第二十一章　四边形 习题课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“四边形及多边形”核心内容，涵盖四边形定义、内角和、对角线、稳定性等知识点。通过图形辨析、实例分析导入，从基础判断到内角和计算，再到综合证明与实际应用，构建递进式学习支架。 其亮点在于分层设计“夯实四基”“提升四能”“发展素养”习题，结合生活实例（如四边形不稳定性实物图）培养数学眼光，通过逻辑推理（如角平分线平行证明）发展数学思维，以“智慧四边形”新定义问题提升数学语言表达能力。助力学生深化理解，教师高效教学。

第二十一章　四边形 21．2 平行四边形 21.2.1 平行四边形及其性质 第1课时　平行四边形的定义及性质 1 返回 平行四边形 1. [教材P57练习T3变式]如图，将两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是____________，理由是____________________________________． 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 星题 夯实四基 1 2 返回 2. 3 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中的平行四边形共有________个． 星题 夯实四基 1 返回 3. A [教材P57练习T1(1)变式]在▱ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则▱ABCD的周长为(　　) A．10 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm 星题 夯实四基 1 返回 4. D [2025北京大兴区期中]在▱ABCD中，∠A＋∠C＝100°，则∠D的度数是(　　) A．50° B．80° C．100° D．130° 星题 夯实四基 1 返回 5. B 如图，在▱ABCD中，AE⊥CD，垂足为E．若∠B＝53°，则∠DAE的度数为(　　) A．33° B．37° C．53° D．57° 星题 夯实四基 1 6 返回 6. 5 如图，在▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝________． 星题 夯实四基 1 返回 7. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝5，BC∥AD， ∴∠EFC＝∠EAD，∠ECF＝∠EDA. ∵点E是CD的中点，∴CE＝DE， ∴△ADE≌△FCE(AAS)． ∴CF＝AD＝5，∴BF＝BC＋CF＝5＋5＝10. (4分)[2025宜宾中考]如图，点E是▱ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5．求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长． 星题 夯实四基 1 返回 8. C 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A．AB＝BC B．AC＝BD C．OA＝OC D．AC⊥BD 星题 夯实四基 1 返回 9. D 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AC＝6，BD＝8，则AD的长可能是(　　) A．10 B．8 C．7 D．6 星题 夯实四基 1 10 返回 10. B [教材P57练习T2变式]如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知△CDO的周长为15，AC＝7， BD＝11，则CD的长为(　　) A．5 B．6 C．8 D．9 星题 夯实四基 1 11 返回 11. 8 [教材P57例1变式]如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，▱ABCD的面积为48，OA＝3，则BC的长为________． 星题 夯实四基 1 12 返回 12. C 如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，OE⊥AC交AD于点E，连接CE，若△DCE的周长为14，则▱ABCD的周长为(　　) A．7 B．14 C．28 D．56 星题 提升四能 2 13 返回 13. C 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为(　　) A．4 B．6 C．8 D．16 星题 提升四能 2 返回 14. 48 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为________． 星题 提升四能 2 返回 15. 60° 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，则∠BAC的度数为________． 星题 提升四能 2 16. (8分)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点B，D作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接DE，BF． (1)求证：FO＝EO； 星题 提升四能 2 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝BO. ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠DFO＝∠BEO＝90°. 又∵∠DOF＝∠BOE， ∴△DFO≌△BEO(AAS)， ∴FO＝EO. 星题 提升四能 2 (2)若DF＝EF，CF＝12，AB＝13，求BD的长． 返回 星题 提升四能 2 19 解：在▱ABCD中，CD＝AB＝13，由(1)知∠DFC＝90°， ∴由勾股定理得DF＝＝5，∴EF＝DF＝5， ∴FO＝EO＝EF＝. ∴由勾股定理得DO＝＝， ∴BD＝2DO＝5 . $第二十一章　四边形 21．1 四边形及多边形 21.1.2 多边形及其内角和 1 返回 C 1. 下列图形中不是多边形的是(　　) 星题 夯实四基 1 2 返回 2. A 下列说法正确的是(　　) A．n边形有n条边、n个内角、n个顶点 B．多边形的外角大于与它相邻的内角 C．五条线段一定能组成五边形 D．六边形的六个角都相等 星题 夯实四基 1 返回 3. 6 如图，该凸边形有________条边，是________边形，从一个顶点出发的对角线有________条，将该多边形分成________个三角形． 六 3 4 星题 夯实四基 1 返回 4. 十 [2025重庆期末]已知一个多边形从它的一个顶点出发，可以作7条对角线，则这个多边形是________边形． 星题 夯实四基 1 返回 5. C 下列图形中是正多边形的是(　　) 星题 夯实四基 1 返回 6. 35 已知正多边形的边长为5，过其一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则该正多边形的周长是________． 星题 夯实四基 1 返回 7. C 一个六边形的内角和等于(　　) A．360° B．540° C．720° D．900° 星题 夯实四基 1 返回 8. C [教材P52练习T2(1)变式][2025上海杨浦区期中]如果一个n边形的内角和为1 260°，那么n的值是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 星题 夯实四基 1 返回 9. D [教材P52练习T2(2)变式]若一个多边形每个内角的度数都是144°，则该多边形的内角和是(　　) A．900° B．1 080° C．1 260° D．1 440° 星题 夯实四基 1 10 返回 10. 205 [2025长沙中考]如图，在五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E＝________°． 星题 夯实四基 1 11 返回 11. 解：由题意得4x°＋60° ＝(5－2)×180°， 解得x＝120. (8分)[教材P52练习T1变式]求出下列图形中x的值． (1) 　　 　(2) 由题意得122°＋112°＋135°＋x°＋(x°＋15°)＋(2x°－84°)＝(6－2)×180°，解得x＝105. 星题 夯实四基 1 12 返回 12. B 一个七边形的外角和为(　　) A．180° B．360° C．900° D．1 260° 星题 夯实四基 1 13 返回 13. B 如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝(　　) A．30° B．45° C．110° D．135° 星题 夯实四基 1 返回 14. C [教材P52练习T2(3)变式]已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 星题 夯实四基 1 返回 15. 7 [教材P53习题T4变式]已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引________条对角线． 星题 夯实四基 1 返回 16. B [2025自贡中考]如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝(　　) A．140° B．150° C．160° D．170° 星题 提升四能 2 返回 17. B 如图是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 星题 提升四能 2 返回 18. 9或10或11 把一个多边形割去一个角后，得到的多边形的内角和为1 440°，则这个多边形原来的边数为______________． 星题 提升四能 2 返回 19. 60 [2025咸阳秦都区模拟]某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是________米． 星题 提升四能 2 返回 20. (8分)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，求∠P的度数． 星题 提升四能 2 21. 360° (12分) (1)如图①，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为________； (2)如图②，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数； 星题 发展素养 3 解：如图①，连接AF，易知∠G＋∠H＝∠GFA＋∠HAF， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H 的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋ ∠EFG＋∠G＋∠H＝(6－2)×180°＝720°. 星题 发展素养 3 如图②，连接AE，易知∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G 的度数等于五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF ＋∠F＋∠G＝(5－2)×180°＝540°. (3)如图③，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数． 返回 星题 发展素养 3 24 解：∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， ∠A＋∠B＋∠E＝300°，∴∠BCD＋∠CDE＝240°. ∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD， ∴∠PCD＋∠CDP＝(∠BCD＋∠EDC)＝120°， ∴∠P＝180°－(∠PCD＋∠CDP)＝180°－120°＝60°. $第二十一章　四边形 21．1 四边形及多边形 21.1.1 四边形及其内角和 1 返回 B 1. 下列图形中是四边形的是(　　) 星题 夯实四基 1 2 返回 2. D 下列图形中是凸四边形的是(　　) 星题 夯实四基 1 返回 3. 3 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别 在边AD，BC上，连接EF． (1)图中共有________个四边形； (2)四边形ABCD与四边形CDEF的公共边是________，公共角是____________； (3)四边形AEFB的外角是______________； (4)任意四边形共有________条对角线，从顶点A出发，可以引出的对角线有________条． CD ∠C，∠D ∠DEF，∠EFC　 2 2 星题 夯实四基 1 返回 4. C 在四边形ABCD中，已知∠A＝85°，∠B＝95°，∠C＝75°，则∠D的度数是(　　) A．85° B．95° C．105° D．115° 星题 夯实四基 1 返回 5. B 在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶2，则∠B的度数是(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 星题 夯实四基 1 返回 6. B [2025邢台期末]如图，BD是四边形ABCD的对角线，且四边形ABCD的内角和为α，△ABD与△BCD的内角和相加为β，则(　　) A．α＞β　　　　 B．α＝β C．α＜β　　　　 D．无法比较α，β的大小关系 星题 夯实四基 1 返回 7. 解：由题意得x°＋x°＋150°＋80°＝360°，解得x＝65. (8分)[教材P49练习T1变式]求出下列图形中x的值． (1) 　　　 　(2) 由题意得x°＋x°＋10°＋90°＋60°＝360°，解得x＝100. 星题 夯实四基 1 返回 8. A 如图，已知∠1＋∠2＋∠3＝240°，那么∠4的度数为(　　) A．120° B．130° C．140° D．150° 星题 夯实四基 1 返回 9. A 如图，将三角形纸片ABC剪掉一角得到△AD′E′与四边形BCDE，设△AD′E′的外角和、四边形BCDE的外角和分别为α，β，则下列正确的是(　　) A．α＝β　B．α＞β　 C．α＜β　D．β－α＝180° 星题 夯实四基 1 10 返回 10. D [2025厦门期中]下列生活实物图中，运用了四边形的不稳定性的是(　　) 星题 夯实四基 1 11 返回 11. D 下列图形中具有不稳定性的有(　　)   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 星题 提升四能 2 12 返回 12. C 如图，一个顶角为40°的三角形纸片，剪去顶角后得到一个四边形，则∠1＋∠2＝(　　) A．140° B．180° C．220° D．240° 星题 提升四能 2 13 返回 13. C [教材P49练习T2变式]如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC＝68°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数为(　　) A．92° B．110° C．112° D．120° 星题 提升四能 2 返回 14. 4∶3∶2∶1 如图，在四边形ABCD中，∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶3∶4，则∠BAD∶∠ABC∶∠BCD∶∠ADC＝____________． 星题 提升四能 2 15. (8分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于点E，DF平分∠ADC交AB于点F． (1)若∠ABC＝42°，求∠ADF的度数； 星题 提升四能 2 (2)求证：DF∥BE． 返回 星题 提升四能 2 17 16. 90 (12分) 规定：有一对相对的角互补的四边形叫作“智慧四边形”．例如，在四边形ABCD中， 若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°， 则四边形ABCD是“智慧四边形”． (1)如图①，已知四边形ABCD是“智慧四边形”，其中三个内角∠A，∠B，∠C的度数之比是4∶3∶2，则∠D的度数为________°； 星题 发展素养 3 (2)如图②，已知四边形ABCD是“智慧四边形”，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，若∠A＝50°，求∠O的度数； 星题 发展素养 3 19 星题 发展素养 3 星题 发展素养 3 返回 星题 发展素养 3 解：∵在四边形ABCD中， ∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝42°， ∴∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C＝138°. 又∵DF平分∠CDA，∴∠ADF＝∠ADC＝69°. 证明：设∠ABC＝x，∵BE平分∠ABC， ∴∠EBA＝∠ABC＝x. ∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C＝180°－x. 又∵DF平分∠CDA，∴∠ADF＝∠ADC＝90°－x， ∴在Rt△DAF中，∠AFD＝90°－∠ADF＝x， ∴∠EBA＝∠AFD，∴BE∥DF. 解：∵四边形ABCD是“智慧四边形”， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵BO平分∠ABC，DO平分∠ADC， ∴∠ABO＝∠ABC，∠ADO＝∠ADC，∴∠ABO＋∠ADO＝(∠ABC＋∠ADC)＝×180°＝90°，∴∠O＝360°－∠A－∠ABO－∠ADO＝360°－50°－90°＝220°. (3)如图③，D为△ABC内一点，且∠D＝90°＋∠A，△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线交于点E，判断四边形DBEC是不是“智慧四边形”． 解：∵△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线交于点E， ∴∠CBE＝∠MBC，∠BCE＝∠NCB，∴∠CBE＋∠BCE＝(∠MBC＋∠NCB)＝(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)＝(180°＋∠A)＝90°＋∠A. ∵∠CBE＋∠BCE＋∠E＝180°，∴90°＋∠A＋∠E＝180°. 又∵∠BDC＝90°＋∠A，∴∠BDC＋∠E＝180°， ∴四边形DBEC为“智慧四边形”． $第二十一章　四边形 21．3 特殊的平行四边形 21．3.2 菱形 第2课时　菱形的判定 1 返回 C 1. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(　　) A．AD＝CD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠BCA 星题 夯实四基 1 2 返回 2. 1 [2025东莞期中]如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝2，将线段BC水平向左平移k(k<3)个单位长度得到线段FE，当k＝________时，四边形ADEF为菱形． 星题 夯实四基 1 返回 3. (4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．D为AC的中点，连接DB，过点C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE．求证：四边形BECD是菱形． 星题 夯实四基 1 返回 4. D 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是(　　) A．∠AOB＝60° B．AC＝BD C．AB＝DC D．AC⊥BD 星题 夯实四基 1 返回 5. C [教材P75练习T1变式][2025湖南中考]如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 星题 夯实四基 1 6. (4分)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，点E是AC的延长线上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．求证：四边形ABCD是菱形． 星题 夯实四基 1 返回 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD. 又∵OE＝OE，BE＝DE， ∴△OBE≌△ODE(SSS)， ∴∠BOE＝∠DOE. ∵∠BOE＋∠DOE＝180°， ∴∠BOE＝90°，∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 星题 夯实四基 1 返回 7. 四条边相等的四边形是菱形 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与原△ABC构成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是__________________________． 星题 夯实四基 1 返回 8. D [2025内江中考]按如下步骤作四边形ABCD：如图，①画∠EAF；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，DC，BD．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是(　　) A．64° B．66° C．68° D．70° 星题 夯实四基 1 返回 9. D 一次实践探究课上，老师让同学们用四张全等的含30°角的直角三角形纸片拼成一个四边形，下列拼成的四边形中，不是菱形的是(　　) 星题 提升四能 2 11 返回 10. C 在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要在对角线BD上找两点M，N，使得四边形AMCN是菱形，现有如图所示的甲、乙两种方案，则正确的方案是(　　) A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲、乙都不是 星题 提升四能 2 12 返回 11. C 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，添加下列条件，可以判定四边形EHFG为菱形的是(　　) A．AC＝BD B．AB∥CD C．AD＝BC D．AC⊥BD 星题 提升四能 2 13 返回 12. [教材P75练习T2变式]如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为________cm． 星题 提升四能 2 14 13. 证明：∵AF⊥AB，CE⊥CD， ∴∠BAF＝∠DCE＝90°. ∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE. ∵BE＝EF＝FD，∴BF＝DE， ∴△ABF≌△CDE(AAS)． (8分)[2025遂宁中考]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD． (1)求证：△ABF≌△CDE； 星题 提升四能 2 (2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由． 返回 星题 提升四能 2 16 14. 2a (12分) 如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB． (1)用a表示四边形ADPE的周长为________． 星题 发展素养 3 解：当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形． 理由：连接AP. ∵PD∥AC，PE∥AB， ∴四边形ADPE为平行四边形． ∵AB＝AC，P为BC的中点，∴∠PAD＝∠PAE. ∵PE∥AB，∴∠PAD＝∠APE. ∴∠PAE＝∠APE.∴EA＝EP. ∴四边形ADPE是菱形． (2)当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形？请说明理由． 星题 发展素养 3 18 当点P运动到∠BAC的平分线上时， 四边形ADPE是菱形． (3)如果△ABC不是等腰三角形(如图②)，其他条件不变，当点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)？ 返回 星题 发展素养 3 19 证明：∵CE∥DB，CE＝DB， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点， ∴BD＝CD＝AC，∴四边形BECD是菱形． 8 解：四边形AECF是菱形．理由如下： ∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED， ∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形． 在Rt△ABF中，∵∠ABD＝30°，∴AF＝BF， 在Rt△DCE中，∵EF＝DF，∴CF＝DE， ∵BF＝DE，∴AF＝CF，∴四边形AECF是菱形． $第二十一章　四边形 21．3 特殊的平行四边形 21．3.3 正方形 第2课时　正方形的判定 1 返回 C 1. 如图，在▱ABCD中，连接对角线AC，BD，若 ∠BAD＝90°，添加下列条件，能使▱ABCD为正方形的是(　　) A．AC＝2BC B．AD＝BD C．AB＝BC D．AC＝BD 星题 夯实四基 1 2 返回 2. 90° 如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若AB＝AC，则当△ABC满足∠A＝______时，四边形DAEF是正方形． 星题 夯实四基 1 3. (4分)如图，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，AC为高，O是AE的中点，延长CO到点D，使OD＝OC，连接AD，DE，求证：四边形ACED是正方形． 星题 夯实四基 1 返回 星题 夯实四基 1 返回 4. D 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是(　　) A．BD⊥AC B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．∠AOB＝60° 星题 夯实四基 1 返回 5. 2 [教材P76练习T1(1)变式]如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为________． 星题 夯实四基 1 返回 6. 证明：∵菱形ABCD的对角线 AC，BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OB＝OD. ∵OE＝OF＝OB，∴OE＝OF＝OB＝OD， ∴四边形BFDE是矩形． 又∵BD⊥EF，∴四边形BFDE是正方形． (4分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，在AC上截取OE＝OF＝OB，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形BFDE是正方形． 星题 夯实四基 1 返回 7. ∠BAD＝90° (答案不唯一) 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，要使四边形ABCD是正方形，则添加的条件是__________．(写一个即可) 星题 夯实四基 1 8. (4分)[2025西安期中] 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，∠OAB＝45°，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形． 星题 夯实四基 1 返回 证明：∵AC，BD互相平分，且AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． ∵AC⊥BD，∠OAB＝45°， ∴∠OBA＝45°，∴OA＝OB. 又∵AC，BD互相平分， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是正方形． 星题 夯实四基 1 返回 9. C 如图是用尺规过点P作直线l的 垂线的两种方法，对图中虚 线段组成的四边形， 下列说法正确的是(　　) A．若a＝b，则方法1中的四边形为正方形 B．若a⊥b，则方法1中的四边形为矩形 C．若m＝n，则方法2中的四边形为菱形 D．若m⊥n，则方法2中的四边形为正方形 星题 提升四能 2 12 10. (8分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点H． (1)求证：AD⊥EF． 星题 提升四能 2 13 证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°. 又∵AD＝AD， ∴△AED≌△AFD(AAS)． ∴AE＝AF.∴AD⊥EF. 星题 提升四能 2 90° (2)当∠BAC＝________时，四边形AEDF是正方形． 返回 星题 提升四能 2 15 11. (8分)如图，在菱形ABCD中，E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF． (1)求证：△BCE≌△DCF； 星题 提升四能 2 16 (2)当AB⊥BC时，请判断四边形AEOF的形状． 返回 星题 提升四能 2 17 12. (8分)[2025东莞期中]如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一动点． (1)如图①，过点E分别作垂线EF，EG，交BC，CD于点F，G，求证：四边形EFCG是正方形． 星题 发展素养 3 18 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°. ∵EF⊥BC，EG⊥CD， ∴四边形EFCG是矩形， 易得∠FEC＝45°＝∠ACB， ∴EF＝CF，∴四边形EFCG是正方形． 星题 发展素养 3 (2)如图②，连接DE，过点E作EM⊥DE，交BC于点M，以DE，EM为邻边作矩形DEMN，连接CN．在点E移动过程中． ①求证：矩形DEMN是正方形． 星题 发展素养 3 20 证明：过E作EF⊥BC于F点，过E作EG⊥CD于G点， 由(1)知四边形EFCG是正方形， ∴∠GEF＝90°，EF＝EG，∵四边形DEMN是矩形， ∴∠DEM＝90°，∴∠DEG＝90°－∠MEG＝∠MEF. 又∵∠EFM＝90°＝∠EGD， ∴△EMF≌△EDG，∴EM＝ED， ∴矩形DEMN是正方形． 星题 发展素养 3 ②四边形DECN的面积是定值吗？若是，请直接写出定值是多少；若不是，请说明理由． 返回 星题 发展素养 3 22 证明：∵O是AE的中点，∴OA＝OE. 又∵OD＝OC，∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，AC为△ABE底边BE上的高， ∴BC＝CE，∠ACE＝90°. 又∵△ABE为等腰直角三角形， ∴AC＝BE＝CE.∴四边形ACED是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD. ∵E，F分别为AB，AD的中点， ∴BE＝AB，DF＝AD， ∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)． 解：由(1)知AB＝BC＝DC＝AD， ∵E，O，F分别为AB，AC，AD的中点， ∴AE＝AB，AF＝AD，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC， ∴AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形． ∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB， ∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形． 解：四边形DECN的面积是定值，为AD2. $第二十一章　四边形 21．2 平行四边形 21．2.3 三角形的中位线 1 返回 A 1. 如图，在△ABC中，若AD＝BD，BE＝CE，则下列线段是△ABC的中位线的是(　　) A．DE B．BD C．CE D．AE 星题 夯实四基 1 2 返回 2. C 如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝5 cm，则该工件内槽宽AB的长为(　　) A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm 星题 夯实四基 1 返回 3. D 如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为(　　) A．45° B．50° C．60° D．65° 星题 夯实四基 1 返回 4. C [2025山西中考]如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE．下列两条线段的数量关系中一定成立的是(　　) 星题 夯实四基 1 返回 5. C [2025广东中考]如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　　) A．20° B．40° C．70° D．110° 星题 夯实四基 1 返回 6. 3 如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AB＝12，∠CAB＝30°，则DE＝________． 星题 夯实四基 1 返回 7. 25 如图，某游乐场利用地形将等边三角形ABC划分为三角形等侯区AEF和四边形蹦床区BCFE，已知E，F分别是边AB，AC的中点，EF＝5 m，则四边形蹦床区BCFE的周长是________m． 星题 夯实四基 1 返回 8. 证明：∵D，E，F分别是 AB，BC，AC的中点， ∴DE，EF是△ABC的中位线． ∴DE∥AC，EF∥AB. ∴四边形ADEF为平行四边形．∴AE与DF互相平分． (4分)如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点．连接DE，EF，DF，AE，求证：AE与DF互相平分． 星题 夯实四基 1 返回 9. B 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 星题 提升四能 2 10 返回 10. A 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为(　　) A．12 B．14 C．24 D．21 星题 提升四能 2 11 11. 在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图是甲、乙两名同学添辅助线的作法： 甲：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 乙：如图，过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F． 星题 提升四能 2 12 A 其中能够用来证明三角形中位线定理的是(　　) A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 返回 星题 提升四能 2 13 12. (8分)[2025北京海淀区模拟]如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点． (1)求证：四边形DEFG为平行四边形； 星题 提升四能 2 14 星题 提升四能 2 (2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长． 返回 星题 提升四能 2 16 13. 128 (12分)在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF． (1)如图①，点P为对角线BD的中点，连接PE，PF，若∠PEF＝26°，则∠EPF＝___________°； 星题 发展素养 3 (2)如图②，直线FE分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BMF＝∠CNF； 星题 发展素养 3 18 星题 发展素养 3 (3)如图③，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状． 星题 发展素养 3 20 返回 星题 发展素养 3 A．OE＝AD B．OE＝BC C．OE＝AB D．OE＝AC 证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC. ∵点G，F分别为BH，CH的中点， ∴GF∥BC，GF＝BC， ∴GF∥DE，GF＝DE， ∴四边形DEFG为平行四边形． 解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝2. ∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°. 又∵BD＝3，∴BG＝＝＝. 证明：如图①，连接BD，取BD的中点P，连接PE，PF， 易得PE为△ABD的中位线，PF为△BCD的中位线，∴PE∥AB， PF∥CD，PE＝AB，PF＝CD， ∴∠PEF＝∠BMF，∠PFE＝∠CNF. ∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF， ∴∠BMF＝∠CNF. 解：△OMN是等腰三角形，理由如下：如图②，取BD的中点H，连接HE，HF.∵E，F分别是BC，AD的中点，∴HF，HE分别是△ABD，△BCD的中位线． ∴HF∥AB，HE∥CD，HF＝AB，HE＝CD. ∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN. ∵AB＝CD，∴HF＝HE.∴∠HFE＝∠HEF. ∴∠ONM＝∠OMN.∴OM＝ON， ∴△OMN是等腰三角形． $第二十一章　四边形 21．2 平行四边形 21．2.2 平行四边形的判定 第1课时　通过两组对边、两组对角、对角线判定平行四边形 1 返回 B 1. 李华把四根木条用钉子钉成一个四边形框架ABCD(如图)，若AD＝BC＝50 cm，AB＝70 cm，要使得这个 四边形框架是一个平行四边形，则CD的长为(　　) A．50 cm B．70 cm C．40 cm D．60 cm 星题 夯实四基 1 2 返回 2. 平行 如图，点A，B在直线l上，D为直线l外一点，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是________四边形，理由是________________________________________． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 星题 夯实四基 1 3. (4分)如图，在四边形ABCD中，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C，A，AD＝BC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 星题 夯实四基 1 返回 星题 夯实四基 1 返回 4. C 四边形ABCD的三个内角∠A，∠B，∠C的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是(　　) A．92°，88°，88° B．102°，88°，102° C．92°，88°，92° D．92°，78°，92° 星题 夯实四基 1 返回 5. D 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A．∠A＝∠C，∠B＝∠D B．∠A＝∠B＝∠C＝90° C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180° D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180° 星题 夯实四基 1 返回 6. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图，将四边形中两根木条AC，BD的中点重叠 并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是_________________________________． 星题 夯实四基 1 返回 7. D 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　) A．AB∥CD，AD∥BC　 B．AB＝CD，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD　 D．AB∥CD，AD＝BC 星题 夯实四基 1 返回 8. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC. ∵AE＝CF，∴OA＋AE＝OC＋CF， 即OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形． (4分)[教材P60例4变式]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是直线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 星题 夯实四基 1 返回 9. C 两块含30°角的全等的直角三角尺，能拼出的平行四边形有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 星题 提升四能 2 11 返回 10. C 如图，E是▱ABCD的边AD的延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是(　　) A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD 星题 提升四能 2 12 返回 11. 平行四边形 一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且满足 a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形一定是______________． 星题 提升四能 2 13 返回 12. 24 [教材P67习题T14变式]如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为________． 星题 提升四能 2 14 13. (8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC至点E，使BE＝CD．连接AE交CD于点F．连接BF，AC，DE，已知∠DAE＝60°． (1)求∠BAD的度数； 星题 提升四能 2 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝60°. ∵BE＝CD，∴AB＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝60°， ∴∠BAD＝∠BAE＋∠DAE＝120°. 星题 提升四能 2 (2)若BF⊥AE，求证：四边形ACED是平行四边形． 返回 星题 提升四能 2 17 14. 星题 发展素养 3 (1)求证：四边形AFCE为平行四边形； 星题 发展素养 3 19 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA. ∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA. ∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD. 又∵OA＝OC，∴OE⊥AC. ∴OE是AC的垂直平分线．∴AE＝CE. ∵∠AEC＝60°，∴△ACE是等边三角形． ∴AE＝CE＝AC＝2OA. ∵OA＝5 cm，∴AE＝CE＝10 cm. 由(1)可知四边形AFCE为平行四边形，∴四边形AFCE的周长为2(AE＋CE)＝2×(10＋10)＝40(cm)． (2)若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长； 星题 发展素养 3 20 返回 星题 发展素养 3 证明：∵CD⊥AC，AB⊥AC， ∴∠ACD＝∠CAB＝90°. 在Rt△ACD和Rt△CAB中， ∴Rt△ACD≌Rt△CAB(HL)． ∴CD＝AB. 又∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵△ABE是等边三角形， BF⊥AE，∴AF＝EF. 在△ADF和△ECF中， ∴△ADF≌△ECF，∴DF＝CF. 又∵AF＝EF，∴四边形ACED是平行四边形． (12分)[教材P61练习T3变式]如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为线段BD延长线上的两点，DE＝OD，BF＝OB，连接AE，CE，CF，AF． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD. ∵DE＝OD，BF＝OB，∴DE＝BF. ∴OD＋DE＝OB＋BF，即OE＝OF. ∴四边形AFCE为平行四边形． (3)若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请说明理由．若DE＝OD，BF＝OB呢(不用说明理由)？ 解：若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE还是平行四边形． 理由：∵DE＝OD，BF＝OB， OD＝OB，∴DE＝BF. ∴OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE.由(1)知OA＝OC， ∴四边形AFCE为平行四边形． 若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE还是平行四边形． $第二十一章　四边形 21．2 平行四边形 21.2.1 平行四边形及其性质 第2课时　平行四边形性质的综合及平行线之间的距离 1 返回 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC. ∵AF＝CE， ∴AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE. ∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴∠1＝∠2. 1. (4分)如图，E，F分别为▱ABCD的边BC，AD上的点，且AF＝CE，求证：∠1＝∠2． 星题 夯实四基 1 2 返回 2. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4，OA＝OC，AD∥BC， ∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，∠EAO＝∠FCO. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴CF＝AE＝1. (4分)[教材P58例2变式]如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，ED＝3，BC＝4，求CF的长． 星题 夯实四基 1 返回 3. A 如图，平行线l与n间的距离是(　　) A．线段AC的长度 B．线段BD的长度 C．线段AD的长度 D．线段BE的长度 星题 夯实四基 1 返回 4. D 如图，直线a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，垂足分别为E，G，则下列说法不正确的是(　　) A．AB＝CD B．EC＝GF C．A，B两点的距离就是线段AB的长度 D．a与b的距离就是线段CD的长度 星题 夯实四基 1 返回 5. C 如图，a，b是两条平行线，则甲、乙两个平行四边形的面积关系是(　　) A．S甲>S乙 B．S甲<S乙 C．S甲＝S乙 D．无法确定 星题 夯实四基 1 返回 6. C [教材P58例3变式]如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠B＝80°，则∠D的度数是(　　) A．120° B．110° C．100° D．80° 星题 夯实四基 1 返回 7. B [教材P66习题T9变式]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若S△ABC＝9 cm2，则S△DBC＝(　　) A．8 cm2 B．9 cm2 C．10 cm2 D．11 cm2 星题 夯实四基 1 返回 8. 12 [教材P59练习T3变式]如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝10，BC＝13，DC＝15，则AD＝________． 星题 夯实四基 1 返回 9. 解：∵AB∥CD，CE∥AD， ∴AD＝CE，CD＝AE＝5. ∵△BCE的周长为27，∴CE＋BE＋BC＝27， ∴AD＋BE＋BC＝27， ∴梯形ABCD的周长为AD＋CD＋BC＋BE＋AE＝27＋5＋5＝37. (4分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，CE∥AD，AE＝5，△BCE的周长为27，求梯形ABCD的周长． 星题 夯实四基 1 10 返回 10. D 如图，已知l1∥l2，那么下列式子中不正确的是(　　) A．S△A₁BC＝S△A ₂ BC B．S△BA ₁ A ₂ ＝S△CA ₁ A ₂ C．S△A ₁ BO＝S△A ₂ CO D．S△A ₁ OA ₂ ＝S△BOC 星题 提升四能 2 11 返回 11. A [教材P59练习T2变式]如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E．若AE＝12，DE＝5，AB＝13，则AC的长为(　　) 星题 提升四能 2 12 返回 12. C 如图，在▱ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C； ④S四边形ABOE＝S四边形CDOF．其中一定正确的结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 星题 提升四能 2 13 返回 13. 6 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝70°，∠D＝55°，AB＝5，DC＝11，则腰BC的长为________． 星题 提升四能 2 14. (8分)[2025开封期中]如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为20，且△AOB的周长比△BOC的周长小4． (1)求边AB和BC的长； 星题 提升四能 2 星题 提升四能 2 (2)若BD＝8，过点C作CE⊥BD于点E，且CE＝2，求AB和CD之间的距离． 返回 星题 提升四能 2 17 A．12 B．16 C．18 D．14 解：∵四边形ABCD是平行四边形，其周长为20， ∴OA＝OC，AB＋BC＝＝10. ∵△AOB的周长比△BOC的周长小4，∴BO＋OC＋BC－(BO＋OA＋AB)＝4， ∴BC－AB＝4，解得AB＝3，BC＝7. 解：∵CE⊥BD，BD＝8，CE＝2， ∴S△BCD＝BD·CE＝×8×2＝8，∴S▱ABCD＝2S△BCD＝2×8＝16，设AB和CD之间的距离为h， 则S▱ABCD＝AB·h，∴h＝＝， 即AB和CD之间的距离为. $第二十一章　四边形 21．2 平行四边形 21．2.2 平行四边形的判定 第2课时 通过一组对边判定平行四边形 1 返回 B 1. [2025保定期末]如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是(　　) ∵∠A＋∠D＝180°，∴AB∥CD， 又∵________，∴四边形ABCD是平行四边形． A．∠B＋∠C＝180° B．AB＝CD C．∠A＝∠B D．AD＝BC 星题 夯实四基 1 2 返回 2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 如图，小明将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到△A1B1C1的位置，此时四边形ABB1A1是平行四边形，小明这样做的依据是_________________________________________． 星题 夯实四基 1 返回 3. 3 [教材P66习题T8变式]如图，将△ABC向右平移得到△DEF，连接AD，BE，CF，则图中有________个平行四边形． 星题 夯实四基 1 返回 4. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠A＝∠CDF. 又∵AE＝DF，∴△AEB≌△DFC(SAS)， ∴BE＝CF，∠AEB＝∠F，∴BE∥CF， ∴四边形BEFC是平行四边形． (4分)[教材P62例5变式][2025淮安期中]如图，在▱ABCD中，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且AE＝DF．求证：四边形BEFC是平行四边形． 星题 夯实四基 1 返回 5. C 根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是(　　) 星题 夯实四基 1 6. (4分) 如图，已知点E，F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE＝DF，AE∥CF．请再添加一个条件(不能在图中再添加其他线段和字母)，使四边形ABCD是平行四边形，并证明． 你所添加的条件为_________________． 证明： 星题 夯实四基 1 返回 解：AE＝CF 证明：∵AE∥CF，∴∠E＝∠F. 又∵BE＝DF，AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， ∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． (答案不唯一) 星题 夯实四基 1 7. (8分)[2025苏州中考]如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE． (1)求证：△DAC≌△ECB； 星题 夯实四基 1 星题 夯实四基 1 (2)连接DE，若AB＝16，求DE的长． 返回 星题 夯实四基 1 11 返回 8. D 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF，AC，EF，AC与EF相交于点O，则添加下列条件后，不能使四边形AECF成为平行四边形的是(　　) A．BE＝DF B．AE∥CF C．OE＝OF D．AF＝AE 星题 提升四能 2 返回 9. D [教材P62练习T2变式]如图①，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是(　　) A．只有甲、乙 B．只有甲、丙 C．只有乙、丙 D．甲、乙、丙 星题 提升四能 2 13 返回 10. D 已知在平面直角坐标系中有三个点：A(－1，2)，B(3，1)，C(1，－2)．在平面内确定点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是(　　) A．(1，5) B．(－3，－1) C．(5，－3) D．(6，－4) 星题 提升四能 2 14 返回 11. C [2025安徽中考]如图，在▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　　) A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 星题 提升四能 2 15 12. 解：如图． (8分)如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E． (1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE；(不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母) 星题 提升四能 2 16 解：四边形AECF是平行四边形． 理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，∠OAB＝∠OCD. 又∵AB＝CD，∴△ABO≌△CDO(ASA)，∴OA＝OC. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEO＝∠CFO＝90°. 又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC， ∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF. 又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形． (2)若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．(若前问未完成，可画草图完成此问) 返回 星题 提升四能 2 17 13. (8分)如图，在▱ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在边AD上以1 cm/s的速度从点A向点D运动．点Q在边BC上以4 cm/s的速度从点C出发，在点C，B之间往返运动．两点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止运动)，设运动时间为t s．若5<t<10，则当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的 四边形是平行四边形？ 星题 发展素养 3 返回 星题 发展素养 3 证明：∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB. ∵CD∥BE，∴∠DCA＝∠B. 在△DAC和△ECB中， ∴△DAC≌△ECB(ASA)． 解：∵AB＝16，C是AB的中点， ∴BC＝AB＝8. ∵△DAC≌△ECB，∴CD＝BE. 又∵CD∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形， ∴DE＝BC＝8. 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ.若要以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，则PD＝BQ.当5<t≤时，AP＝t cm，PD＝(10－t)cm，BQ＝(30－4t)cm，∴10－t＝30－4t，解得t＝；当<t≤10时，AP＝t cm，PD＝(10－t)cm，BQ＝(4t－30)cm，∴10－t＝4t－30，解得t＝8.综上所述，当t的值为或8时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． $第二十一章　四边形 21．3 特殊的平行四边形 21．3.3 正方形 第1课时　正方形的性质 1 返回 C 1. 如图，一个四边形顺次添加下列条件 中的三个便得到正方形． a．两组对边分别相等；b．一组对边平行且相等；c．一组邻边相等；d．一个角是直角． 顺次添加的条件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c．则正确的添加顺序是(　　) A．仅① B．①② C．①③ D．②③ 星题 夯实四基 1 2 返回 2. B 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AD＝AO C．DO＝CO D．∠DAO＝∠BAC 星题 夯实四基 1 返回 3. C [教材P86复习题T1(4)变式]如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠CBE的度数是(　　) A．55° B．60° C．75° D．80° 星题 夯实四基 1 返回 4. D [2025广州花都区一模]如图，正方形ABCD的边长为4，点B的坐标是(3，1)，AB平行于x轴，则点C的坐标是(　　)  A．(－1，5) B．(3，3) C．(5，3) D．(3，5) 星题 夯实四基 1 返回 5. A 星题 夯实四基 1 返回 6. A 如图，四边形ABCD、四边形AECF分别是菱形与正方形．若∠BAE＝22°，则∠D的度数是(　　) A．46° B．56° C．57° D．67° 星题 夯实四基 1 返回 7. 1 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是________． 星题 夯实四基 1 返回 8. 3 如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为________． 星题 夯实四基 1 9. (4分)[教材P81习题T16变式]如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若DE＝5，BF＝3，求EF的长． 星题 夯实四基 1 10 返回 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAD＝90°， ∴∠BAF＋∠EAD＝90°. ∵DE⊥AG，BF⊥AG， ∴∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴∠ADE＋∠EAD＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DAE， ∴AF＝DE＝5，AE＝BF＝3，∴EF＝AF－AE＝5－3＝2. 星题 夯实四基 1 返回 10. C 如图，已知正方形ABCD的两条对角线相交于点O，那么图中等腰直角三角形有(　　) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 星题 提升四能 2 12 返回 11. D 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF，交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为(　　) 星题 提升四能 2 13 返回 12. [2025北京中考]如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为________． 星题 提升四能 2 14 13. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF＝45°. 又∵BF＝DE，∴△ADE≌△CBF(SAS)． (8分)[2025广安中考]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF． (1)求证：△ADE≌△CBF； 星题 提升四能 2 返回 星题 提升四能 2 16 14. PE＝PD (8分)如图，四边形ABCD是正方形， 点P在线段AC上，点E在射线BC上， 且PB＝PE，连接PD，O为线段AC的中点． (1)如图①，当点P在线段AO上时， ①易证△ABP≌△ADP(不需要证明)，进而得到PE与PD的数量关系是__________． ②过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥BC于点N，易证Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要证明)，进而得到PE与PD的位置关系是__________． PE⊥PD 星题 发展素养 3 (2)如图②，当点P在线段OC上(点P不与点O，C重合)时，试写出PE与PD的数量关系和位置关系，并说明理由． 星题 发展素养 3 18 解：PE＝PD，PE⊥PD. 理由如下：设PE交CD于点F. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP. 又∵PC＝PC，∴△CBP≌△CDP(SAS)， ∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC. ∵PB＝PE，∴PE＝PD，∠PBC＝∠PEB，∴∠PDC＝∠PEB. ∵∠PFD＝∠CFE，∴180°－∠PFD－∠PDC＝ 180°－∠CFE－∠PEB，即∠DPF＝∠ECF. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°， ∴∠ECF＝180°－∠BCD＝90°. ∴∠DPF＝90°.∴PE⊥PD. 返回 星题 发展素养 3 已知正方形ABCD的对角线长为，则这个正方形的面积为(　　) A．1 B． C．2 D．2 A．2 B． C． D． (2)若四边形AECF的周长为4 ，求EF的长． 解：连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD为正方形，BD＝10， ∴BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝BD＝5， ∴AF＝CF，AE＝CE.由(1)知△ADE≌△CBF，∴AE＝CF， ∴AF＝CF＝AE＝CE.∵四边形AECF的周长为4 ， ∴AF＝×4 ＝.在Rt△AOF中，OF＝＝3， ∴DE＝BF＝OB－OF＝5－3＝2，∴EF＝BD－BF－DE＝6. $第二十一章　四边形 21．3 特殊的平行四边形 21.3.1 矩形 第1课时　矩形的性质 1 返回 ∠B＝90° (答案不唯一)　 1. 如图，在▱ABCD中，请添加一个条件：________，使得▱ABCD成为矩形． 星题 夯实四基 1 2 返回 2. B 一个矩形的对称轴共有(　　) A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 星题 夯实四基 1 返回 3. C 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 星题 夯实四基 1 返回 4. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°. ∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF， 即BF＝CE， ∴△ABF≌△DCE，∴AF＝DE. (4分)如图，四边形ABCD是矩形，点E，F在边BC上，BE＝CF．求证：AF＝DE． 星题 夯实四基 1 返回 5. C 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(　　) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD 星题 夯实四基 1 返回 6. B 在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若OA＝3，则BD的长为(　　) 星题 夯实四基 1 返回 7. C [教材P69例1变式]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 星题 夯实四基 1 返回 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则EF的长为________． 星题 夯实四基 1 返回 9. A 如图，嘉嘉利用刻度直尺(单位：cm)测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度1和7，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为(　　) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 星题 夯实四基 1 10 返回 10. D 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD的度数是(　　) A．20° B．40° C．60° D．70° 星题 夯实四基 1 11 返回 11. 4 [2025福建中考]某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点．若AB＝AC＝8 m，则DE的长为________m． 星题 夯实四基 1 12 返回 12. C 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为E，CE＝4，AC＝10，则ED的长为(　　) 星题 提升四能 2 13 返回 13. 6 [2025扬州中考]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°，若AC＝4，BC＝8，则DF的长是________． 星题 提升四能 2 返回 14. 10 [2025徐州中考]如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．若AB＝3，BC＝4，则四边形EFGH的周长为________． 星题 提升四能 2 15. 解：如图，△BED 即为所求作的三角形． (8分)[2025烟台中考]如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)； 星题 提升四能 2 (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长． 返回 星题 提升四能 2 17 16. (12分) 【问题呈现】如图①，点P是矩形ABCD边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为8和15．过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．求PE＋PF． 星题 发展素养 3 (1)【问题解决】小明发现：连接OP，利用矩形对角线的性质和S△AOP＋S△DOP＝S△AOD，即可求出PE＋PF的值，请你运用小明发现的方法，求PE＋PF； 星题 发展素养 3 19 (2)【规律应用】如图②，当点P是矩形ABCD边AB上任意一点时，PE＋PF＝________； (3)【规律探究】如图③，当点P是AD延长线上任意一点时，PE和PF之间的数量关系是________________． 返回 星题 发展素养 3 20 A．3 B．6 C．2 D．3 A． B．3 C．2 D．4 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠EBD＝∠CBD， ∴∠FBD＝∠FDB，∴FB＝FD，设AF＝x， 则BF＝DF＝2－x，在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2， ∴12＋x2＝(2－x)2，解得x＝，∴AF＝. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝15，∠ABC＝90°，BD＝AC，∴BD＝AC＝＝＝17，∴易得AO＝CO＝BO＝DO＝. ∵S△APO＋S△PDO＝S△AOD＝S△ADC，∴AO·PE＋DO·PF＝×AD·CD，∴×＝××15×8，解得PE＋PF＝. PE－PF＝ $第二十一章　四边形 21．3 特殊的平行四边形 21．3.2 菱形 第1课时　菱形的性质 1 返回 5 1. 如图，在▱ABCD中，AB＝5，当AD＝______时，四边形ABCD是菱形． 星题 夯实四基 1 2 返回 2. C 如图，菱形ABCD的对角线AC在x轴上，BD交x轴于点E，已知A(1，0)，D(3，5)，则点B，C的坐标分别是(　　) A．(5，－3)，(5，0) B．(3，－5)，(4，0) C．(3，－5)，(5，0) D．(－3，5)，(4，0) 星题 夯实四基 1 返回 3. B 菱形具有而矩形不具有的性质是(　　) A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角相等 D．是中心对称图形 星题 夯实四基 1 返回 4. D 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝70°，则∠ADB的度数是(　　) A．110° B．70° C．45° D．35° 星题 夯实四基 1 返回 5. C 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为(　　) A．12 B．15 C．20 D．24 星题 夯实四基 1 返回 6. B [2025常州中考]如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC的长是(　　) A．4 B．5 C．6 D．10 星题 夯实四基 1 返回 7. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC. ∵AE＝CF，∴BE＝BF. 又∵∠B＝∠B，∴△ABF≌△CBE，∴AF＝CE. (4分)[2025泸州中考]如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE． 星题 夯实四基 1 返回 8. B 某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线作支架．如图，经测量，AC＝2 dm，BD＝3 dm，则这个风筝的面积是(　　) 星题 夯实四基 1 返回 9. [教材P80习题T11变式][2025重庆长寿区期中]如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是________． 星题 夯实四基 1 10 10. (4分)[教材P73例3变式]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积． 星题 夯实四基 1 11 返回 星题 夯实四基 1 返回 11. 1 [2025福建中考]如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F．若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为________． 星题 提升四能 2 13 返回 12. D [2025河南中考]如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为(　　) 星题 提升四能 2 14 返回 13. B [2025广州中考]如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为(　　) 星题 提升四能 2 14. 证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE. ∵DF∥AC，∴∠OAD＝∠ADF. 又∵∠AEO＝∠DEF， ∴△AOE≌△DFE(ASA)． (8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． (1)求证：△AOE≌△DFE； 星题 提升四能 2 解：四边形AODF为矩形． 理由：∵△AOE≌△DFE， ∴AO＝DF. ∵DF∥AC， ∴四边形AODF为平行四边形． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°， ∴平行四边形AODF为矩形． (2)判断四边形AODF的形状，并说明理由． 返回 星题 提升四能 2 17 A．6 dm2 B．3 dm2 C． dm2 D． dm2 解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝4， ∴OC＝AC，OD＝BD＝2，AC⊥BD. ∵在Rt△OCD中，∠OCD＝30°， ∴CD＝2OD＝4. ∴OC＝＝＝2 . ∴AC＝2OC＝4 . ∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×4 ×4＝8 . A．2 B．6－3 C．2 D．6 －6 A． B．5 C．4 D．8 $第二十一章　四边形 21．3 特殊的平行四边形 21.3.1 矩形 第2课时　矩形的判定 1 返回 A 1. 四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定▱ABCD为矩形的是(　　) A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．∠B＝∠D D．AB＝BC 星题 夯实四基 1 2 2. (4分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形． 星题 夯实四基 1 返回 证明：∵O是边AB的中点， ∴OA＝OB. 又∵∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC， ∴△AOD≌△BOC，∴AD＝BC. ∵∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 星题 夯实四基 1 返回 3. D [2025德阳中考]如图，要使▱ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(　　) A．AB∥CD B．AB＝BC C．∠B＝∠D D．AC＝BD 星题 夯实四基 1 返回 4. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OA，BD＝2OB. ∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． (4分)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是矩形． 星题 夯实四基 1 5. (4分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．请判断四边形AECF的形状，并说明理由． 星题 夯实四基 1 返回 解：四边形AECF是矩形． 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC. 又∵BE＝DF， ∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC， ∴四边形AECF为平行四边形． 又∵AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形． 星题 夯实四基 1 返回 6. C 诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是(　　) A．测量一组对边是否平行且相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量其中的三个角是否都为直角 D．测量对角线是否相等 星题 夯实四基 1 返回 7. 证明：∵DE⊥AB，BF⊥CD， ∴∠DEB＝90°，∠DFB＝90°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB，∴∠DEB＋∠EDF＝180°， ∴∠EDF＝180°－∠DEB＝90°， ∴∠DEB＝∠DFB＝∠EDF＝90°， ∴四边形DEBF是矩形． (4分)如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，求证：四边形DEBF是矩形． 星题 夯实四基 1 返回 8. D 依据图中所示的数据，下列四边形不一定为矩形的是(　　) 星题 提升四能 2 返回 9. C 如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是(　　) A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 星题 提升四能 2 12 返回 10. 2.4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝ 4 cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为________cm． 星题 提升四能 2 13 11. 证明：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∵CE∥AD，∴∠ECD＝180°－∠ADC＝90°， ∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°， ∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． (8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC． (1)求证：四边形ADCE是矩形； 星题 提升四能 2 14 (2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长． 返回 星题 提升四能 2 15 12. (8分)【课本再现】 【定理证明】 (1)如图①，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，求证：▱ABCD是矩形． 思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 星题 发展素养 3 16 星题 发展素养 3 星题 发展素养 3 解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形ADCE是矩形． 理由如下：同①易得四边形ADCE是平行四边形． 由①得AB＝DE， ∴当AB＝AC时，AC＝DE，此时四边形ADCE是矩形． ②当△ABC的边满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？并说明理由． 返回 星题 发展素养 3 19 解：由(1)可知四边形ADCE是矩形．∴AE＝DC，AD＝CE＝3，∠AEC＝90°，∵D是BC的中点，BC＝4， ∴DC＝AE＝BC＝2.在Rt△ADC中，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝＝， ∵EF⊥AC，∴易得EF·AC＝AE·CE， 即EF×＝×2×3，∴EF＝. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝AC，OB＝OD＝BD. 又∵AC＝BD，∴OA＝OD＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO，∠ADO＝∠DAO. 又∵∠ABO＋∠BAO＋∠ADO＋∠DAO＝180°， ∴∠BAO＋∠DAO＝90°， ∴∠BAD＝90°，∴▱ABCD是矩形． 　【知识应用】 (2)如图②，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AE＝BC，连接DE，CE． ①求证：AB＝DE． 证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝BC. ∵AE＝BC，∴AE＝BD.又∵AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝DE. $