专题04 指对数运算及指对数函数（热点专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题04 指对数运算及指对数函数 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：对指对数运算及函数考查以“基础打底、综合拔高”为核心，题型覆盖选择、填空与解答题。命题特点鲜明，注重情境化设计，常结合科技、生活、数学文化等真实背景，将指对数运算融入函数性质、不等式、导数等模块综合考查，避免孤立命题。同时强调通性通法，如换底公式、同构转化等，突出“多考想、少考算”的特色，梯度清晰且区分度明显。 预测2026年：2026年高考北京数学指对数运算及函数考查将延续情境化与综合化趋势。大概率以科技、生活真实场景为载体，融入同构转化、分类讨论等思想，与导数、不等式、数列跨模块融合。侧重考查运算精准性、逻辑推理及建模能力，选择填空聚焦基础运算与性质辨析，凸显对核心素养的综合检验。 题型01指对数的运算 解｜题｜策｜略 （一）利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． （二）对数运算 1.根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 2.应用换底公式应注意： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 例1． 例2．已知常数，函数的图象经过点，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练】 练习1．已知函数，则 ． 练习2．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 练习3．已知，若，，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 练习4．已知则 ． 题型02指数、对数函数的定义域与值域问题 例3．下列函数中，定义域是 的是（    ） A． B． C． D． 例4．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．的最大值是0 D．在上单调递增 【变式训练】 练习1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 练习2．的值域是 练习3．若函数（且）的最大值为3，则（   ） A． B． C．2 D．3 练习4．已知函数，若的图象关于直线对称，则的值域为 . 题型03指数、对数函数的图象问题 解｜题｜策｜略 处理指对数函数图象问题的3个策略： （1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点，对数函数的图象过定点； （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)； （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 例5．已知函数的大致图象如图1所示，则图2所对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 例6．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．5 B．2 C． D． 【变式训练】 练习1．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 ． 练习2．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 练习3．函数与函数图象的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 练习4．设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   题型04指数、对数函数的单调性问题 解｜题｜策｜略 关于指对数型函数的单调性由两点决定，一是底数还是；二是借助函数的性质，研究函数和或在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定复合函数的单调性． 例7．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 例8．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 练习1．若且，函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 练习3．已知三个函数，，，则（   ） A．对任意的，三个函数定义域都为 B．存在，三个函数值域都为 C．对任意的，三个函数都是奇函数 D．存在，三个函数在其定义域上都是严格增函数 练习4．若函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 题型04指数、对数函数的单调性问题 解｜题｜策｜略 关于指对数型函数的单调性由两点决定，一是底数还是；二是借助函数的性质，研究函数和或在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定复合函数的单调性． 题型05指对幂数比较大小 例9．已知，则（　　） A． B． C． D． 例10．已知实数，，满足：，则下列不等式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 练习1．已知 ，则（    ） A． B． C． D． 练习2．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 练习3．设，，，则（  ） A． B． C． D． 练习4．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 题型06解不等式问题 解｜题｜策｜略 （1）形如或的不等式，借助和的单调性求解，如果的取值不确定，需分和两种情况讨论； （2）形如或的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助或的单调性求解. 例11．不等式的解集为 . 例12．定义在上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 练习1．已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 练习2．定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练习3．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 练习4．已知函数是R上的偶函数，且在上恒有，（），则不等式的解集为 ． 题型07指数函数与对数函数的实际应用 例13．某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：．当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（    ） （参考数据：，，） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 例14．星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（   ） A．3等星的亮度是8等星亮度的100倍 B．8等星的亮度是3等星亮度的100倍 C．3等星的亮度是8等星亮度的10倍 D．8等星的亮度是3等星亮度的10倍 【变式训练】 练习1．在光纤通讯中，发射器发出的光信号在传输后，功率会逐渐衰减变弱.衰减后的光功率 （单位：）可表示为，其中为起始光功率（单位：），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始功率的一半. 若距离由变为时，光功率由变到，则（    ） A． B． C． D． 练习2．二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到需要至少多少整数分钟（参考：）（    ） A．21 B．20 C．19 D．18 练习3．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则 ． 练习4．据日本东京电力公司称，福岛第一核电站第九轮核污染水排海已于当地时间2024年10月14日结束．此轮核污染水排海自9月26日开始，排放总量约为7800吨．已知污水中一种放射性元素钴－60的半衰期是5.27年．污水样本中钴－60的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足．其中表示钴－60原有的质量，则（参考数据：）（    ） A． B．经过10.54年后，样本中的钴－60元素会全部消失 C．经过26.35年后，样本中的钴－60元素的质量变为原来的 D．若年后，样本中钴－60元素的含量为，则 题型08指数函数与对数函数的综合应用 例15．已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中不正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【变式训练】 练习1．若非零实数满足且，则的值为 . 练习2．已知函数的定义域是，对于给定的正数，定义函数；设，若，则函数的递增区间是 （   ） A． B． C． D． 练习3．设函数，若的值域为，则a的一个取值为 ；若值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为 . 练习4．意大利画家达芬奇在创作《抱银貂的女子》时思考了一个问题：画中女子佩戴着一条长长的项链，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.设函数，则不等式的解集为 . （建议用时：20分钟） 九、单选题 1．（2025·湖北荆州·一模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气中的温度是 ℃，那么t分钟后物体的温度(单位：℃) ，其中k是一个常数．现有60 ℃的物体，放在12 ℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是36 ℃，若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．（2025·辽宁本溪·二模）函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西崇左·一模）已知函数（且）为奇函数，若方程有两个不同的实数解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东潍坊·一模）若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北黄冈·一模）设，若，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 6．（2025·山东滨州·二模）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．（2025·辽宁锦州·一模）若实数a，b满足，则不正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则不正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C．存在函数，使得的值域为 D．存在函数，使得是奇函数 9．（2025·福建宁德·二模）已知函数的最大值为2，则 ． 10．（2025·山东枣庄·模拟预测）方程的解集为 ． 11．（2025·吉林长春·三模）设函数. （1）当时，的解集为 ； （2）若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 . 12．（2025·山东菏泽·三模）已知函数．若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指对数运算及指对数函数 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：对指对数运算及函数考查以“基础打底、综合拔高”为核心，题型覆盖选择、填空与解答题。命题特点鲜明，注重情境化设计，常结合科技、生活、数学文化等真实背景，将指对数运算融入函数性质、不等式、导数等模块综合考查，避免孤立命题。同时强调通性通法，如换底公式、同构转化等，突出“多考想、少考算”的特色，梯度清晰且区分度明显。 预测2026年：2026年高考北京数学指对数运算及函数考查将延续情境化与综合化趋势。大概率以科技、生活真实场景为载体，融入同构转化、分类讨论等思想，与导数、不等式、数列跨模块融合。侧重考查运算精准性、逻辑推理及建模能力，选择填空聚焦基础运算与性质辨析，凸显对核心素养的综合检验。 题型01指对数的运算 解｜题｜策｜略 （一）利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． （二）对数运算 1.根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 2.应用换底公式应注意： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 例1． 【答案】 【详解】因为，，， 所以. 故答案为：. 例2．已知常数，函数的图象经过点，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】因为函数的图象经过点 所以，整理得，即， 所以，又，代入得，， 又，所以. 故选：B 【变式训练】 练习1．已知函数，则 ． 【答案】/0.5 【详解】已知函数，则， 因此. 故答案为：. 练习2．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在R上的奇函数， 所以 故选：A 练习3．已知，若，，则（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【详解】由，得，由，得， 则，即，又，因此，即，解得， 所以. 故选：A 练习4．已知则 ． 【答案】 【详解】， 两边取以3为底的对数可得， 设，则， 则，即， 因为为增函数，为减函数， 所以函数与函数的图象只有1个交点，即方程只有1根， 观察发现，当时，满足方程， 因为，即， 解得， 所以. 故答案为：. 题型02指数、对数函数的定义域与值域问题 例3．下列函数中，定义域是 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为，不符合题意； 对于B，要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为，符合题意； 对于C，要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为，不符合题意； 对于D，要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域不是，不符合题意. 故选：B. 例4．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．的最大值是0 D．在上单调递增 【答案】D 【详解】由且，解得，则的定义域为，故A正确； ∵，则为偶函数，故B正确； ∵，， 令，当时，单调递减， 而在上单调递增，则在上单调递减，故D错误； ∵，，令， 当时，，则的最大值是，故C正确. 故选：D. 【变式训练】 练习1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 练习2．的值域是 【答案】 【详解】，， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 练习3．若函数（且）的最大值为3，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】函数中，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减，当，， 其值域为，而函数在上单调递增， 因此函数的值域为， 当时，函数在上单调递减，值域为，无最大值，不符合题意； 当时，函数在上单调递增，当时，， 解得，符合题意，所以. 故选：B 练习4．已知函数，若的图象关于直线对称，则的值域为 . 【答案】 【详解】的图象关于直线对称，则，即，解得， ，当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 题型03指数、对数函数的图象问题 解｜题｜策｜略 处理指对数函数图象问题的3个策略： （1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点，对数函数的图象过定点； （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)； （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势． 例5．已知函数的大致图象如图1所示，则图2所对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：由题可得图2函数定义域，对于中，，其定义域为，故A错误； B：由题可得当时，，当时，，则不关于轴对称，故B错误； C：函数中，定义域，即，符合图2的定义域， 令，则，所以为偶函数，符合图2的对称性，故C正确. D：函数中，定义域，即，符合图2的定义域， 令，得不符合图2，故D错误. 故选：C. 例6．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】∵对数函数经过定点， 则令，即，即点， ∴，即， ∵，∴， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴的最小值为5. 故选：A. 【变式训练】 练习1．已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点． 故答案为： 练习2．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域是， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，CD选项错误. ，B选项错误. 故选：A 练习3．函数与函数图象的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【解析】略 练习4．设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方， 所以且， 所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误； 对B，函数单调递增，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确； 对C，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误； 对D，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，故D错误. 故选：B 题型04指数、对数函数的单调性问题 解｜题｜策｜略 关于指对数型函数的单调性由两点决定，一是底数还是；二是借助函数的性质，研究函数和或在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定复合函数的单调性． 例7．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得：或，即定义域为； 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为. 故选：A. 例8．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由且，解得函数定义域为. 函数化简为. 令，其为开口向下的抛物线，对称轴为，故在上单调递增. 又在时单调递增，根据复合函数“同增异减”， 原函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式训练】 练习1．若且，函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，解得． 故选：A. 练习2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，显然为增函数， 当时，，此时为开口向下的二次函数，所以对称轴， 即即可， 当时，， 故的取值范围是， 故选：B. 练习3．已知三个函数，，，则（   ） A．对任意的，三个函数定义域都为 B．存在，三个函数值域都为 C．对任意的，三个函数都是奇函数 D．存在，三个函数在其定义域上都是严格增函数 【答案】D 【详解】若且时，的定义域为，故A错误； 对任意的，函数，值域不是，故B错误； 对任意的，且时，，都是非奇非偶函数，故C错误； 当时，函数，，在其定义域上都是增函数，故D正确． 故选：D． 练习4．若函数且在区间上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，在上单调递减，则在上单调递减， 所以，无解； 当时，在上单调递减，则在上单调递增， 所以，解得， 综上可得，的取值范围为. 故答案为：. 题型04指数、对数函数的单调性问题 解｜题｜策｜略 关于指对数型函数的单调性由两点决定，一是底数还是；二是借助函数的性质，研究函数和或在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定复合函数的单调性． 题型05指对幂数比较大小 例9．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，所以． 故选：A． 例10．已知实数，，满足：，则下列不等式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图在同一坐标系中分别作出函数的图象， 依题意直线与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为， 则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系. 由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：； 当直线在②位置时，显然有：； 当直线在③位置时，显然有：，故C错误. 故选：C 【变式训练】 练习1．已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 练习2．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在定义域上单调递增， ， 因为， 所以，所以， 因为 ，所以， 又， 即， 所以， 所以， 故选：C 练习3．设，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故， 又，. 从而有. 故选：D 练习4．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 而函数是增函数，所以， 而由函数的图象得， 因此， 又因为定义在上的偶函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 因此，即. 故选：D. 题型06解不等式问题 解｜题｜策｜略 （1）形如或的不等式，借助和的单调性求解，如果的取值不确定，需分和两种情况讨论； （2）形如或的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助或的单调性求解. 例11．不等式的解集为 . 【答案】 【详解】令，则在上单调递增， 又，则不等式可化为， 故，即不等式的解集为. 故答案为：. 例12．定义在上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，解得， 则，因为，所以，进而，即是定义在上的奇函数且单调递增， 令，则， 所以是偶函数，当时，，故，且在上单调递增， 因为，所以不等式等价于， 因为是偶函数且在上单调递增，所以， 解得：或， 即或，结合，最终解集为. 故选：C. 【变式训练】 练习1．已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，将不等式转化为，得到，结合的单调性，即可求解. 【解答过程】设函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，即，所以为奇函数， 因为是上的增函数，是上的减函数， 所以是上的增函数， 由等价于， 即， 又因为是奇函数，可得， 可得，即，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 练习2．定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】略 练习3．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，得 ， 由，观察可得方程组的解为或， 画出的图像    由图可知，不等式的解集是. 故选： 练习4．已知函数是R上的偶函数，且在上恒有，（），则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为函数是R上的偶函数，所以关于直线对称， 因为在上恒有，（）， 当时，，所以在单调递减，在单调递增， 不等式，则，解得. 故答案为：． 题型07指数函数与对数函数的实际应用 例13．某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：．当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（    ） （参考数据：，，） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【答案】B 【详解】， 当时，，解得， ，解得， 此时汽车大约行驶了（公里），故B正确． 故选：B． 例14．星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，则（   ） A．3等星的亮度是8等星亮度的100倍 B．8等星的亮度是3等星亮度的100倍 C．3等星的亮度是8等星亮度的10倍 D．8等星的亮度是3等星亮度的10倍 【答案】A 【详解】设3等星的亮度是x，8等星亮度是y，则， 即3等星的亮度是8等星亮度的100倍. 故选：A 【变式训练】 练习1．在光纤通讯中，发射器发出的光信号在传输后，功率会逐渐衰减变弱.衰减后的光功率 （单位：）可表示为，其中为起始光功率（单位：），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始功率的一半. 若距离由变为时，光功率由变到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，则①， 又，，所以②， 联立①②可得，则. 故选：B. 练习2．二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到需要至少多少整数分钟（参考：）（    ） A．21 B．20 C．19 D．18 【答案】B 【详解】依题意，时，，则得，解得，则， 由，可得，即， 两边取自然对数，，故. 故降至需要至少20分钟. 故选：B. 练习3．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则 ． 【答案】 【详解】依题意，， 即0.2， 即，，则． 故答案为：. 练习4．据日本东京电力公司称，福岛第一核电站第九轮核污染水排海已于当地时间2024年10月14日结束．此轮核污染水排海自9月26日开始，排放总量约为7800吨．已知污水中一种放射性元素钴－60的半衰期是5.27年．污水样本中钴－60的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足．其中表示钴－60原有的质量，则（参考数据：）（    ） A． B．经过10.54年后，样本中的钴－60元素会全部消失 C．经过26.35年后，样本中的钴－60元素的质量变为原来的 D．若年后，样本中钴－60元素的含量为，则 【答案】C 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的钴-60元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ，故D错误. 故选：C 题型08指数函数与对数函数的综合应用 例15．已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】因为是定义在上的函数且满足，则关于对称， 又是奇函数，则，关于对称， 且当时，，可以画出的图形， 则的零点个数转化为与的交点个数， 如图，当时，， 故两个图像交点的个数为10，即的零点个数为10. 故选：D 例16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中不正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是 【答案】A 【详解】依题意，函数的定义域为， A，，，，函数不是偶函数，A错； B，，则函数是奇函数，B对； C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C对； D，由，得，则，的值域为，D对. 故选：A 【变式训练】 练习1．若非零实数满足且，则的值为 . 【答案】 【详解】， 由，可得：， 解得：. 故答案为：. 练习2．已知函数的定义域是，对于给定的正数，定义函数；设，若，则函数的递增区间是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，易得， 由，得，解得或； 由，得，解得， 根据题意可得函数， 其图象如图： 故函数的递增区间是． 故选：B 练习3．设函数，若的值域为，则a的一个取值为 ；若值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为 . 【答案】 0（答案不唯一） / 【详解】要使的值域为，令，则能取遍内的所有值， 因此，解得或， 故若的值域为，则a的一个取值可以为0， 若值域为且在上是增函数，则需满足，解得或， 故的值域为且在上是增函数，则实数a的最小值为， 故答案为：0（答案不唯一）， 练习4．意大利画家达芬奇在创作《抱银貂的女子》时思考了一个问题：画中女子佩戴着一条长长的项链，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是双曲余弦函数，类似的有双曲正弦函数.设函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由， 所以， 令，则， 而函数在上递增，在上递减， 所以在上递增，则， 所以不等式的解集为. 故答案为：. （建议用时：20分钟） 九、单选题 1．（2025·湖北荆州·一模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气中的温度是 ℃，那么t分钟后物体的温度(单位：℃) ，其中k是一个常数．现有60 ℃的物体，放在12 ℃的空气中冷却，5分钟后物体的温度是36 ℃，若，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】详解】由题意可得， 对于选项AB：当时，， 解得，，故A正确，B错误； 对于选项C：若，因为单调递减， 则， 所以成立，故C正确； 对于选项D：若，则，可得， 又因为，则， 可得，即，故D正确. 故选：B. 2．（2025·辽宁本溪·二模）函数的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】对任意的，，即函数的定义域为， 又因为 ， 所以，故函数的对称中心为. 故选：D. 3．（2024·广西崇左·一模）已知函数（且）为奇函数，若方程有两个不同的实数解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】由函数是定义在上的奇函数，则，解得， 当时，函数，则， 所以，则，即， 因为方程有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 令，则，可得， 即在有两个不同的实数解， 所以函数和的图象在上有两个不同的交点， 又因为，当且仅当时，即时，等号成立， 当时，，且时，， 画出函数的图象，如图所示， 结合图象，可得， 即方程有两个不同的实数解，实数的取值范围为. 故选：D. 4．（2024·山东潍坊·一模）若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】因为二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以当时，该二次函数是单调递增函数， 当时，；当时，，所以此时二次函数的值域为. 当时，当时，函数单调递减， 当时，；当时，， 所以，而， 因此在内不成立； 当时，当时，函数单调递增， 当时，；当时，，此时该对数函数的值域为， 二次函数和对数函数的图象如下图所示： 要想不等式 在内恒成立， 只需，而，所以， 故选：B 5．（2025·湖北黄冈·一模）设，若，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】由，可作出其图象： 由，得，即， 得且， 所以， 当且仅当，即时等号成立．所以的最小值为. 故选：B. 6．（2025·山东滨州·二模）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】函数，则 ，因此函数的图象关于点对称， 函数在上都单调递增，因此函数在上单调递增， 则，而，所以. 故选：B 7．（2025·辽宁锦州·一模）若实数a，b满足，则不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB选项，由题意得， 令，显然在上单调递增， 且，， 则，故，且，， 所以，，故，A正确，B错误； C选项，，C正确； D选项，，故，D正确； 故选：B 8．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则不正确的是（   ） A． B．在上单调递增 C．存在函数，使得的值域为 D．存在函数，使得是奇函数 【答案】A 【详解】令，得，所以或. 对于A，若，则对任意， 左边，右边，矛盾，故A错误； 对于B，若，则对任意， 可得，经检验，符合题意，易知在上单调递增，故B正确； 对于C，的值域为，只要满足定义域为，值域为即可， 如，，符合题意，故C正确； 对于D，令，得， 而定义域为，，故即为奇函数，故D正确. 故选：A . 9．（2025·福建宁德·二模）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】/ 【详解】设，则． 因为为减函数，又有最大值为2，所以有最小值． 二次函数有最小值所以开口向上，因此， 二次函数的最小值，所以，解得． 故答案为：. 10．（2025·山东枣庄·模拟预测）方程的解集为 ． 【答案】 【详解】已知：，根据换底公式可得：， 化简得：，约分整理得：，即：， 因此可得：或，即：或. 故方程的解集为. 故答案为： 11．（2025·吉林长春·三模）设函数. （1）当时，的解集为 ； （2）若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 ； . 【分析】 【详解】当时，函数， 当时，，即， 解得； 结合，得 当时，即， 解得或， 结合，得或 综上，的解集为； 若函数有3个零点，可得在上有一个零点，在上有两个零点， 当时，，得， 因，故， 即当时，在上有一个零点； 当时，，这是一元二次方程，需有2个正根， 则，解得， 综上，a的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）. 12．（2025·山东菏泽·三模）已知函数．若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令，原方程化为，即，解得或， 函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为R，作出函数的图象，如图， 观察图象，得当或时，方程有1个解； 当或时，方程有2个解； 当时，有3个解， 由方程有且仅有5个不同实数根， 得或，解得或，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $