湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2026届高三上学期月考（五）数学试题

湖南师大附中2026届高三月考试卷(五) 数 学 命题人、审题人：周艳军 赵优良 欧阳普 柳叶 周煌 时量:120分钟 满分:150分 得分： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集为U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列运算结果一定为U的是 A. MN C. M() D. N() 2.若复数 则复数 的模是 A.1 B. C. D.2 3.已知等差数列{an}的前n项和为 Sn,若 a5与a7是方程的两根，则 A.41 B.42 C.43 D.44 4.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为 F,点A(xA,6)在抛物线 C上, 则p的值是 A.2 B.4 C.9 D.4或9 5.若函数 则其图象大致为 6.已知 则|AB|的最小值为 A. B. C. D.1 7.如图,设 Ox, Oy是平面内相交成θ角(0<θ<π) 的两条数轴，e₁，e₂分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量 则称有序实数对(x，y)为向量 在坐标系 Oxy 中的坐标，已知在该坐标系下，向量 若 则cosθ= C. D. 8.设正数a,b,c满足 则以下大小关系中可能成立的是 A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. b<c<a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.近年来，随着乡村振兴战略的深入实施，乡村农户借助电商平台的力量，实现了区域内生产、加工、销售一体化，在探索农产品销售与经济发展的新路径上取得了显著成效.某农户通过直播电商模式销售当地特色绿色生态农产品，为了进一步提高销售效益，统计了某种农产品在40天内每天的销售额，绘制频率分布直方图如图所示，则以下结论正确的是 A. a=0.20 B.在40天内，每天的平均销售额约为4.10万元 C.在40天内的销售额的70%分位数约为4.75万元 D.若规定每天的销售额不低于3万元为完成销售任务，则某天完成任务的概率约为0.75 10.已知函数 则 A. f(x)在定义域内是增函数 B. f(x)的最小正周期为 是f(x)图象的一个对称中心 D.直线 是y=|f(x)|图象的一条对称轴 11.已知双曲线 A,B是双曲线C 的左、右顶点，F₁，F₂是双曲线C的左、右焦点，P是双曲线C上与A，B不重合的一动点，直线PA,PB与直线x=1交于M,N两点,△PMN,△PAB的外接圆半径分别为r₁,r₂.则 A.直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为定值 B.直线 PF₁与PF₂的斜率之积为定值 C.|MN|的最小值是 D.的最大值为 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则D(X)= 13.在△ABC中, 则△ABC的周长的取值范围为 . 14.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x(0<x<1)的液体，旋转容器，若液面恰好经过正方体的某条体对角线，则液面边界周长的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练. (1)从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任正队长和副队长，甲不担任正队长，共有多少种选法? (2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为，且每次被传球者一定能接到球。传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少? 16.(本小题满分15分) 已知函数 的图象关于点 对称，数列{}满足= (1)求实数a的值； (2)设，求数列{bₙ}的前n项和 17.(本小题满分15分) 如图,在三棱锥 A-BCD 中,O为 BD 的中点.点 E 在棱 AD 上,DE=2EA. (1)在直线AC上是否存在点F，使得BF∥平面COE?若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由； (2)若△OCD是边长为1的等边三角形,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,且二面角 E-BC-D 的大小为45°,求三棱锥 A-BCD 的体积. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆 点A是x轴正半轴上一点，设过点A 的直线l交椭圆C于M，N两点，交直线x=4于点 P. (1)若点A 的坐标为(1,0),且 求b的取值范围； (2)若b=1,直线EA垂直于x轴,记直线 EM,EP,EN的斜率分别为 ，问是否存在点A，使得 总成等差数列?若存在，求点A 的坐标，并加以证明；若不存在，说明理由. 19.(本小题满分17.分). 已知函数 (1)m=1时，求 在区间 上的最小值； (2)m=2时，记函数 (j)若直线.y=kx+n(k>1))与函数 F(x)的图象至少有两个公共点，记其中两个公共点的横坐标分别为 证明： (ii)确定所有的实数a，使得方程F(x)=a有解且仅有有限多个解. 学科网（北京）股份有限公司 $湖南师大附中2026届高三月考试卷（五） 数学参考答案 题号1 234§ 6 7 8 9 10 11 答案DBD DD CAC ACD BC AC 一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.D【解析】由书思因易如，选项A.BC不正确，选项D正确， 2B【解折1=2(os君+m)-5+i片-层=E 3.D【解析】由于a5与a:是方程x-8x十4=0的两根，故a,十a,=8,即4十a,=2a,=8,得a,=4,因此S,= 1l(@+a2=11a4=44. 4.D【解折】抛物线C:Y=2px(p>0)的准线方程为z=-号，又点A(x,6)在兆物线C上，所以6=2p4,即xa= 吕因为1AF=号所以AF1=8-（-专)-号解得2=4或p=9, 5.D【解折】函数八x)的定义线为(-∞，0)U(0,1)U1,+o),当x<0时，-x+1>1,函数/)=血（二+）= -x -ln(-x+1)<0.故排除A.B选项：当0<x<1时，0<-x+1<],故通数x)=n-+1=ln(-z+1)<0,故 排除C选项：当x>1时，函数x)=血一卫=(x-1D,该画数因象可以看成将函数y=hx的因泉向右平移一 x 个单位长度得到，选项D符合 6.C【解析】因为点A的轨迹是园劲x+y=4(x≥0，y≥0)，点B的轨迹是直线4x十3y-12=0.又原点到支线的距 离为d=号，所以AB到的最小值为号-2=号 7.A【解析】由题意可得向量0=(1,2)=e,十2e,0成=(2,1)=2g,十ele,1=|e,1=1.因为OMLO元，所以OM. 0N=(0,+2e:)·(26十6)=2+56，·6+2%=2+5X1X1×c0s0什2=4+5c0s0=0,所以cos0=-号 8.C【解桥】两边取自然对数知a+b=blhc,6+c=ha,易知c≠c,所以b=nC=c(血a-1D>0,故o>c,c>c,且 n日一c《6一.记)=n三白(e+o,则/：)-品通数)在区间(e)上单调适或， 在(c,十oo)上单诩递增，故f(x)≥f2)=d,Hx∈(e,+oo),因此(ln(-l1)=f(a)≥c.又函数g(x)=x(lnx-1) 在(e,十o)上单调递增，且g()=,故≥c,当且仅当a=(=c时等号成立，所以b=nQ≤o,当且仅当a= b=c=c时等号成主.故当c<a<c2<c时，b<u<c;当a>c2时，b=c(lna-l)>c,所以c<bKa.综上所述，a,b,c同 的大小关系只可能是a=b=c或b<a<c戎c<<a,故只有C选项正确. 数学参考谷素（附中版）一1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题自要求.全部选对的得6分，部 分选对的得部分分.有选错的得0分. 9.ACD【解析】对A4=一0,05+0.)+0.5+0.3》=0,20.放A正喷：对B10天内的平均纺华领为为 3 2X6+3X8+4X12+5X8+6X4+7X2=4.05万元，故B格：对C,40天内储售该的10%分位数为4.5+0.25= 0 4.75万元，枚C正：对D,某天未完成任务的批率为0.15十0.1=025，放某天充成任务的概率约为0.75.故D 正确 1o0.BC【解折]时子A倍)=an音=号>受)=am普-9.误：对于Be)=am2,-音)中a=2.则录 小正网奥为名=受正确：对于C令2x一音号∈将将=努+臣∈则画数)园象的对称中心为 (停+是0小k乙令宁+音登母=2，所以（侣0）是J)国泉的-个对林中心正确：对于D画数ym引 的对格轴为上“受长乙今2-音-受k五解得=停+是k7则五数y=/引田象的对称轴为克线- 经+受k长工令平+竞-晋得=专任么倍买。 11.AC【解折】由已知得.F,(-√0,0)，F:(√0,0)，A(-3.0),B(3,0),由双曲线的对称 性，不坊设P(x,y)在第一象限.km= 十而而剥如·m王 x+3 y 心怎。品直孩PR与P明，的州车之软不是充三之 产州物如行白名与吉与直我PA与直我P阳的分来之软列院位：所以A这B 储误：议直线PA的方程为：y=(+3)>0,则直战PB的方程为：y录（一3).同时令=1，则如=4k,%= 一员易物0<分片以N=+员≥2kX员=号县食有快=员即友=号时取等号又△PN. 6 △PAB的外接圆的半径分别为r1.由正孩定理得，2=MN =_MNI P=AP丽2r:=ngB·所以2二 4V2 ≥菩-29片的录小维为号所以C温D民 9 三填空题：本题共3小题.每小题5分.共15分 128【解折】由超念得：从一个菜有4个白球为3个红球的袋子中取出一个球是红味的概率为3异=号国为是有 放回的取球，所以X一B5,号)，所以D(X)=5×号X1-马)-9 .]爆制由要数文，得台后中动6c道后所以6后nB一后nC所以 b √3 √3 2 △ABc份月长为L=atb(=i+房如B叶后如C=1+后如B叶后（停-B)=1+5血B+a@B=1+ 2n(B+吾)又BE(o.号)所以B+若∈（倍，管），所以(B+音）（分1]所以1∈(2.3]中△ABC的周 长的取值范田为(2,3]. 数学参考答策（阳中威）一2 H.25【解折】古液面过DB,时，我面为四边形BNDG,将正方形AB,C,D:绕CD,衣转受此时B,V-BN,如图 所示，时DN+B=DN+BN≥DB,=√I+4=5,当D.N.B,三点共货时等号成立，故网长最小位为 (Crv).=2(DN+B:N)=2/5. R 0 G B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解折】们)先不考志队长人选对甲的限创，共有方法级为A一4X3=12(种)1…2分 老甲任正队长、方法数为C,故甲不担正任队长的选法种数为12-3=9（种）、…分 故从甲、乙、丙、丁中任选两人分别把任正队长和胡队长，平不把任正队长的速法共有9种.…5分 (2)0无第一次传球老师传给了甲其概率为： 第二次传球甲只能传给乙、丙，丁中的任一位同学共救率为马： 第三次传球，乙，丙、丁中的一位传球检老师，其额率为号 故这种传球方式，三次传球后球回到老师子中的复拿为：×号×宁一品 …8分 ②若第一次传球，老%传松乙、丙，丁中的任一位其概来均为子。 第二次传球，乙、丙，了中的一位传球给甲，其概率为号。 第三次传球，甲将球化给老师兴樅单为宁。 达种传球方式，三大作球后球阿到老师子中的根率为3X宁×号×宁员 13 …2分 所以.前三次传球中满足题杰的搬率为：员十8一羽 3133 故南三次传球中。甲同举伦好有一次装封球且第三次传球后球回到老师子中的瓶率足号 …13分 16.【解折(1)因为八x)=sin(x-之)十a(a∈R)的图象关于点P(分1)对林.所以f八x)+1-x)=2、…2分 即sin(-)+a+sin(1-x-)+a=2,故a=l …4分 (2)当≥2时a.=/月)+/（月）++/（元） 所以2a.=[()+/)]+[层）+号]++[)+分)] …6分 所以20.=2(n-),肿当n22时.0=n-小、…9分 又当n=1时，a,=0,所以数列(u.)的通项公式为a=n-1, …0分 2-1 2-1 6=2+12+D2+12+万-2+2中i, …13分 所以S=6+6+…+6,=2中2有++打+=含2+ 1 111 …15分 数字参考答案（附中版）一3 17.【解桥】(1)解法-：令入5=a,AC=b.AD-c,设AF=xAC-b. .10分 又年面00E中.0=Ci+0=-b+2(a+).cE=Ci+花=-b+c。 nBF=BA+AF=一a十b,… ……3分 若BF∥平面COE、刻存在实数ry,使得 F=x0+yC庞=-b+a+e)+y-b+)-20-(x+wb+(分+小k ，…4分 =-1, 则-a+边=之0-(x+b+(2+3y小水，则{+y=-a 1 1 +3y-0, 虾得x=一2，y=3,入=…】。…6分 所以存在点F,位于线段CA的延长线上，且满足AF=AC,伙科BF∥平面C0E.…?分 (注：指出存在点F,满足AF-CA同样给分.) 解法二：如图延长线段CA至F,使得AF=CA,足长线段DA至H、使得AH=EA,连接BF, BH.FH、因为O为BD的中点，DE=2EA,所以DE=EH,BH∥OE.…2分 又∠FAH=∠CAE.所以△FHA≌△CEA,所以∠FHA=∠CEA,所以HF//CE,·3分 又图为BHC平面(X)E,所以BH∥平面COE,网里.HF∥平面COE,…4分 又BH∩HF=H,所以平面BFH∥平面COE,…5分 又BFC平面BFH,所以BF∥平面COE,…6分 所以存在点F,住于线段CA的延长伐上，且满足AF=AC,伙得BF∥平面OOE.…7分 (2)解法一：在△ABD中，：AB=AD,O为BD的中.点，，AOLBD.…8分 又，平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩下面BCD=BD,AOC平面ABD,∴AOL千面BCD.…9分 在△ABD中，过E作EN∥AO交BD于N,则EN⊥平面BCD..EN⊥BC.…10分 :OB=OD=OC=1,.∠BCD=90°，即DC⊥BC. ……1分 在△BCD中，过N作NM∥CD交BC于M,则NMLBC,.逄接EM. 'BCLEN.BCLNM,EN∩NM=N,∴.BC⊥平面EMN, EMLBC,∠EMN为二面角E-BC-D的平面角，… …13分 又如二面角E-BC-D的大小为5°，∴∠EMN=45', ∴△EMN为￥腰直角三角形，又由DE=2EA得DN=2NO, MN=号CD-号-EN=NDA0-OD=1, Vm-m·A0-×号x1X5x1号 故三投候A-BCD的体银为号. …15分 解法二：在△ABD中，AB=AD,O为BD的中点AOLBD,…8分 又：平西ABD⊥平面BCD.平面ABD∩平面BCD=BD,AOC平西ABD.∴AO⊥平面BCD,…9分 由OC-OD=OB得BC⊥CD.以C为原点，CD.CB.OA的方向分别为r轴.y轴，：轴正 方向建主空间直角坐标系，如图所示，设AO=a. c0.o0.B80w5.0-1.00A号9a） N(号9号oi=o5.0.正-（号9号， …10分 数学参考答豪（附中版）一4 n·CB=0, {3y=0. 设平面EBC的法向量为n=(xy,).对{ .CE=0. +t号=0 ++ 今x-0,则=-1.n=(0,0,-1),…12分 易扣平面BCD的一个法向量为m一(0,0,1)、… …13分 由题可1aaaI-l-后品-号 = u=1,即A0=1, …]月分 aA0-号×号×IXX1=号三A-B80D的银为号 1 …15分 18.【解折]1)议点Mx共中+斧-1.一2<2.且1. 则1AM=-+=√x-1)+6(1)≥1. …2分 所以6(1-)+x-1≥. 当x,=±2或x,=0时，bER: ……3分 当x,∈(-2,0)U0.2)时， 6≥24二子-红2二型==7因为 4-2+x2+1 A-∠2 =2,所以≥2.…5分 1- +1+川 r 又0<K2,则瓦≤bK2.袋上.b的取值范田是[2.2).…6分 (2)若6=1，则C:若+y=1.设点(p.0点Ep≠0， ①若直线1的斜率为0，则点P(4.0),不材令点M2.0).N(一20). 则a=6点如-6--4o==2中2 若k,kk成等差数列，则k十k,=2k, .2 所以p-2+D+2p-4(p-4)p+2)+(p-40p-2)=2(p+2p-2), 所以4p=4,所以b=1.所以A点坐标为(1,0).…1山分 ②为A六坐标为(1,0)，若直线1的斜率不为0，设直线1：r=my十1(m≠0)，M(xy),N()、 易如ap)-en.油吉+y= (x=my+1. 得(m2+4)y+2my-3=0,△>0， 早 所以》+=二2. …13分 因为点=山二 ,6=m =36公 所以+=+号+ =4-)+(为-2=2y为-(y+为2 my为 my为 -6+2mu _m+4m+-6-,2ml=2k, 一31n 3m m+4 所以k,k,k成等差数列. …16分 维上：存在点A(们0)，使得k,k总成半是效列.…17分 19.【解析11)由悬高gx)=(sn一1，r[0,号]， 则g'(x)=7c(six十cosx-1)-2sin(x+牙）-1]≥0，因此函数gx)在B向[0，受]上单调递增， 数手东考谷案（册中放）一5 故8x)≥80)=-宁所以R)在g同[0，受]小上的最小值为-宁 …小分 （2)证明：(1)由条件知方+mx-x+ni=1.2)两式相减得，一)=(sin-m)+(4-). 不设，>：.记h()=sinx-x,x∈R,则h'(r)=cosr-1l≤0.3号成立当且仅当r=2jr(G), h(r)在R上单羽道戏，因此in-,<in.,啤二<1.…7分 t-: 以下证明，c一Gc+c心）0…8分 2 在0两边同时约去c“十心>0，只看证明，二c心<+c心 x1-x: 2 包1=e>01=12.时>4上式化为二0<，甲h名>2 2(华-) 【1Tg大 记=片>1上式化为h>2元g=h2+e1.+o, 剥有)=名>0.y:61,+og)凌1.+e∞上单词达话.枚以0>p1)=0.国光0成立.…9分 这科四二要5+分货号<1+号位吉，即+心>2可因光治成主.…0分 2 （l)鉴于y=inx的有界性，我们以a=-l,a=!为界分情形讨论. 当a≤一1时，F(x)-分c+sin>0-1≥a,这时方程F(z)=a无解，≤-1不持合条件：…11分 当-1<a≤1时，对k∈N,F(-2m-受)=分e-1,F(-2kx-3受）-方er-"+1>a, 记k6=-21+a)]+,对非奥整数k>%F(-2kx-受)<2ca+-1-1=1+a-1-a. 4π 故由家点存在性定理知，存在4∈(-2kx-经-2x一受)使得Fu)=@, 故这时方程F(x)=a有无数多个解，一】<a≤l不符合条件：…13分 当a>1时，因为Vr∈(0，十o∞)，F'(x)=e“+cosr>1-1=0,所以F(x)在(0，+)上单调遂增， 又F0)=7<a,R(h）-方e+n=2a+smh0>2a-1>a, 故F(x)=a在[0，十o0)上有唯一解.…11分 由F(x)=a知2r=ln2+ln(a-sinr).记C(r)=2r-ln2-ln(a-sinx),r∈R,对G(r)的任-客点xo,由 0=G(x)≥2x。-h2-l1n(a+1).0=G()≤2x,-lh2-lo(a-1)可得h2+lna-D≤，≤h2+lga+ 2 2 zA=b2+lna-,B=血2+lga+D,则C(x)的本点都在B月A,BJ上. …15分 2 2 易如G)=2=2十兰在区同A,B上的本点有限（若本点存在，则满足动(r一p=29共中anp=方 a-sinr 且(o受)小 将这些零点从小到大依火记为4<，<…<u(若零点不存在，则n=0). 对G以r)在(A,a),(a1,a).….(a.B)这n十1个区间（当n=0时即为区同(A,B)上均为单调函数， 故Gx)在[A.a1],[a,a:][a.,B]这n十1个区问（当n=0时即为尽同[A,B])中的每一个区间上均至多有一个 零点， 因此G(x)在区可[A,B]上至多有n十1个零点，而这些是G(x)在R上的全邮伞点， 故G(r)在R上的零点有有限多个，种方程F(x)=a仅有有限多个解，于是a>】符合条件 定上所连，所求的实数a∈（们，十0∞）.…17分 数学多考谷案（附中版）一6