六 由三视图判断几何体 【例11】分别从前面、左面和上面看某个立体图形，得到如图的平面图形，那么该立体图形是（    ） A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．棱柱 【例12】图中三种视图对应的几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】从一个物体的不同方向看到的是如图所示的三个图形，则该物体的形状为（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆锥 【变式6-2】如图所示的三视图所对应的几何体是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体为 ． 题型七 三视图的有关计算 【例13】如图所示是一个长方体的主视图和俯视图，则这个长方体的体积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【例14】已知一个模型的三视图如图所示（单位：）． (1)请描述这个模型的形状； (2)制作这个模型的木料密度为，则这个模型的质量为多少（质量密度体积）？ (3)如果用油漆涂抹这个模型，每千克油漆可以涂抹，那么需要多少千克的油漆？ 【变式7-1】如图所示的是三棱柱的三视图，在中，，则的长为 ． 【变式7-2】如图是一个几何体的主视图和左视图，图中标注的尺寸单位为，则该几何体的体积为 ． 【变式7-3】如图是某几何体的三视图． (1)这个几何体的名称是___________； (2)若主视图是宽为，长为的矩形，左视图是宽为的矩形，俯视图是斜边为的直角三角形，则这个几何体的表面积是多少？ 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．下列不是中心投影的是（   ） A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．人在路灯下形成的影子 D．皮影戏中的影子 2．如图所示的几何体，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 4．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体个数不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B（点B在点A的正对面）的最短路程是（   ） A． B． C． D． 6．如图，是一个无盖长方体盒子的展开图，则该无盖长方体盒子的容积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．1 7．当你走向路灯时，你的影子在你的 （填“前面”或“后面”），并且影子越来越 （填“长”或“短”）． 8．已知小丽的身高为，在同一时刻测得小丽和建筑物的投影长分别为和，建筑物的高是 ． 9．一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的体积为 （π取）． 10．如图，地面上有三根立柱，立柱在光源O的照射下的影子分别为，已知点F、B、G、D、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请在图中画出光源O和立柱的影子． 11．如图是某几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 12．如图是某长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是高的2倍． (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，则原包装盒与①相对的面是 （填序号）； (2)若设长方体的高为，则 ①长方体的宽为 （用含的式子表示）； ②请求长方体包装盒的体积． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，圆锥的底面半径为，母线长为，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点的最短路程是 ． 3．（1）下面是哪种几何体表面的展开图？请你在横线上写出几何体的名称． 几何体：________； （2）用代数式表示阴影部分的面积________； 当，时，求阴影部分的面积（结果保留）． 4．综合与实践 【问题情景】：七（1）班某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【操作探究】： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的图形______（填序号）经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是小亮的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“卫”字相对的字是______． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小红准备将其四角各剪去一个边长为的小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②这个纸盒的容积可列代数式表示为：______，当时，求这个纸盒的容积． 5．某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如图1所示．（单位：） (1)直接写出（用含x、y的代数式表示）： ①长方体的体积为： 　 　； ②长方体的表面积为： 　 　； (2)当，时，数学活动小组的同学准备用边长为a的正方形纸板（如图2）裁剪成六块，作为长方体的六个面，粘合成如图1所示的长方体包装盒． ①求出a的值； ②在图2中画出裁剪线的示意图，并标注相关的数据． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $