第8章 平面向量（单元测评卷）高一数学沪教版

第8章 平面向量 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．化简：= 2．已知平面向量，若 ，则 . 3．已知是单位向量，在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD的形状为 ．（矩形、正方形、菱形、梯形）. 4．向量在上的投影向量是 （用坐标表示）． 5．已知向量，满足，，且，的夹角为60°，则 ． 6．已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 . 7．在中，，若，则实数的值为 . 8．设是内部一点，且，则 ． 9．在边长为的等边三角形中，，则 . 10．在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则 11．在中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为 ． 12．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 15．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的个数是（   ） ①；                  ②，； ③；           ④与的夹角为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下命题正确的个数是（   ） ①与能构成一组基底；②； ③在向量上的投影向量为 ④若P在线段BC（包括端点）上，且，则取值范围 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）如图，在四边形中，，分别为边，的中点，，记，相交于点． (1)试用、表示； (2)证明：，，三点共线． 18．（14分）已知向量，满足，，设与的夹角为， (1)当时，求与的夹角； (2)若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 19．（14分）已知向量，． (1)若与共线，，求，的值； (2)设函数，，求的值域． 20．（18分）如图所示：点是所在平面上一点，并且满足，已知. (1)若实数，求证：是的重心； (2)若是的外心，求的值； (3)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 21．（18分）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； (3)已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 平面向量 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 2. 或. 3. 菱形. 4. 5. 6. 7. 8. . 9. .10.. 11. . 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13. B 14. B 15.C 16.C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）【详解】（1）因为为的中点，所以， 则，故． （7分） （2）设，又因为，所以，， 由（1）知，同理， 其中，所以， 有公共点，故，，三点共线． （7分） 18．（14分）【详解】（1）向量，满足，，设与的夹角为， 所以 ， ，则， 则 ， 故与夹角为. （7分） （2）将不等式两边同时平方， 得， 即 因为，与的夹角为， 则恒成立， 所以， 化简得，解得． （7分） 19．（14分）【详解】（1）由题，可得，由与共线， ， ，，上式化简得，则， . （7分） （2） ， ， 所以，则， 所以函数的值域为. （7分） 20．（18分）【详解】（1）当实数时，设的中点为， 由， 即，所以是的重心； （4分） （2）设的中点为，显然， ， 由， 设的中点为，显然， ， 由， 即； （7分） （3）因为是的平分线上某点， 所以， 所以由， 由，当且仅当时取等号，即时取等号， 所以， . （7分） 21．（18分）【详解】（1） 所以函数的相伴向量； （4分） （2）由题知，由，得． 又因为，即，所以． 又因为，由正弦定理，得， 即 ，因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 即的最大值为，最小值大于b边．所以的取值范围为 （7分） （3）由（2）知，， 所以， 设，因为， 所以， 又因为，所以，所以 即，所以 因为，所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得. （7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 平面向量 单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．化简：= 【答案】 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 2．已知平面向量，若 ，则 . 【答案】或 【分析】根据平面向量的坐标运算可得，结合共线向量的坐标表示与平面向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以，即， 解得或，所以或， 所以或. 故答案为：或. 3．已知是单位向量，在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD的形状为 ．（矩形、正方形、菱形、梯形）. 【答案】菱形； 【分析】利用向量得到四边形对边和邻边的位置关系，判断四边形的形状. 【详解】是单位向量，在四边形ABCD中，，， 则，在四边形ABCD中，，，可知四边形ABCD是平行四边形， 又，，所以四边形ABCD是菱形. 故答案为：菱形. 4．向量在上的投影向量是 （用坐标表示）． 【答案】 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】所求投影向量为. 故答案为： 5．已知向量，满足，，且，的夹角为60°，则 ． 【答案】 【分析】根据向量模的公式直接求解即可. 【详解】因为，，且，的夹角为60°， 所以 所以． 故答案为： 6．已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 . 【答案】 【分析】根据向量的减法运算可得，，根据三点共线可得存在实数，使，然后列方程求解即可. 【详解】由已知可得， ， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 则，即且，解得. 故答案为： 7．在中，，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据向量的线性运算化简即可得解. 【详解】由已知，则， 即， 又， 则， 故答案为：. 8．设是内部一点，且，则 ． 【答案】 【分析】先作出草图，然后分析出的位置，先考虑长度的比值，最后即可得到面积的比值. 【详解】设为的中点，如图所示，连接，则. 又，所以，即为的中点， 则，， 即. 故答案为：. 9．在边长为的等边三角形中，，则 . 【答案】 【分析】先将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律计算. 【详解】已知，因此， 又因为在三角形中，，所以： ， 等边三角形的边长为，因此，且与的夹角为， 则， ， 所以， 因此，. 故答案为：. 10．在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则 【答案】 【分析】在三角形中过作于，求出，再利用余弦定理解出，进而可求解. 【详解】 如图，过作于，的最小值为， ，得到， 又为锐角，， ，不妨设， 则， ，. 故答案为：. 11．在中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用三角形面积公式求得面积比与参数之间的等量关系，结合向量共线定理的推论，找到之间的关系，构造函数，即可求得取值范围. 【详解】根据题意，连接，作图如下： ， 在三角形中，因为为其重心，故可得 结合已知条件可得：， 因为三点共线，故可得，即， 由题设可知，， 又，得， 故，令，可得，， 则，又在单调递减，单调递增， 当时，，当时，，当时，， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量共线定理及其推论，处理问题的关键是正确应用定理以及推论，同时要注意参数范围的求解以及对勾函数单调性的应用，属综合中档题. 12．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】连接，根据向量的线性运算（或极化恒等式）可得，故可求的取值范围. 【详解】 方法一：正六边形的内切圆半径为，外接圆的半径为. 因为，即，所以，可得． 方法二：连接，则由极化恒等式知， 又易知，所以，可得， 故的取值范围是． 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14每题4分，15、16每题5分）. 13．已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 14．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】， 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 15．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，则下列结论正确的个数是（   ） ①；                  ②，； ③；           ④与的夹角为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量在坐标系中的坐标定义，建立向量与坐标的一一对应关系，利用向量的数量积定义，向量的模，向量的垂直判断，向量的夹角计算公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，且，. 对于①，因，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，由①已得，所以，故③正确； 对于④，因， 则， 且， 则， 因，故与的夹角为，故④正确． 综上可得，有②，③，④共3个结论正确. 故选：C. 16．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下命题正确的个数是（   ） ①与能构成一组基底；②； ③在向量上的投影向量为 ④若P在线段BC（包括端点）上，且，则取值范围 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】可根据图形得出，建立平面直角坐标系，然后求出图形上各点的坐标，判断与是否共线；可求出向量的坐标，根据坐标即可判断②；根据投影向量的计算公式即可判断③；根据点在线段（包括端点）上，设，然后表示出，即可求出取值范围判断④． 【详解】连接，因为，所以，因为， 所以， 所以， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 所以， ， 所以，所以， 即与共线，故①错误； 因为， 所以，故②正确， 因为， 在向量上的投影向量为，故③正确； 若点在线段上，设, 所以，由于， 由得， 所以，故④正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分）. 17．（14分）如图，在四边形中，，分别为边，的中点，，记，相交于点． (1)试用、表示； (2)证明：，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加减法证明即可； （2）根据向量平行得出，再结合向量的线性运算 计算证明即可. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 则，故． （7分） （2）设，又因为，所以，， 由（1）知，同理， 其中，所以， 有公共点，故，，三点共线． （7分） 18．（14分）已知向量，满足，，设与的夹角为， (1)当时，求与的夹角； (2)若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，再利用夹角公式即可得解； （2）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解. 【详解】（1）向量，满足，，设与的夹角为， 所以 ， ，则， 则 ， 故与夹角为. （7分） （2）将不等式两边同时平方， 得， 即 因为，与的夹角为， 则恒成立， 所以， 化简得，解得． （7分） 19．（14分）已知向量，． (1)若与共线，，求，的值； (2)设函数，，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的共线得到，再利用二倍角公式以及弦化切得结果； （2）根据向量数量积坐标公式以及辅助角公式化简，再根据三角函数性质求值域. 【详解】（1）由题，可得，由与共线， ， ，，上式化简得，则， . （7分） （2） ， ， 所以，则， 所以函数的值域为. （7分） 20．（18分）如图所示：点是所在平面上一点，并且满足，已知. (1)若实数，求证：是的重心； (2)若是的外心，求的值； (3)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3). 【分析】（1）运用平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质和三角形重心的性质进行证明即可； （2）根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可； （3）根据三角形内心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】（1）当实数时，设的中点为， 由， 即，所以是的重心； （4分） （2）设的中点为，显然， ， 由， 设的中点为，显然， ， 由， 即； （7分） （3）因为是的平分线上某点， 所以， 所以由， 由，当且仅当时取等号，即时取等号， 所以， . （7分） 21．（18分）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． (1)设，写出函数的相伴向量； (2)已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； (3)已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在点 【分析】（1）先把函数展开化简成的形式，根据相伴向量定义，得出. （2）先化简，由求出的值.再用正弦定理得到、关于角的表达式，进而得出关于角的式子，化简为.根据的范围确定的范围，找到取最值时的值，从而得到的最值，确定其取值范围. （3）本题先根据已知函数求出，进而得到点坐标，再根据、坐标得出向量与.因为，利用向量垂直性质得到等式，展开后变形得到.接着分析取值范围，得出取值范围，又知的最大值，找到使两者相等时的值，从而确定点坐标，判断是否存在满足条件的点. 【详解】（1） 所以函数的相伴向量； （4分） （2）由题知，由，得． 又因为，即，所以． 又因为，由正弦定理，得， 即 ，因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 即的最大值为，最小值大于b边．所以的取值范围为 （7分） （3）由（2）知，， 所以， 设，因为， 所以， 又因为，所以，所以 即，所以 因为，所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得. （7分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $