第二十章　勾股定理 习题课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理及其应用，从网格中正方形面积关系（SA+SB=SC）导入，通过拼图验证、基础计算、综合应用等环节，构建从具体到抽象的学习支架，衔接定理推导与实际问题解决。 其亮点在于分层设计，“夯实四基”巩固基础计算，“提升四能”强化分类讨论与规律探究，“发展素养”通过面积法证明培养推理能力与创新意识。如拼图验证勾股定理体现数学思维，规律探究题发展数学眼光，助力学生提升运算与推理能力，教师可高效开展分层教学。

第二十章　勾股定理 20．2 勾股定理的逆定理及其应用 第1课时　勾股定理的逆定理 1 返回 B 1. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是(　　) 星题 夯实四基 1 2 返回 2. B 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边的长分别为a，b，c．若a，b，c满足b2＝a2＋c2，则(　　) A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．无法确定 星题 夯实四基 1 返回 3. D 已知在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是(　　) A．∠A＝∠B＋∠C B．(a＋b)(a－b)＝c2 C．a ： b ： c＝3：4 ： 5 D．∠A ： ∠B ： ∠C＝3 ： 4 ： 5 星题 夯实四基 1 返回 4. C 如图，点E在边长为5的正方形ABCD内，测得CE＝3，DE＝4，则阴影部分的面积是(　　) A．12 B．16 C．19 D．25 星题 夯实四基 1 返回 5. 90 如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2，则 ∠ACB＝________°． 星题 夯实四基 1 6. 解：∵72＋242＝252， ∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形． (12分)根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形． (1)a＝7，b＝24，c＝25； 星题 夯实四基 1 返回 星题 夯实四基 1 返回 7. C 下列各组数中，是勾股数的是(　　) 星题 夯实四基 1 返回 8. B 星题 夯实四基 1 返回 9. D 有下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整数)．其中是勾股数的有(　　) A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 星题 夯实四基 1 11 返回 10. D 若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(c2－b2)(c2＋b2－a2)＝0，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 星题 提升四能 2 12 返回 11. B 已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，先以点A为圆心，AN的长为半径画弧；再以点B为圆心，BM的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 星题 提升四能 2 13 返回 12. D 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝AD＝6，BC＝8，CD＝10，则∠ABC的度数为(　　) A．105° B．120° C．135° D．150° 星题 提升四能 2 14 返回 13. C 有五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是(　　) 星题 提升四能 2 返回 14. 11，60，61 [2025扬州中考]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为__________． 星题 提升四能 2 返回 15. 2 [2025天津期中]如图，已知AD∥BC，以B为圆心，BC的长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥ BE，垂足为F．若AB＝6，AE＝8，BE＝10，则EF＝________． 星题 提升四能 2 16. 证明：连接BE，∵D是AB边的中点， DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE. 又∵AE2－CE2＝BC2，∴BE2－CE2＝BC2， 即BE2＝BC2＋CE2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°. (8分)如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2．　 (1)求证：∠C＝90°； 星题 发展素养 3 (2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长． 返回 星题 提升四能 2 19 17. (8分)如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝60°，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接AD．若PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数． 星题 发展素养 3 返回 解：连接DP，由旋转得∠DCP＝60°＝∠ACB，CD＝CP， ∴∠ACB－∠ACP＝∠DCP－∠ACP，即∠ACD＝∠BCP. 又∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCP，∴∠BPC＝∠ADC， AD＝PB＝6. ∵∠DCP＝60°，CD＝CP， ∴△DCP是等边三角形，∴∠CDP＝60°，DP＝CP＝8. ∵AP＝10，∴AD2＋DP2＝AP2， ∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°， ∴∠ADC＝∠ADP＋∠CDP＝150°，∴∠BPC的度数为150°. 星题 发展素养 3 A．1，1，1 B．1，2， C．3，4，6 D．2，3，4 (2)a＝，b＝1，c＝； (3)a＝2 ，b＝3，c＝． 解：∵2＋2＝≠12， 即较小两边长的平方和不等于最大边长的平方，∴以a，b，c为边的三角形中任何两边的长的平方和都不等于第三边的长的平方，∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形． ∵(2 )2＋32＝8＋9＝17＝()2，∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形． A．1，2，2 B．0．3，0．4，0．5 C．6，8，10 D．1，， 若5，13，m是一组勾股数，则m的值为(　　) A．5 B．12 C．13 D． 解：在Rt△BDE中，BE＝＝10，∴AE＝10. 设CE＝x，则AC＝10＋x. ∵BD＝8，∴AB＝2BD＝16， 在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝162－(10＋x)2， 在Rt△BCE中，BC2＝EB2－EC2＝102－x2， ∴162－(10＋x)2＝102－x2，解得x＝2.8，∴CE＝2.8. $第二十章　勾股定理 20．2 勾股定理的逆定理及其应用 第2课时　勾股定理及其逆定理的综合应用 1 返回 不垂直 1. 一根电线杆高12 m，为了安全起见，在电线杆顶部及与电线杆底部水平距离5 m处之间加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13．2 m(不计捆缚部分)，则电线杆与地面________(填“垂直”或“不垂直”)． 星题 夯实四基 1 2 返回 2. A [教材P36例2变式][2025广州期中]如图，某港口C在南北方向的海岸线上，甲、乙两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向匀速航行，已知甲、乙两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道甲船沿北偏西50°方向航行，那么乙船航行的方向为(　　) A．南偏西40° B．北偏西40° C．南偏西50° D．北偏西50° 星题 夯实四基 1 3. (12分)如图，社区有一块面积为500 m2的正方形空地ACDE，空地的B处有一个凉亭，BC，AB为两条小路，现在△ABC内种植月季花，其余地方种植郁金香(小路的宽度不计)，测得AB＝10 m，BC＝20 m． (1)求正方形空地的边CD的长； 星题 夯实四基 1 解：∵AB＝10 m，BC＝20 m， ∴AB2＝100，BC2＝400， ∵AC2＝CD2＝500， ∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°. (2)求∠ABC的度数； 星题 夯实四基 1 5 (3)求郁金香的种植面积． 返回 星题 夯实四基 1 6 返回 4. C 如图，若AB＝10，BC＝6，AC＝8，则AC边上的中线BD的长为(　　) 星题 夯实四基 1 返回 5. 90° 星题 夯实四基 1 返回 6. 如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，若AC＝4，CD＝3，AD＝5，则AB的长为________． 星题 夯实四基 1 7. 星题 夯实四基 1 返回 星题 夯实四基 1 返回 8. B 如图，某校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(　　) A．48 m2 B．114 m2 C．122 m2 D．158 m2 星题 提升四能 2 返回 9. A 星题 提升四能 2 13 10. (8分)[2025台州期中]某市夏季经常会出现台风天气，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为AC＝300 km，BC＝400 km，且AB＝500 km．根据实测数据，在台风中心半径260 km范围内的地区会受到台风影响． 星题 提升四能 2 14 (1)海港C受台风影响吗？为什么？ 星题 提升四能 2 15 (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续 8 h，求台风中心的移动速度． 返回 星题 提升四能 2 16 11. (8分) 如图①②均为4×2的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1． (1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的关系，并说明理由； 星题 发展素养 3 17 解：AB⊥BC且AB＝BC. 理由如下：如图①，连接AC. 由勾股定理，得AB2＝12＋22＝5， BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10， ∴AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB⊥BC. ∴AB与BC的关系为AB⊥BC且AB＝BC. 星题 发展素养 3 解：如图②，由图易知∠CAD＝∠α. 由勾股定理，得AB2＝12＋22＝5， BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10， ∴AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴∠CAD＋∠β＝45°，∴∠α＋∠β＝45°. (2)求图②中∠α＋∠β的度数(要求：画出示意图并写出过程)． 返回 星题 发展素养 3 19 解：∵正方形ACDE的面积为500 m2， ∴CD2＝500，∴CD＝10 m. 解：由(2)知∠ABC＝90°， ∴△ABC为直角三角形， ∴S△ABC＝AB·BC＝×10×20＝100(m2)， ∴郁金香的种植面积为500－100＝400(m2)． A．5 B．4 C．2 D．2 如图是一个零件的平面示意图，经测量，∠ACB＝90°，AB＝5 ，BC＝5，CD＝6，AD＝8，则∠D＝________． 4 (4分)如图，在四边形ABDE中，C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4， AE＝．求证：∠ACE＝90°． 证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2， ∴AC＝＝＝. 在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4， ∴CE＝＝＝2 . ∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65， ∴AE2＝AC2＋CE2， ∴△ACE是直角三角形，AE是斜边， ∴∠ACE＝90°. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，垂足分别为M，N，若BD＝，DE＝2，EC＝，则AC的长为(　　) A． B． C． D．3 解：海港C受台风影响． 理由如下：如图①，过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝300 km，BC＝400 km，AB＝500 km，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝240 km. ∵240 km<260 km，∴海港C受台风影响． 解：如图②，设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港．由题意，得CE＝CF＝260 km. ∵CD＝240 km，CD⊥AB，∴ED＝FD＝＝100 km， ∴EF＝2ED＝200 km.又∵受台风影响持续8 h， ∴移动速度为＝25(km/h)． 答：台风中心的移动速度为25 km/h. $第二十章　勾股定理 20．1 勾股定理及其应用 第1课时　勾股定理及其验证 1 返回 9 1. 如图为由边长为1的小正方形组成的网格，三个正方形A，B，C的顶点都在格点上，SA＝________，SB＝________，SC＝________，三个正方形面积间的关系可用式子表示为________________． 25 34 SA＋SB＝SC 星题 夯实四基 1 2 2. (4分)如图是用硬纸板做成的四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形和一个边长为c的正方形所拼成的图形．请利用这个图形证明勾股定理． 星题 夯实四基 1 返回 星题 夯实四基 1 返回 3. C 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则BC的长为(　　) A．2 B．4 C．8 D．9 星题 夯实四基 1 返回 4. B 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB＝2，则AD的长为(　　) 星题 夯实四基 1 返回 5. B [教材P26练习T3变式]已知平面直角坐标系中有两点A(－3，0)，B(0，－2)，则A，B两点之间的距离是(　　) 星题 夯实四基 1 返回 6. B 如图，AB＝BC＝CD＝2，且BC⊥AB，CD⊥AC，则线段AD的长为(　　) 星题 夯实四基 1 返回 7. 72 在Rt△ABC中，斜边BC＝6，则BC2＋AB2＋AC2的值为________． 星题 夯实四基 1 8. (8分)[教材P25练习T1变式]在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c． (1)已知b＝2，c＝3，求a的值； 星题 夯实四基 1 解：设a＝3x，则c＝5x.∵a2＋b2＝c2， ∴(3x)2＋322＝(5x)2，解得x＝8(负值已舍去)． ∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40. (2)已知a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值． 返回 星题 夯实四基 1 11 返回 9. B 如果直角三角形两边长分别为3和4，那么这个三角形的第三边的长是(　　) 星题 提升四能 2 12 返回 10. B 如图，先以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，再以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为S1，S2，S3，相应的三个正方形的面积分别为S1′，S2′，S3′，则下列关系式中正确的是(　　) A．S1′＋S3′＝2S2′ B．S1＋S2＝S3 C．S1＋S2>S3 D．S1′<S3′－S2′ 星题 提升四能 2 13 返回 11. 8 星题 提升四能 2 14 返回 12. [2025东营中考改编]如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 026的值为______． 星题 提升四能 2 15 13. (8分)[2025保定期中]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC上一点，AB＝AE，连接DE．若BD＝5，CD＝13，求AE的长． 星题 提升四能 2 返回 星题 提升四能 2 14. (8分)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他发现：当两个全等的直角三角形如图①或图②所示摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图①所示的方式摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2＋b2＝c2． 星题 发展素养 3 星题 发展素养 3 请参照上述证法，利用图②完成勾股定理的证明． 返回 星题 发展素养 3 20 证明：由题图可知大正方形的面积可表示为(a＋b)2，也可表示为c2＋4×ab，∴(a＋b)2＝c2＋4×ab，即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab， ∴a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方． A．1 B． C． D．2 A． B． C． D． A．2 B．2 C．4 D．3 解：∵在△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3， ∴a＝＝＝. A．5 B．5或 C． D．2 在△ABC中，∠B＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若c－a＝6，b＝2 ，则△ABC的面积为________． 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD. 又∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED(SAS)， ∴DE＝BD＝5，∠AED＝∠B＝90°，∴∠CED＝90°. 在Rt△CDE中，由勾股定理得CE＝＝12. 设AB＝AE＝x，则AC＝x＋12， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2， ∴x2＋(5＋13)2＝(x＋12)2，解得x＝7.5，即AE的长为7.5. 证明：连接DB, DC，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线于点F，易得DF＝EC＝b－a． ∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab， S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)， ∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)， ∴a2＋b2＝c2． 证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，交DE的延长线于点F，易得BF＝b－a. ∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE ＝ab＋b2＋ab， S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a， ∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)，∴a2＋b2＝c2. $第二十章　勾股定理 20．1 勾股定理及其应用 第3课时　利用勾股定理计算、作图 1 返回 A 1. 如图，在数轴上点A′表示的实数是(　　) 星题 夯实四基 1 2 返回 2. D [2025杭州月考]如图，A(4，0)，C(－1，0)，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，连接AB，则点B的坐标是(　　) A．(0，5) B．(5，0) C．(3，0) D．(0，3) 星题 夯实四基 1 3. 星题 夯实四基 1 返回 星题 夯实四基 1 返回 4. B 如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝18，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则BE的长度为(　　) A．6 B．10 C．24 D．48 星题 夯实四基 1 返回 5. D 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为6和8，则b的面积为(　　) A．6 B．8 C．10 D．14 星题 夯实四基 1 返回 6. B 星题 夯实四基 1 返回 7. B 星题 夯实四基 1 返回 8. C [2025西安二模]如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，则点B到线段AC的距离为(　　) 星题 夯实四基 1 返回 9. 解：如图．(画法不唯一) 星题 夯实四基 1 11 返回 10. B 如图，正方形ABCD的面积为3，AB在x轴的正半轴上，以A(1，0)为圆心，AC的长为半径作圆弧交x轴负半轴于点E，则点E的横坐标是(　　) 星题 提升四能 2 12 返回 11. 星题 提升四能 2 13 返回 12. [2025青岛模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝________． 星题 提升四能 2 14 返回 13. ＜ 星题 提升四能 2 14. 解：如图①.(画法不唯一) (8分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫作格点． (1)在图①中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形； 星题 提升四能 2 返回 星题 提升四能 2 17 15. (12分) 如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x． (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长为________________________； (2)AC＋CE的最小值为________； 星题 发展素养 3 星题 发展素养 3 返回 星题 发展素养 3 A．－ B．－ C．－2 D． (4分)[教材P29练习T1变式]在数轴上作出表示和的点． 解：如图，在数轴上取OA＝3，过点A作AB⊥OA，且AB＝1，连接OB， 则OB＝＝＝， 以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交原点右侧的数轴于点C， 则点C对应的实数即为. 再过点C作CD⊥AC，且CD＝1，连接OD，则OD＝＝＝， 以点O为圆心，OD的长为半径画弧，交原点右侧的数轴于点E， 则点E对应的实数即为. [教材P29练习T2变式]如图，在△ABC中，AB＝4 ，AC＝5，BC＝7，则△ABC的面积为(　　) A．12 B．14 C．15 D．16 如图，在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中，标记格点A，B，C，D，则下列线段长度为的是(　　) A．线段AB B．线段BC C．线段AC D．线段BD A． B．2 C． D．2 (4分)如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段．请在图中画出三条线段AB，CD，EF，使AB＝，CD＝2 ，EF＝． A．－＋1 B．1－ C．－－1 D．1－3 [2025广西中考]如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝________． －1 为了比较与＋1的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，点D在BC上，且BD＝AC＝1．通过计算可得________＋1(填“>”“<”或“＝”)． (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为2，，，并计算该三角形的面积． 解：如图②.(画法不唯一)， 该三角形的面积为×2×1＝1. ＋ (3)根据(2)中的规律和结论，请模仿图①在由边长为1的小正方形组成的网格(图②)中构图并求代数式＋的最小值． 解：(画法不唯一)如图，已知AB＝1，DE＝2，BD＝3， 设BP＝x，则根据勾股定理得AP＝，PE＝， ∴AP＋PE＝＋， 由(2)可知＋的最小值即为点A，E之间的距离， 易得＋的最小值为3 . $第二十章　勾股定理 章末整合练 1 返回 B 1. 下面三幅图中，能证明勾股定理的有(　　) A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．都不能 核心考点巩固 2 返回 2. 如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了刘徽的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形(连同空白部分)的面积是36，则大正方形ABCD的边长是________． 5 核心考点巩固 返回 3. 如图，△OAB的顶点O的坐标为(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是(　　) A．(5，4) B．(3，4) C．(5，3) D．(4，3) D 核心考点巩固 返回 4. 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示3的点为圆心，以长方形的对角线长为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是(　　) C 核心考点巩固 返回 5. [2025成都中考]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________． 核心考点巩固 返回 6. [2025深圳南山区二模]最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定的夹角(如图①)．图②是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB＝BC＝20 cm，∠ABC＝120°．机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗正常状态 下的高度为________cm． 核心考点巩固 返回 7. [教材P26练习T2变式]如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知S＝31， S1＝4，S2＝9，S3＝8，则S4的值是________． 10 核心考点巩固 返回 8. [2025郑州月考]勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是(　　) C 核心考点巩固 返回 9. 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是(　　) C 核心考点巩固 10 返回 10. 如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东38°方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B在岛C的北偏西______方向上． 52° 核心考点巩固 11 11. (8分)如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15 m，CD＝8 m，AD＝17 m．从点A修了一条垂直BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12 m． (1)求边BC的长； 核心考点巩固 12 核心考点巩固 (2)连接AC，判断△ADC的形状． 解：∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15 m. 又∵AD＝17 m，CD＝8 m， ∴CD2＋AC2＝AD2， ∴△ADC是直角三角形． 返回 核心考点巩固 14 12. (8分) 如图为某品牌婴儿车的简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得 AB＝8 dm，BC＝9 dm，CD＝12 dm，AD＝ 17 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该婴儿车是否符合安全标准． 核心考点巩固 15 返回 核心考点巩固 返回 13. 思想方法演练 返回 14. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为8 m的半圆，其边缘AB＝CD＝20 m，点E在CD上，CE＝5 m，一名滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为(边缘部分的厚度忽略不计，π取3，结果精确到1 m)(　　)  A．17 m B．18 m C．19 m D．20 m C 思想方法演练 15. (8分)如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，BC＝16，把△ABC折叠，使AB落在边AC所在的直线上，且点B的对应点为B′，折痕为AD，求重叠部分(阴影部分)的面积． 思想方法演练 返回 思想方法演练 A．5．2 B．2 C．3＋ D．2＋ 20 A．1，2，3 B．4，5， C．7，24，25 D．0．6，0．8，0．9 解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°. 在Rt△ABE中，∵AB＝15 m，AE＝12 m，∴BE＝＝＝9(m)． 又∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18 m. 解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝8 dm，AD＝17 dm， ∴由勾股定理得BD＝＝＝15(dm)， 在△BCD中，BC＝9 dm，CD＝12 dm，BD＝15 dm， ∵92＋122＝225，152＝225， ∴BC2＋CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，即BC⊥CD， ∴该婴儿车符合安全标准． 若Rt△ABC的两边长a，b满足＋(b－8)2＝0，则它的第三边长c为___________． 10或2 解：∵AB＝20，AC＝12，BC＝16， ∴AC2＋BC2＝122＋162＝400＝202＝AB2, ∴∠ACB＝90°， 设CD＝x，由折叠的性质可得BD＝B′D＝16－x， AB′＝AB＝20，∴B′C＝AB′－AC＝8. 在Rt△B′CD中，CD2＋B′C2＝B′D2， ∴x2＋82＝2，解得x＝6， ∴阴影部分的面积为×6×12＝36. $第二十章　勾股定理 20．1 勾股定理及其应用 第2课时　勾股定理的应用 1 返回 2.4 1. [2025连云港中考]如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1．8 m，则梯子顶端的高度h为________m． 星题 夯实四基 1 2 返回 2. 5 [2025重庆期末]如图，一根木棍长18 cm，斜放在直径为5 cm的圆形水杯中，水杯的高AC为12 cm，则露出水杯外的部分AD的长至少为________cm． 星题 夯实四基 1 返回 3. 8 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草． 星题 夯实四基 1 返回 4. C 如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8 m，另一棵高2 m，两树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则至少要飞行(　　) A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m 星题 夯实四基 1 返回 5. C [教材P26例2变式]将一块不能弯曲的正方形木块(不考虑厚度)搬进室内，如图，若要通过一扇高为2 m，宽为1 m的门，则以下边长的木块中，可以通过此门的是(　　) A．2．8 m B．2．5 m C．2．2 m D．以上答案都不对 星题 夯实四基 1 返回 6. B 如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离OB为1．5 m，梯子顶端到地面的距离AB为2 m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙上，则梯子顶端到地面的距离CD为2．4 m，则小巷的宽度BD为(　　) A．0．7 m B．2．2 m C．2．5 m D．1．8 m 星题 夯实四基 1 返回 7. C [教材P31习题T10变式]“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．如图，AC＝5尺，DC＝1尺，BD＝BA，则BC＝(　　) A．8尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 星题 夯实四基 1 8. (4分)在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个引水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．该村为方便村民引水，决定在河边新建一个引水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB于点H．测得CH＝ 2．4 km，HB＝1．8 km，求新路CH 比原路CB，CA各少多少千米． 星题 夯实四基 1 返回 星题 夯实四基 1 返回 9. 如图，钓鱼竿AB的长为5．4 m，露出水面上的鱼线BC长为1．8 m．当钓鱼者把钓鱼竿AB转到AB′的位置时，露出水面上的鱼线B′C′长为4．2 m，则CC′的长为________． 星题 提升四能 2 11 返回 10. 5 如图是一架秋千的示意图，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0．5 m，将它往前推送3 m(水平距离BC＝3 m)时，踏板离地的垂直高度BF＝1．5 m，绳索始终拉得很直，则秋千的绳索AD的长为______m． 星题 提升四能 2 12 11. (8分) 消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援．如图，云梯最多能伸长到25 m(即AB＝CD＝25 m)，消防车高4 m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19 m(即BE＝19 m)高的B处救人后，还要从24 m(即DE＝24 m)高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？(延长AC交DE于点O， AO⊥DE，OE的长即为消防车的高) 星题 提升四能 2 13 返回 星题 提升四能 2 12. 25 (12分)数学课上，老师提出如下问题：如图①是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20，3，2．点A处有一只蚂蚁要沿着台阶爬到点B处， 则蚂蚁爬行的最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB的长为________，就是最短路程． 星题 发展素养 3 15 17 (2)如图③是一个圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路程为________cm． 星题 发展素养 3 16 (3)如图④是一个圆柱形玻璃杯，高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度忽略不计) 星题 发展素养 3 17 返回 星题 发展素养 3 解：由题意得BC＝＝＝3(km)， 设AB＝AC＝x km，则AH＝AB－HB＝(x－1.8)km， 易知AC2＝CH2＋AH2， ∴x2＝2.42＋(x－1.8)2，解得x＝2.5， ∴AB＝AC＝2.5 km，∴新路CH比原路CB少3－2.4＝0.6(km)，比原路CA少2.5－2.4＝0.1(km)． m　 解：在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，AB＝25 m，OB＝19－4＝15(m)， ∴AO＝＝＝20(m)． 在Rt△COD中，∵∠COD＝90°，CD＝25 m，OD＝24－4＝20(m)， ∴OC＝＝＝15(m)， ∴AC＝OA－OC＝20－15＝5(m)． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为5 m. 解：如图，作出玻璃杯侧面展开图的一半，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE的延长线于点D，连接AB′，交EF于点C，连接BC，易得BC＋CA＝AB′，则AB′的长即为最短路程．由题意得DE＝B′F＝BF＝1 cm，AE＝9－4＝5，∴AD＝AE＋DE＝6 cm. ∵底面周长为16 cm，∴B′D＝×16＝8， ∴AB′＝＝10 cm， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为10 cm. $