2026年寒假验收卷（必修第二册第6～7章：三角与三角函数）高一数学沪教版

2026年寒假验收卷 范围：沪教版必修第二册第6章—第7章 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．函数的最小正周期为 . 2．已知圆心角为1弧度的扇形的面积为8，则该扇形的半径为 3．若，，则 . 4．函数的单调递减区间为 ． 5．已知 则 6．函数，的值域是 ． 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 8．已知函数是奇函数，则的值为 ． 9．已知满足，则的值为 ． 10．如图，在中，已知点在边上，，，则的长为 . 11．函数（其中，，）的图象如图所示，若将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 . 12．已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．函数的图象的大致形状是（   ） A．   B．   C．   D．     14．在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 15．已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 16．设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）已知． (1)化简并求； (2)若角为第二象限角，且，求的值． 18．（14分）已知函数，它们的最小正周期为． (1)若函数是奇函数，求在上的严格增区间； (2)若的一个零点为，求的最大值． 19．（14分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 20．（18分）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数．阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用.但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米，关于的函数为． (1)求函数的表达式； (2)当时，设，求的值域； (3)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 21．（18分）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则A，B之间的曼哈顿距离为：．A，B之间的余弦距离为，其中为A，B之间的余弦相似度． (1)若，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，且． ①求N，P之间的余弦距离； ②求N，P之间的曼哈顿距离． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年寒假验收卷 范围：沪教版必修第二册第6章一第7章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.π2433.4（-最+等，景+等)(e25号6[-1,2]7.1.8910.3516+512 λe(得) 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13.B14.D15.A16.B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分). 17.(14分)【详解】(1)依题意，fa) =-cota, 所以月=cot号=与 (7分) (2)由角α为第二象限角， 且sina=,得cosa=-Vh-sina--(-.29, 所以f(a)=器=22 (7分) 18.(14分)【详解】(1)因为函数f(x)最小正周期为m,且ω>0， 所以由T=篑=π，得ω=2， 又因为y=f(x)是奇函数， 所以f(0)=0→V2simp=0,而pe[0,π)，所以p=0, 因此f(x)=V2sin2x, 在xe[0,π]时，令t=2xte[0,2π]， 当te[0,晋]或te[变，2π]时，函数y=V2sint单调递增， 所以xe[0,π]时，f(x)=V2sin2x的递增区间是[O,晋]和[平，元]： (7分) (2)因为函数g(x)最小正周期为π，且ω>0， 所以由T=吾=π，得ω=2，即g(x)=V2cos2x, y=V2 [sin (2x+)+cos2x], 把点(-，0)代入，得V2[sin(-号+p)+cos(-号)]=0， 1/4 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即sin(p-号)=克，因为pe[0,),所以p-号e[-胃，牙)， 因此有p号=若，得p=晋， y=V2[sim(2x+君)+cos2x]=V反（号sin2x+号cos2x)=6sin(2x+号）， ∴ymx=V6 (7分) 19.(14分)【详解】(1)因为2b=c+2 acos C,由正弦定理可得2sinB=sinC+2 sinAcosC, sinB=sin[-(A+C)]sin (A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 所以2 sinAcosC+2 cosAsin C=sinC+2 sinAcosC, 即2 cosAsin C=sinC,又sinC>0,所以cosA=支， 又Ae(0,元)，所以A=晋： (6 分) 2)由正弦定理=品=立=发=2 所以b=2sinB,c=2sinC, @b+(V3+1)c=2sinB+2(V3+1)sinC =2sin (+C)+2(3+1)sinc =2(sincosC+cos sinc)+2(3+1)sinc =V3cosC+(2v3+3)sinC =(3y2+V6)sin(c+p), 其中tanp=2-V5, 又若<C<号，所以当C+p=时b+(V5+1)c取得最大值3V2+V6 (8 分) 20.(18分)【详解】(1) D R EM B 过P作PE⊥AB,垂足为B,由题意可得：PE=3sin6,AE=3cos6, 2/4 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以PQ=AB-AE=t-3cos6,PR=AD-PE=4-3sin6 所以矩形PQCR的面积f()=PR·PQ=(4-3sin6)(t-3cos)(0≤6≤号)： (4分) (2)当t=6时， g(8)=49an8X63c098an9c0s8418n-sin28(0≤日≤号) 12 =2412c0818an8+9in9c089tn9c0s8+18型-sin26 12 =2-cos6-(1-c0s26)=cos26-c0s6+1, 令cos6=u,因为8e[0,],所以ue[0,1], 则函数y=2-u+1,其对称轴为u=, 当u=时，yn=()2+1=是， 当u=0或1时，ymx=1,所以g()e[星1] (7分) (3)因为f()=(4-3sin)(t-3cos6)(0≤6≤号)， 当t=4时，f(8)=(4-3sin)(4-3cos6)=16-12(sin6+cos6)+9sin6cos日 =16-12(sim日+cos0)+号(sim6+cos0)2-1)=号(sin0+cos0)2-12(sim6+cos6)+罗 =(sin6+cos6-青)2+3≥3 当且仅当sin8+cos9=号，即sin6+V1-sim2石=青，1-sim29=(等-sim0) 2sin2日-号sin0+号=0，解得sin日=2或sin日=时，等号成立. 所以s的最小值是子，当S取得最小值时，所对应的sin8的值是4中臣或±三 (7分) 21.(18分)【详解】(1)由题意dAB=x1x+y1y=2-1+1-21=2: 所以余弦距离为1-cos(AB)=青 (4分) (2)①由题意cos(M,W=cosacosB-+sinasinB=cos(a-)=号， 由0<a<B<受，可得-号<u-B<0,故sin(a-B)=-V1-cos2(a-B)=: 因cos(M,P)=cosacos(&+B)+sinasin(a+B)=cos[a-(a+p)]=cosB=,故sinB=号， 3/4 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则cos(N,P)=cosBcos(a+β)+sinBsin(a+β)=coB-(ax+B)]=cosa, 又cosx=cos(a-B+B)=cos(ac-B)cosB-sin(a-B)sinB=号×是-()×青=3 所以N,P之间的余弦距离为1-cos(N,P)=1-c0sa=品 (7分) ②由①可知sin2B=2 sinBcosB=，cos23=2cos23-1=·六， cos(a+B)=cos(&-)+2β]=cos(ae-β)cos2B-sin(a-β)sin2B =号×()()×器=器 因0<a+B<元，则sin(a+B)=Vh-cos(a+B=器 所以N,P之间的曼哈顿距离为： d(N,P)=IcosB-cos(a+l+|sinB-sim(a+l=l月|+|情-器|=器 (7分) 4/4 2026年寒假验收卷 范围：沪教版必修第二册第6章—第7章 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数，再利用正弦函数周期公式求解. 【详解】函数，其最小正周期. 故答案为： 2．已知圆心角为1弧度的扇形的面积为8，则该扇形的半径为 【答案】4 【分析】利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 因为，又，所以，解得. 故答案为：4. 3．若，，则 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值. 【详解】因为，，则， 故. 故答案为：. 4．函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】． 由， 故函数的单调递减区间为 故答案为： 5．已知 则 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式转化和化简即可. 【详解】因为，所以， 则 . 故答案为：. 6．函数，的值域是 ． 【答案】 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数性质求值域. 【详解】由，且， 所以，则函数值域为. 故答案为： 7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 【答案】1 【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式可得，利用余弦定理，结合已知和即可求解． 【详解】由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 由余弦定理知， 即， 即， 所以， 所以． 故答案为：1． 8．已知函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】 利用余弦型函数的性质，求出的表达式，再利用诱导公式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得， 则，所以当时，. 故答案为：. 9．已知满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据切弦互化得，进而整理得，再根据展开整理得，最后利用展开求解即可. 【详解】解：由得，即， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 所以 故答案为： 10．如图，在中，已知点在边上，，，则的长为 . 【答案】 【分析】直接利用诱导公式和余弦定理及解直角三角形知识的应用求出结果． 【详解】中，已知点在边上，，， 则， 又因为， 所以， 在中，， 即，在直角三角形中， 得. 故答案为： 11．函数（其中，，）的图象如图所示，若将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则 . 【答案】 【分析】根据振幅求得，利用图象过点及的范围求得，利用图象过点求得，可得，进而利用三角函数图象变换法则得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】由图象易知，，图象过点，即，， 因为，所以， 又图象过点且该点位于单调递增区间，即， 所以，所以， 又，，所以，所以， 所以函数的解析式为， 将函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图象， 则可得， 故 ， 故答案为： 12．已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据余弦定理得到，利用同角三角函数平方关系得到，，由正弦定理和正弦和角公式得到，根据为锐角三角形，得到，得到，得到答案. 【详解】因为，由余弦定理得， 则，所以， 又，所以，解得或， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 其中， 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 所以，所以， 所以，， 故. 故答案为： 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．函数的图象的大致形状是（   ） A．   B．   C．   D．     【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负即可判断得出. 【详解】由，令，则， 所以和都是奇函数，得， 即为偶函数，图像关于轴对称，所以C，D错误； 而，再由当时，，， 得，，所以A错误，B正确. 故选：B. 14．在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由可得，由可得，确定是等边三角形. 【详解】由得， 所以，又，所以. 由，根据正弦定理可得， 又，， 所以，又，所以， 由正弦定理可得.因为，所以是等边三角形. 故选：D. 15．已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的知识可得，，，由函数是定义在上的偶函数，则，又由函数在上是增函数，即可求解. 【详解】根据题意， ，， 又由函数是定义在上的偶函数，则， 则有，又由函数在上是增函数， 故，即. 故选：A． 16．设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（    ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】首先，根据函数奇偶性的定义判断和的奇偶性；然后，通过三角函数的性质及绝对值的意义求出在不同区间的表达式，进而得到的取值情况，画出函数图象；最后，根据的不同取值求解方程的实数根.逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知， 在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 故选项①和③正确，②错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故④正确. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）已知． (1)化简并求； (2)若角为第二象限角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式及倒数关系化简，再利用特殊角的三角函数值求解. （2）利用同角公式计算即得. 【详解】（1）依题意，， 所以. （7分） （2）由角为第二象限角，且，得， 所以. （7分） 18．（14分）已知函数，它们的最小正周期为． (1)若函数是奇函数，求在上的严格增区间； (2)若的一个零点为，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合正弦型函数的单调性、最小正周期公式进行求解即可； （2）根据函数零点的定义，结合两角和的正弦公式、辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为函数最小正周期为，且， 所以由，得， 又因为是奇函数， 所以，而，所以， 因此， 在时，令， 当或时，函数单调递增， 所以时，的递增区间是和； （7分） （2）因为函数最小正周期为，且， 所以由，得，即， 即， 把点代入，得， 即，因为，所以， 因此有，得， ． （7分） 19．（14分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）由正弦定理可得，，从而将转化为关于的三角函数，最后由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，所以， 又，所以； （6分） （2）由正弦定理， 所以，， 则 ， 其中， 又，所以当时取得最大值. （8分） 20．（18分）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数．阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用.但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米，关于的函数为． (1)求函数的表达式； (2)当时，设，求的值域； (3)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 【答案】(1) (2) (3)最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或． 【分析】（1）根据题意，过作，分别表示出，结合矩形的面积公式代入计算，即可得到结果； （2）将解析式化简，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （3）由解析式可得，即可得到时，取得最小值，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 过作，垂足为，由题意可得：， 所以， 所以矩形的面积 （4分） （2）当时， ， 令，因为，所以， 则函数，其对称轴为， 当时，， 当或时，，所以 （7分） （3）因为， 当时， 当且仅当，即 ，解得或时，等号成立． 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或． （7分） 21．（18分）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则A，B之间的曼哈顿距离为：．A，B之间的余弦距离为，其中为A，B之间的余弦相似度． (1)若，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，且． ①求N，P之间的余弦距离； ②求N，P之间的曼哈顿距离． 【答案】(1)曼哈顿距离为2，余弦距离为 (2)①；② 【分析】（1）根据题意代入题目中的公式可得答案； （2）①根据条件和两角和的余弦公式可求答案；②先求解，结合和角公式可得答案. 【详解】（1）由题意； 因为， 所以余弦距离为. （4分） （2）①由题意， 由，可得，故； 因，故， 则， 又， 所以N，P之间的余弦距离为. （7分） ②由①可知，， ， 因，则， 所以N，P之间的曼哈顿距离为： . (7分) 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $