3.2.4离散型随机变量的方差（教学课件）数学湘教版选择性必修第二册

3.2.4离散型随机变量的方差 湘教版选择性必修第二册 第3章概率 学习目标 目标 1 重点 2 难点 3 通过具体实例，理解离散型随机变量的方差与标准差会； 计算两点分布、二项分布的方差及标准差； 会应用离散型随机变量的方差解决实际问题. 理解离散型随机变量的方差的定义； 掌握和应用离散型随机变量方差的性质. 离散型随机变量方差的实际应用 1.请计算随机变量X1和X2的期望,并分析甲乙两人的水平差异 问题1： 学校从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加市中学生运动会， 甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2的分布列分别如下. 计算得E(X1)=E(X2)=8，从期望(均值)的角度看，分不出甲、乙两名射手的射击水平，不知道谁更优秀。 新课导入 但进一步观察分布列，可以发现甲有42%的成绩在8环，而乙仅有12%的成绩在8环，这说明甲成绩偏离均值小，乙成绩偏离均值大. 2.如何来刻画一个离散型随机变量与其期望的偏离程度呢？ 新课导入 很自然地想到，|X－E(X)|表示随机变量X与其期望E(X)偏离的大小，可以用E{|X－E(X)|}表示平均偏离的大小． 但由于绝对值运算在数学处理上有许多不便． 人们便用E{[X－E(X)]2} 或 来刻画与它的期望的偏离程度． 新课讲授 设离散型随机变量 X 的分布列为 由数学期望公式可知 D(X) = E{[X－E(X)]2} = (x1－E(X) )2p1＋(x2－E(X) )2p2＋∙ ∙ ∙＋(xn－E(X))2pn 则称D(X)为随机变量 X 的方差，并称 为 X 的标准差． 通常还用 σ2 表示表示方差D(X)，用 σ 表示标准差． 新课讲授 问题：请计算甲乙两名射手射击成绩的方差，并对成绩作出分析 新课讲授 D(X1) = (6－8)2×0.16＋(7－8)2×0.14＋(8－8)2×0.42＋(9－8)2×0.1 ＋(10－8)2×0.18 = 1.6． D(X2) = (6－8)2×0.19＋(7－8)2×0.24＋(8－8)2×0.12＋(9－8)2×0.28 ＋(10－8)2×0.17 = 1.96． 由此可知，射手甲的射击成绩稳定性较好，稳定在8环左右，而射手乙的射击成绩稳定性略差． 思考1：根据上述问题，请分析随机变量的方差和标准差的意义。 新课讲授 方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散. 随机变量的方差是常数，而样本的方差依赖于样本的选取，带有随机性，即样本方差是随机变量，在大多数情况下，样本方差会接近于总体方差，因此，我们常用样本方差估计总体的方差. 思考2：随机变量的方差和样本方差的区别和联系是什么？ 根据方差的定义和数学期望的性质，对于离散型随机变量X，我们还可以得到以下计算公式： D(X)=E{[X－E(X)]2} =E{X2－2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)－2E(X)E(X)+[E(X)]2 =E(X2)－[E(X)]2 思考3：根据方差的定义和数学期望的性质，离散型随机变量的方差还可以如何计算？ 新课讲授 X 0 1 P 1-p p 于是，对于离散型随机变量X， 若X～B(1，p)，则D(X)=p(1－p). 问题2：若随机变量的概率分布满足两点分布，请给出X的分布列和期望 追问：请利用上述分布，求方差和标准差. E(X)=0×(1-p)+1×p=p 新课讲授 1.若X～B(n，p)，则D(X)=np(1－p)； 2.若X～B(n，p)，则D(X)=np(1－p)； 3.若Y=aX+b，a，b为常数，则D(Y)=a2D(X). 问题3：类比两点分布，若随机变量的概率分布满足二项分布分布，方差如何计算？ 若X～B(1，p)，则D(X)=p(1－p). 新课讲授 例15 某厂一批产品的正品率是,检验单位从中有放回地随机抽取件,计算: (1)抽出的件产品中平均有多少件正品 (2)抽出的件产品中正品数的方差和标准差 解 因为正品率是98%，所以任取一件产品时，得到正品的概率为0.98. 用X表示抽得的正品数，由于是有放回的随机抽样，所以X服从二项分布B(10，0.98). 首先根据有放回抽样，可以判断随机变量服从二项分布 典例分析 (1) E(X)=10×0.98=9.8， 因此抽出的10件产品中平均有9.8件正品. (2) D(X)=10×0.98×(1-0.98)=0.196， 标准差σ=√D(X)≈0.44. 代入二项分布的期望和方差公式，求得结果 典例分析 例16 某人欲投资万元,有两种方案可供选择,设表示方案一所得收益(单位:万元),表示方案二所得收益(单位:万元),其分布列分别为 假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢? 决策之前首先要进行数据分析，所以需要分别计算两种方案的期望和方差 典例分析 典例分析 解：E(X) =(－2)×0.7 ＋8×0.3 = 1（万元）， E(Y) =(－3)×0.7 ＋12×0.3 = 1.5（万元）． D(X) =(－2－1)2×0.7＋(8－1)2×0.3= 21， D(Y) =(－3－1.5)2×0.7＋(12－1.5)2×0.3= 47.25． 根据各自的分布列计算随机变量的期望和方差。 由于同期银行利率为1.75%，所以若将10万元存入银行，可得利息 （无风险收益）10×1.75%=0.175（万元）． 从期望收益的角度来看，两种投资方案都可以 带来额外的收益，但都要冒一定的风险． 方案一的期望收益小于方案二， 但方案一的风险也小于方案二． 所以， 如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行； 如果想多赚点又不想风险太大就选择方案一； 如果想多赚又不怕风险就选择方案二． 利用计算所得期望和方差的数据，给出决策建议。 追问：你能总结一下用期望和方差对实际问题做出决策的步骤吗？ 典例分析 感悟提升 利用期望和方差对实际问题做出决策的步骤 1.首先正确确定收益的分布列 2.根据分布列计算随机变量的期望和方差 3.根据期望和方差的取值，给出决策建议 1.离散型随机变量的方差 若Y=aX+b，a，b为常数，则D(Y)=a2D(X). 2.几个特殊分布的方差： D(X) = E{[X－E(X)]2} = (x1－E(X) )2p1＋(x2－E(X) )2p2＋∙ ∙ ∙＋(xn－E(X))2pn 3.方差的性质 课堂总结 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 X1 6 7 8 9 10 P1 0.16 0.14 0.42 0.1 0.18 X2 6 7 8 9 10 P2 0.19 0.24 0.12 0.28 0.17 X1 6 7 8 9 10 P1 0.16 0.14 0.42 0.1 0.18 P2 0.19 0.24 0.12 0.28 0.17 $$