2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册期末寒假作业巩固提高 05追及、相遇与多过程运动

期末寒假作业巩固提高05追及、相遇与多过程运动 期末寒假作业巩固提高05追及、相遇与多过程运动 1 1 1 一．追及与相遇问题 1 二．多过程运动问题 2 3 一．追及与相遇问题中刹车避撞问题 3 二．追及与相遇问题中反应时间问题 4 三．追及与相遇问题中接力赛/体育赛事问题 4 四．竖直上抛与自由落体的相遇问题 5 五．图像中的追及相遇问题 6 六．多过程运动模型 7 9 一．基础巩固练 9 二．能力提升练 13 三．拓展创新练 16 一．追及与相遇问题 1. 问题模型：研究两个（或多个）运动物体在同一直线上运动时，它们之间距离变化（增大、减小、为零）的问题。 追及问题：同向运动，后者追前者。 相遇问题：相向运动，两者相向而行。 2. 核心分析思路：“一个临界条件，两个等量关系” 一个临界条件：速度相等 (vA = vB)。这是判断能否追上、距离是最大还是最小的关键切入点。速度相等时，两物体间距离通常取得极值（最大或最小）。 两个等量关系：时间关系：两物体运动的时间是否相同 (tA = tB)，还是有先后 (tA = tB ±Δt)。 位移关系：画出运动过程示意图，找出两物体位移之间的几何关系。这是列方程的突破口。 追及问题：sA = sB + s₀ （s₀ 为初始距离） 相遇问题：sA + sB = s₀ （s₀ 为初始距离） 3. 三种常用解题方法 物理分析法（过程分析法）： 核心：抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键。 步骤：认真审题 → 挖掘隐含条件（如“刚好”、“恰好”、“至少”等） → 画出运动过程示意图 → 找出时间、位移、速度关系 → 列方程求解。 关键提醒：若被追物体做匀减速运动，一定要先判断它在被追上之前是否已经停止运动。 函数方程法（数学解析法）： 核心：设相遇时间为 t，根据位移关系列出关于 t 的方程（通常是一元二次方程）。 通过分析方程的判别式 Δ 来判断相遇情况： Δ > 0：有两个正实数解 → 相遇两次。 Δ = 0：有一个正实数解 → 恰好追上（或恰好不相撞）。 Δ < 0：无实数解 → 追不上。 对于距离极值问题，可将两车距离 Δx 表示为时间 t 的二次函数，利用配方法或顶点公式求极值。 图像法： v-t 图像：两图线的交点表示速度相等；图线与时间轴围成的面积表示位移。面积差代表两物体的位移差，可用于判断距离变化和相遇时刻。速度相等时，面积差往往取得极值（最大或最小）。 x-t 图像：图线的交点直接表示相遇。优点：直观、简洁，特别适合选择题和定性分析。 4. 解题一般步骤 审题建模：明确研究对象（谁追谁？谁和谁相遇？），分析每个物体的运动性质（匀速、匀加速、匀减速）。 画示意图：画出运动过程草图，标明初始位置、速度、加速度、初始距离等。 找关系：找出时间关系和位移关系（核心）。 列方程：根据运动学公式 (v = v₀ + at, s = v₀t + ½at², v² - v₀² = 2as) 和找出的关系列方程。 求解讨论：解方程，并根据物理意义（如时间不能为负，速度方向，物体是否已停止等）对结果进行合理性判断或讨论。 二．多过程运动问题 1. 问题特点：一个物体的运动由几个连续但性质不同的运动阶段（如：先匀加速，后匀速，再匀减速）连接而成。 2. 核心分析思路：“分段处理，抓住衔接” 分段分析：将复杂的全过程分解为几个简单的子过程。 明确各段：明确每个子过程的运动性质（初速度、末速度、加速度、位移、时间）。 抓住关键：衔接点（转折点）的速度是联系前后两个子过程的桥梁。前一过程的末速度就是后一过程的初速度。 全程与分段结合：有时对全过程列式（如总位移、总时间）会更简便。 3. 解题一般步骤 划分过程：根据加速度变化，将运动划分为几个清晰的阶段。 过程分析：对每个阶段，分析其运动性质，画出草图，标出已知量和待求量。 列式求解：对每个阶段，选用合适的运动学公式列方程。利用衔接点速度作为联系，建立各阶段方程之间的关联。 联立求解：解方程组，得出结果。 一．追及与相遇问题中刹车避撞问题 1.火车沿平直轨道以的速度向前运动，司机发现正前方处有一火车正以的速度沿同一方向行驶，为避免相撞，司机立即刹车，刹车的加速度大小至少是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】设火车匀减速直线运动的加速度为，当两车速度相等时，有：  。 此时前面的火车的位移： 后面火车的位移： 此时有： 得： 所以刹车的加速度大小至少应是 故选：。 2.在平直的公路上，一辆小汽车以的速度行驶某时刻小汽车司机发现正前方有一辆货车正以的速度同向行驶，小汽车司机立即采取制动措施刹车，制动时加速度大小． 若两车不相撞，求小汽车制动时两车间可能的距离 若小汽车制动时两车间的距离，小汽车在刹车的同时给货车发信号，货车司机收到信号经立即加速行驶，为了避免与小汽车相撞，求货车的加速度大小的最小值． 【答案】 解：设小汽车匀减速经时间两车速度相同， ，解得， 小汽车位移， 货车位移， 若两车不相撞，， 解得。 经过两车的距离， 此时小汽车的速度， 设货车开始加速再经时间两者达相同速度，且恰好相遇， ， ， 解得。  二．追及与相遇问题中反应时间问题 3.某罪犯驾驶小轿车以的速度在一条平直公路上匀速行驶，当其从公路边值勤的特警身边驶过时，被特警发现准备启动警车追赶。若特警的反应时间，警车启动延迟时间，启动后警车以的加速度做匀加速直线运动。试求： 罪犯从特警身边驶过到特警追上罪犯所需的时间； 警车在追赶犯罪的过程中，两车间的最大距离； 若警车的最大速度，则启动后警车追上罪犯小轿车所需的时间。 【答案】设警车经时间追上罪犯小轿车，有   解得， 罪犯从特警身边驶过到追上罪犯时间为。 特警在追赶罪犯小轿车的过程中，当两车间的速度相等时，它们的距离最大．设经时间两车的速度相等，则有 ，所以， 罪犯小轿车的位移，警车发生的位移 所以两车间的最大距离。 设警车先加速的时间为，有 解得 设警车追上罪犯小轿车的时间为，由位移相等得 解得。  三．追及与相遇问题中接力赛与体育赛事问题 4.在校运动会准备期间，甲、乙两名同学在训练接力赛交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持的速度并跑完全程；乙起跑后，立即做匀加速直线运动，加速度大小为当速度达到后，保持此速度做匀速运动。如图所示，为了确定乙起跑的最佳时刻，甲需在到达接力区前适当的位置设置标记线，甲到达标记线时，向乙发出起跑信号。已知：接力区的长度；甲、乙运动到同一位置时才能完成交接棒，且完成交接后甲立即停止运动；甲到达标记处速度已经达到。 乙从起跑处跑到接力区末端所需的时间为多少？ 某次练习中，甲未能追上乙完成交接棒，此次标记位置与乙起跑处的最小距离为多少？ 某次练习中，甲匀速跑到某位置时预测不能追上乙，立即改以的加速度做匀加速直线运动，加速后，恰好在接力区末端追上乙完成交接棒，此次标记位置与乙起跑处的距离为多少？ 【答案】乙加速的时间为   位移为  则乙还需匀速一段时间，有 解得 总时间为； 设标记处到起跑处距离为。若甲、乙同时出发且甲始终以匀速运动，乙加速到与甲速度相同所需时间为： 此时间内甲的位移大小为： 此时间内乙的位移大小为： 甲追不上乙的条件为： 解得：，故最小距离为； 甲到标记处时速度已为，开始加速  ，加速度，则  此内甲走过的位移为  其后甲以匀速，乙仍需完成，故甲也需到达接力区末端。 加速后甲还有做匀速，位移 总路程 即标记处到接力区末端的距离即，故标记处与起跑处相距。 四．竖直上抛与自由落体的相遇问题 5.如图所示，一竖直固定的长直圆管内有一静止的薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为。一小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，碰撞后小球做竖直上抛运动，圆盘竖直向下做匀减速直线运动，在圆盘的速度减为零的瞬间，小球第二次与圆盘发生碰撞。小球与圆盘发生碰撞的时间极短可忽略，每次碰撞后瞬间圆盘和小球的速率均为碰撞前瞬间小球速率的一半，不计空气阻力，重力加速度大小为，小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，且圆盘在圆管内做匀减速直线运动的加速度大小保持不变。 求第一次碰撞后小球的速度球和圆盘的速度盘； 求圆盘在圆管内做匀减速直线运动的加速度大小； 若小球与圆盘的第五次碰撞发生在管底，求圆管的长度。 【答案】小球第一次碰撞圆盘前速度大小为 选向下为正方向，碰撞后瞬间圆盘和小球的速度分别为 ， ； 依题意，圆盘做匀减速直线运动，小球做竖直上抛运动，设第二次碰撞前二者的位移为，可得 联立解得 ，  圆盘做匀减速直线运动，则有 解得； 小球第二次碰撞前速度为 即小球第二次碰撞圆盘前速度与第一次碰撞圆盘速度相同，碰撞后的运动过程与第一次碰撞后运动过程也相同，由分析可知第一次碰撞后圆盘位移为 则第二次碰撞圆盘后，圆盘的位移也为，以此类推，若小球与圆盘的第五次碰撞发生在管底，则圆管的长度为。 五．图像中的追及相遇问题 6.直线坐标系轴原点处有、两质点，时、同时沿轴正方向做直线运动，其位置坐标与时间的比值随时间变化的关系如图所示，则(    ) A. 质点做匀加速运动的加速度为 B. 、从原点出发后再次到达同一位置时，的速度为 C. 、从原点出发后再次到达同一位置之前，最远相距 D. 、从原点出发后，时再次到达同一位置 【答案】C  【解析】A.对质点，根据数学知识得：，则，与匀变速直线运动的位移公式对比得：，，所以质点做匀加速运动的加速度为，A错误； 时，相等，则相等，所以时，、再次到达同一位置，此时的速度为，BD错误； C.由图知，对于，有，所以做速度为的匀速直线运动。当、速度相等时相距最远，则有，得；由图得，，，所以最远相距，C正确。 六．多过程运动模型 7.某儿童游乐园滑索全长，滑索与水平方向成一定角度，可看成一条直线。小朋友坐上滑索后从起点由静止出发，先做匀加速运动，加速度大小，滑行后，滑索上的制动装置启动，开始做匀减速运动直至速度减为，恰好到达滑索末端。制动过程中，从某时刻开始监测到小朋友连续相等时间内的位移依次为、、，则下列说法正确的是(    ) A. 减速阶段的加速度大小为 B. 开始制动时的速度大小为 C. 连续相等时间 D. 减速阶段的前时间内的位移大小为 【答案】BC  【解析】B、由匀加速直线运动公式，代入得，即开始制动的速度为，选项B正确 A、由，，可得，A错误 C、根据匀变速直线运动的连续相等时间内的位移差公式，，可得，C正确 D、减速阶段前内的位移，D错误。 8.在一次低空跳伞训练中，当直升飞机悬停在离地面高处时，伞兵离开飞机竖直向下做自由落体运动，运动一段时间后，打开降落伞，展伞后伞兵以加速度匀减速下降。若伞兵落地速度刚好为零。求： 伞兵展伞时，离地面的高度为多少？ 伞兵在空中的时间为多少？ 【答案】解：设伞兵展伞时，离地面的高度为，此时速度为，  则有：， 即  又  联立解得：，； 设伞兵在空中的时间为，  则有：    ，     解得：。 答：伞兵展伞时，离地面的高度为； 伞兵在空中的时间为。 9.第届冬奥会将在我国举办。钢架雪车比赛的一段赛道如图所示，长水平直道与长的倾斜直道在点平滑连接，斜道与水平面的夹角为。运动员从点由静止出发，推着雪车匀加速到点时速度大小为，紧接着快速俯卧到车上沿匀加速下滑图所示，到点共用时。若雪车包括运动员可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为，，求雪车包括运动员： 在直道上的加速度大小； 过点的速度大小； 在斜道上运动时受到的阻力大小。 【答案】解：设在段加速度为，位移为，由运动学公式 代入数据解得： 设运动员在段运动时间为，段时间为， 其中 段 代入数据解得： 过点的速度为 代入数据解得： 在段由牛顿第二定律有 代入数据解得： 答：在直道上的加速度大小为； 过点的速度大小为； 在斜道上运动时受到的阻力大小为。  10.如图所示，可视为质点的物块在点受到的恒力作用且以一定初速度在水平面上做直线运动，恒力与水平方向的夹角为，经过物块运动到达点，此时撤去，物块又运动了后到达距离点的点未停下。已知段光滑，段粗糙程度均匀，物块的质量，重力加速度取，，。求： 物块在段的加速度大小； 物块经过点时的速度大小以及在段的加速度大小。 【答案】段，对物块由牛顿第二定律有   得 设物块经过点时的速度大小为  ，则  ， 得 设段的加速度大小为  ，则  解得加速度大小  一．基础巩固练 1.在平直公路上，甲、乙两辆车同时同地向同一方向运动，其速度随时间变化的图像如图所示。下列说法正确的是(    ) A. 时间内乙车的加速度始终比甲车大 B. 时刻甲车追上乙车 C. 时刻后某个时刻，乙车追上甲车 D. 甲车追上乙车前，时刻两车相距最远 【答案】D  【解析】A.时间内乙车图像的斜率先比甲车大后比甲车小，所以乙车的加速度先比甲车大后比甲车小，A错误；  时刻甲车没有追上乙车，此时两车速度相等，距离最大，B错误，D正确； C. 时刻后甲车速度大，故可知时刻后某个时刻，甲车追上乙车，C错误。 故选D。 2.甲、乙、丙、丁四辆车由同一地点向同一方向运动，甲、乙的位移时间图象和丙、丁的速度时间图象如图所示，下列说法中正确的是(    ) A. 时间内，甲车路程小于乙车路程 B. 时间内的某时刻，甲、乙两车速度相等 C. 时刻，丙、丁两车相遇 D. 时刻，丙车加速度比丁车的小 【答案】B  【解析】解： A、位移时间图象，纵坐标的变化量表示位移，可知在时间内，甲、乙两车通过的位移相等，而两车都做单向直线运动，所以两车通过的路程相等，故A错误； B、根据图象的斜率表示速度，知时间内的某时刻，乙图象的切线斜率等于甲图象的斜率，两者速度相等，故B正确； C、根据图象与时间轴围成的面积表示位移，可知，在时间内，丙车的位移小于丁车的位移，而两者是由同一地点向同一方向运动的，所以，时刻，丙、丁两车没有相遇，故C错误； D、根据图象的斜率表示加速度，斜率绝对值越大，加速度越大，则知时刻，丙车加速度比丁车的大，故D错误。 3.、两个物体在同一直线上作匀变速直线运动，它们的速度图像如图所示，下列说法正确的是(    ) A. 前内、两物体运动方向一定相反 B. 时，、两物体相遇 C. 时，、两物体的速度相同 D. 物体的加速度比物体的加速度大 【答案】C  【解析】A.由图可知，两物体的速度均沿正方向，故方向相同，故A错误； B.图线与坐标轴围成的面积表示位移。时，由图象可知，物体图象与坐标轴围成的面积比与坐标轴围成的面积要小，则物体的位移小于物体的位移，但由于两物体出发点的关系未知，所以两物体不一定相遇，故B错误； C.由图象可知时，、两物体的速度相同，故C正确； D.由图象可知，物体图线的斜率大于的斜率，则物体的加速度比物体加速度大，故D错误。 故选C。 4.在一个大雾天气中某单行直道上汽车甲以的速度匀速行驶，汽车乙以的速度匀速行驶，乙车在甲车的前面的时候，甲车司机发现前方的乙车，甲车立刻刹车，不计司机的反应时间，刹车后立即做匀减速前进。若甲乙两车恰好不撞，则甲车刹车的加速度的大小和时间分别为多少？ 【答案】解：甲乙两车恰好不相撞，则相遇时，， 代入数据得，代入数据得， 解得，。 5.一列火车从车站出发做匀加速直线运动，加速度为，此时恰好有一辆自行车可视为质点从火车头旁边驶过，自行车速度，火车长。 火车追上自行车以前落后于自行车的最大距离是多少？ 火车用多少时间可超过自行车？ 【答案】解：设经时间火车和自行车速度相等 在时间内火车的位移为 自行车的位移为 当火车和自行车速度相等时距离最大，最大距离为 解得 设经时间，火车超过自行车，则 解得或舍弃 答：火车追上自行车以前落后于自行车的最大距离是； 火车用时间可超过自行车。  6.如图所示，某司机驾车可视为质点沿着城市道路以的速度直线行驶，行驶路线与斑马线中线交于点，车辆距马路边沿，当汽车距离点时，司机发现一行人欲从路边出发沿斑马线中央通过人行横道，已知汽车刹车的加速度大小为，若该司机的反应时间为，反应后司机立刻采取制动措施，求： 从司机看见行人到最终刹停汽车通过的距离； 行人与司机同时发现对方，行人在反应后立刻沿斑马线中线从静止开始匀加速跑向对面，若行人的反应时间与司机相同，要想先于汽车通过点，行人的加速度至少为多大。 【答案】解：， 司机反应时间，这段时间内汽车匀速行驶的距离， 此后汽车开始以的加速度做匀减速运动，停止时通过路程， 总路程。 汽车刹车时距离斑马线， 根据匀减速过程可以列出， 解得， 以行人为研究对象， 解得。  7.如图所示，木块从光滑的斜面上的点以的加速度由静止开始下滑，与此同时小球在距点的正上方处自由落下，木块以不变的速率途经斜面底端点后继续在粗糙的水平面上运动，在点恰好与自由下落的小球相遇，若斜面段长，水平段长，不计空气阻力，试求： 下落到地面的时间 运动到点时速度的大小和在段加速度的大小 相遇时木块的速度大小。 【答案】解：根据自由落体运动的位移与时间关系得， 木块下落到地面的时间：； 木块在斜面上运动到点速度： 运动到点的时间： 则在段运动的时间为： 由位移公式 得：； 加速度的大小为； 由得：。  二．能力提升练 8.（多选）越野车和自动驾驶车沿同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度从旁边加速驶过，如图所示分别为越野车和自动驾驶车的图线，根据这些信息，可以判断(    ) A. 末两车速度均为 B. 时刻之后，两车会相遇两次 C. 末两车相遇 D. 加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的倍 【答案】AB  【解析】A.由图可知末两车速度相同，令末的速度为，，，，根据自动驾驶车的图线可知，解得，故A正确； B.由于图像与时间轴所围几何图形的面积表示位移，时刻两者并排在一起，可知，时刻两者位移相等，即时刻两者相遇，此时自动驾驶车开始做匀速直线运动，其速度大于越野车的速度，越野车做匀加速直线运动，时两者速度再一次相等，之后，越野车的速度大于自动驾驶车的速度，可知，两者一定还要相遇一次，即时刻之后，两车会相遇两次，故B正确； C.时两者相遇，随后，自动驾驶车在越野车的前方，两者间距逐渐增大，时两者速度再一次相等，此时两者间距达到最大值，故C错误； D.图像的斜率表示加速度，则加速阶段自动驾驶车与越野车的加速度分别为，，可知，加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的倍，故D错误。 故选：。 9.（多选）时，甲、乙两汽车从相距的两地开始相向行驶，它们的图像如图所示。忽略汽车掉头所需时间，下列对汽车运动状况的描述正确的是(    ) A. 乙车的加速度始终不变 B. 在第小时末，甲乙两车相距 C. 在前小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大 D. 在第小时末，甲、乙两车相遇 【答案】BC  【解析】图象的斜率表示加速度，由图可知，末乙车加速度方向发生改变，乙车的图象斜率绝对值总是大于甲车的图象斜率绝对值，故乙车的加速度总比甲车的大，故C正确，A错误； B.由图可知末甲车的速度为，图像与坐标轴围成的面积代表位移，则在第小时末，甲乙两车相距 ，故B正确； D.小内甲车的总位移为  而乙车的总位移为  即乙车的位移为正方向的，两车原来相距，小时末时，甲车离出发点，而乙车离甲车的出发点  故此时甲乙两车不相遇，故D错误。 故选BC。 10. （多选）如图所示，在平直的公路上，甲车以的速度匀速行驶，乙车以的速度匀速行驶。当前方路口处的绿灯开始闪烁时，乙车立即开始减速，甲车一直以原速率匀速运动，黄灯亮起时，甲车恰好通过停止线；红灯亮起时，乙车恰好停在停止线处，再次亮起绿灯时，乙车以的加速度做匀加速直线运动，速度达到时保持该速度做匀速直线运动。已知绿灯闪烁的时间为，黄灯亮的时间也为，红灯亮的时间为，两停止线之间的距离为，不考虑司机的反应时间，不考虑汽车的长度。下列判断正确的是(    ) A. 乙车减速的加速度大小为 B. 乙车开始减速时，甲、乙两车沿着公路相距 C. 乙车追上甲车前，甲、乙两车沿着公路相距最远为 D. 乙车从停止线处开始运动后经的时间追上甲车 【答案】BC  【解析】A.甲车的速度，乙车的速度，乙车减速过程，有， 解得 故A错误； B.设乙车开始减速的位置到停止线的距离为  ，有 解得 根据匀速运动的规律，可知绿灯开始闪烁时，甲车恰好位于停止线处，故乙车开始减速时，甲、乙两车沿着公路相距，故B正确； C.当乙车加速到与甲车速度相同时相距最远，设加速时间为  ，根据 可得 此时甲、乙两车沿着公路相距 故C正确； D.设乙车从静止开始加速到最大速度所用的时间为  ，有，解得 达到最大速度后匀速运动的时间为  ，则 解得 故乙车从停止线处开始运动追上甲车所用的时间为 故D错误。 故选BC。 11.随着人工智能技术的发展，年自动驾驶技术进入了全新的阶段，越来越多的城市开始允许无人驾驶汽车上路行驶。级无人驾驶汽车紧急情况下的反应时间可以缩短到，减速的加速度大小恒为。如图所示，该无人驾驶汽车在平直公路上以的速度匀速行驶。 若无人驾驶汽车探测到正前方处突然出现障碍物，该车作出反应后开始减速，试判断该车是否会撞上障碍物，如果没有撞上，求该车停下时到障碍物的距离； 若一货车突然变道至无人驾驶汽车的正前方并以速度匀速行驶，此时两车相距，无人驾驶汽车探测到货车后作出反应开始减速。判断无人驾驶汽车是否会撞上货车；若撞上，求无人驾驶汽车减速的时间；若没撞上，求两车的最小距离。 【答案】设该无人驾驶汽车探测到障碍物至停止所需的行驶距离为，则 代入数据解得，，可知该车不会撞上障碍物 此时该车停下时到障碍物的距离，代入数据解得。 假设两车相撞； 设货车变道后至两车的速度相等时无人驾驶汽车行驶距离为，货车行驶距离为，则； 易知，； 联立上述公式，代入数据求解，可知当时，无人驾驶汽车撞上货车，假设成立； 无人驾驶汽车减速的时间。  三．拓展创新练 12.东西方向的笔直公路上有一座车站，时刻起，有三辆可视为质点的大巴车每隔向东驶离车站，每辆车均做初速度为零、加速度的匀加速直线运动，直到速度达到，改做匀速直线运动。有一乘客，时刻才从车站西边同侧公路上距车站的位置以向东做匀速直线运动，想要追上大巴车。 求大巴车加速过程中的位移大小； 求相邻大巴车之间的最远距离； 该乘客能否追上第三辆大巴车？若能，求出该时刻；若不能，求出乘客到第三辆大巴车的最近距离。 【答案】由题意，根据匀变速直线运动位移速度公式可得，大巴车加速过程中的位移大小为 由题意，可知当第二辆大巴车的速度与第一辆大巴车的速度相等时，两车之间的距离达到最大。此时第一辆车所运动的时间为，可得相邻两车之间的最大距离为 由题意，可得该乘客到达车站时所用时间为，说明该乘客达到车站时，第三辆大巴车已经驶离车站。 假设该乘客不能追上第三辆大巴车，当  时，二者之间距离最近。 可得第三辆大巴车加速运动的时间为，大巴车运动的距离为， 该乘客运动的时间为，运动的距离为， 则该乘客与第三辆大巴车的最近距离为，显然假设成立。 所以该乘客不能追上第三辆大巴车，且乘客到第三辆大巴车的最近距离为。 13.两同学用安装有蓝牙设备的玩具小车、进行实验，两车均可视为质点，如图所示，时，、两车同时沿两条相距的平行直线轨道从同一起跑线向同一方向运动，车始终以的速度做匀速直线运动；车从静止开始以的加速度做匀加速直线运动，后开始做匀速直线运动，已知两蓝牙小车自动连接的最大距离。 求车在匀速行驶前，两车的最大距离大小结果可保留根号； 整个运动过程中两车能够保持连接的总时间； 若时，车开始以的加速度刹车，求再经多长时间两车可以再次连接。 【答案】两车速度相等时所用的时间  解得   时两车水平距离最远  最远距离为  第一次断开连接时两车距离刚好为，即  ，  ，  解得第一次保持连接时间  两车第二次连接时  ，  ，  解得  第二次断开时  ，  ，  解得   ，  由题意知内，两车一直处于断开状态 时，  ，  车减速过程中  ，   ，  可知，当车停止时，两辆汽车还未连接 此后  ，  解得  2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末寒假作业巩固提高05追及、相遇与多过程运动 期末寒假作业巩固提高05追及、相遇与多过程运动 1 2 2 一．追及与相遇问题 2 二．多过程运动问题 3 4 一．追及与相遇问题中刹车避撞问题 4 二．追及与相遇问题中反应时间问题 4 三．追及与相遇问题中接力赛/体育赛事问题 4 四．竖直上抛与自由落体的相遇问题 5 五．图像中的追及相遇问题 5 六．多过程运动模型 5 6 一．基础巩固练 6 二．能力提升练 9 三．拓展创新练 10 一．追及与相遇问题 1. 问题模型：研究两个（或多个）运动物体在同一直线上运动时，它们之间距离变化（增大、减小、为零）的问题。 追及问题：同向运动，后者追前者。 相遇问题：相向运动，两者相向而行。 2. 核心分析思路：“一个临界条件，两个等量关系” 一个临界条件：速度相等 (vA = vB)。这是判断能否追上、距离是最大还是最小的关键切入点。速度相等时，两物体间距离通常取得极值（最大或最小）。 两个等量关系：时间关系：两物体运动的时间是否相同 (tA = tB)，还是有先后 (tA = tB ±Δt)。 位移关系：画出运动过程示意图，找出两物体位移之间的几何关系。这是列方程的突破口。 追及问题：sA = sB + s₀ （s₀ 为初始距离） 相遇问题：sA + sB = s₀ （s₀ 为初始距离） 3. 三种常用解题方法 物理分析法（过程分析法）： 核心：抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键。 步骤：认真审题 → 挖掘隐含条件（如“刚好”、“恰好”、“至少”等） → 画出运动过程示意图 → 找出时间、位移、速度关系 → 列方程求解。 关键提醒：若被追物体做匀减速运动，一定要先判断它在被追上之前是否已经停止运动。 函数方程法（数学解析法）： 核心：设相遇时间为 t，根据位移关系列出关于 t 的方程（通常是一元二次方程）。 通过分析方程的判别式 Δ 来判断相遇情况： Δ > 0：有两个正实数解 → 相遇两次。 Δ = 0：有一个正实数解 → 恰好追上（或恰好不相撞）。 Δ < 0：无实数解 → 追不上。 对于距离极值问题，可将两车距离 Δx 表示为时间 t 的二次函数，利用配方法或顶点公式求极值。 图像法： v-t 图像：两图线的交点表示速度相等；图线与时间轴围成的面积表示位移。面积差代表两物体的位移差，可用于判断距离变化和相遇时刻。速度相等时，面积差往往取得极值（最大或最小）。 x-t 图像：图线的交点直接表示相遇。优点：直观、简洁，特别适合选择题和定性分析。 4. 解题一般步骤 审题建模：明确研究对象（谁追谁？谁和谁相遇？），分析每个物体的运动性质（匀速、匀加速、匀减速）。 画示意图：画出运动过程草图，标明初始位置、速度、加速度、初始距离等。 找关系：找出时间关系和位移关系（核心）。 列方程：根据运动学公式 (v = v₀ + at, s = v₀t + ½at², v² - v₀² = 2as) 和找出的关系列方程。 求解讨论：解方程，并根据物理意义（如时间不能为负，速度方向，物体是否已停止等）对结果进行合理性判断或讨论。 二．多过程运动问题 1. 问题特点：一个物体的运动由几个连续但性质不同的运动阶段（如：先匀加速，后匀速，再匀减速）连接而成。 2. 核心分析思路：“分段处理，抓住衔接” 分段分析：将复杂的全过程分解为几个简单的子过程。 明确各段：明确每个子过程的运动性质（初速度、末速度、加速度、位移、时间）。 抓住关键：衔接点（转折点）的速度是联系前后两个子过程的桥梁。前一过程的末速度就是后一过程的初速度。 全程与分段结合：有时对全过程列式（如总位移、总时间）会更简便。 3. 解题一般步骤 划分过程：根据加速度变化，将运动划分为几个清晰的阶段。 过程分析：对每个阶段，分析其运动性质，画出草图，标出已知量和待求量。 列式求解：对每个阶段，选用合适的运动学公式列方程。利用衔接点速度作为联系，建立各阶段方程之间的关联。 联立求解：解方程组，得出结果。 一．追及与相遇问题中刹车避撞问题 1.火车沿平直轨道以的速度向前运动，司机发现正前方处有一火车正以的速度沿同一方向行驶，为避免相撞，司机立即刹车，刹车的加速度大小至少是(    ) A. B. C. D. 2.在平直的公路上，一辆小汽车以的速度行驶某时刻小汽车司机发现正前方有一辆货车正以的速度同向行驶，小汽车司机立即采取制动措施刹车，制动时加速度大小． 若两车不相撞，求小汽车制动时两车间可能的距离 若小汽车制动时两车间的距离，小汽车在刹车的同时给货车发信号，货车司机收到信号经立即加速行驶，为了避免与小汽车相撞，求货车的加速度大小的最小值． 二．追及与相遇问题中反应时间问题 3.某罪犯驾驶小轿车以的速度在一条平直公路上匀速行驶，当其从公路边值勤的特警身边驶过时，被特警发现准备启动警车追赶。若特警的反应时间，警车启动延迟时间，启动后警车以的加速度做匀加速直线运动。试求： 罪犯从特警身边驶过到特警追上罪犯所需的时间； 警车在追赶犯罪的过程中，两车间的最大距离； 若警车的最大速度，则启动后警车追上罪犯小轿车所需的时间。 三．追及与相遇问题中接力赛与体育赛事问题 4.在校运动会准备期间，甲、乙两名同学在训练接力赛交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持的速度并跑完全程；乙起跑后，立即做匀加速直线运动，加速度大小为当速度达到后，保持此速度做匀速运动。如图所示，为了确定乙起跑的最佳时刻，甲需在到达接力区前适当的位置设置标记线，甲到达标记线时，向乙发出起跑信号。已知：接力区的长度；甲、乙运动到同一位置时才能完成交接棒，且完成交接后甲立即停止运动；甲到达标记处速度已经达到。 乙从起跑处跑到接力区末端所需的时间为多少？ 某次练习中，甲未能追上乙完成交接棒，此次标记位置与乙起跑处的最小距离为多少？ 某次练习中，甲匀速跑到某位置时预测不能追上乙，立即改以的加速度做匀加速直线运动，加速后，恰好在接力区末端追上乙完成交接棒，此次标记位置与乙起跑处的距离为多少？ 四．竖直上抛与自由落体的相遇问题 5.如图所示，一竖直固定的长直圆管内有一静止的薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为。一小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，碰撞后小球做竖直上抛运动，圆盘竖直向下做匀减速直线运动，在圆盘的速度减为零的瞬间，小球第二次与圆盘发生碰撞。小球与圆盘发生碰撞的时间极短可忽略，每次碰撞后瞬间圆盘和小球的速率均为碰撞前瞬间小球速率的一半，不计空气阻力，重力加速度大小为，小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，且圆盘在圆管内做匀减速直线运动的加速度大小保持不变。 求第一次碰撞后小球的速度球和圆盘的速度盘； 求圆盘在圆管内做匀减速直线运动的加速度大小； 若小球与圆盘的第五次碰撞发生在管底，求圆管的长度。 五．图像中的追及相遇问题 6.直线坐标系轴原点处有、两质点，时、同时沿轴正方向做直线运动，其位置坐标与时间的比值随时间变化的关系如图所示，则(    ) A. 质点做匀加速运动的加速度为 B. 、从原点出发后再次到达同一位置时，的速度为 C. 、从原点出发后再次到达同一位置之前，最远相距 D. 、从原点出发后，时再次到达同一位置 六．多过程运动模型 7.某儿童游乐园滑索全长，滑索与水平方向成一定角度，可看成一条直线。小朋友坐上滑索后从起点由静止出发，先做匀加速运动，加速度大小，滑行后，滑索上的制动装置启动，开始做匀减速运动直至速度减为，恰好到达滑索末端。制动过程中，从某时刻开始监测到小朋友连续相等时间内的位移依次为、、，则下列说法正确的是(    ) A. 减速阶段的加速度大小为 B. 开始制动时的速度大小为 C. 连续相等时间 D. 减速阶段的前时间内的位移大小为 8.在一次低空跳伞训练中，当直升飞机悬停在离地面高处时，伞兵离开飞机竖直向下做自由落体运动，运动一段时间后，打开降落伞，展伞后伞兵以加速度匀减速下降。若伞兵落地速度刚好为零。求： 伞兵展伞时，离地面的高度为多少？ 伞兵在空中的时间为多少？ 9.第届冬奥会将在我国举办。钢架雪车比赛的一段赛道如图所示，长水平直道与长的倾斜直道在点平滑连接，斜道与水平面的夹角为。运动员从点由静止出发，推着雪车匀加速到点时速度大小为，紧接着快速俯卧到车上沿匀加速下滑图所示，到点共用时。若雪车包括运动员可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为，，求雪车包括运动员： 在直道上的加速度大小； 过点的速度大小； 在斜道上运动时受到的阻力大小。 10.如图所示，可视为质点的物块在点受到的恒力作用且以一定初速度在水平面上做直线运动，恒力与水平方向的夹角为，经过物块运动到达点，此时撤去，物块又运动了后到达距离点的点未停下。已知段光滑，段粗糙程度均匀，物块的质量，重力加速度取，，。求： 物块在段的加速度大小； 物块经过点时的速度大小以及在段的加速度大小。 一．基础巩固练 1.在平直公路上，甲、乙两辆车同时同地向同一方向运动，其速度随时间变化的图像如图所示。下列说法正确的是(    ) A. 时间内乙车的加速度始终比甲车大 B. 时刻甲车追上乙车 C. 时刻后某个时刻，乙车追上甲车 D. 甲车追上乙车前，时刻两车相距最远 2.甲、乙、丙、丁四辆车由同一地点向同一方向运动，甲、乙的位移时间图象和丙、丁的速度时间图象如图所示，下列说法中正确的是(    ) A. 时间内，甲车路程小于乙车路程 B. 时间内的某时刻，甲、乙两车速度相等 C. 时刻，丙、丁两车相遇 D. 时刻，丙车加速度比丁车的小 3.、两个物体在同一直线上作匀变速直线运动，它们的速度图像如图所示，下列说法正确的是(    ) A. 前内、两物体运动方向一定相反 B. 时，、两物体相遇 C. 时，、两物体的速度相同 D. 物体的加速度比物体的加速度大 4.在一个大雾天气中某单行直道上汽车甲以的速度匀速行驶，汽车乙以的速度匀速行驶，乙车在甲车的前面的时候，甲车司机发现前方的乙车，甲车立刻刹车，不计司机的反应时间，刹车后立即做匀减速前进。若甲乙两车恰好不撞，则甲车刹车的加速度的大小和时间分别为多少？ 【答案】解：甲乙两车恰好不相撞，则相遇时，， 代入数据得，代入数据得， 解得，。 5.一列火车从车站出发做匀加速直线运动，加速度为，此时恰好有一辆自行车可视为质点从火车头旁边驶过，自行车速度，火车长。 火车追上自行车以前落后于自行车的最大距离是多少？ 火车用多少时间可超过自行车？ 6.如图所示，某司机驾车可视为质点沿着城市道路以的速度直线行驶，行驶路线与斑马线中线交于点，车辆距马路边沿，当汽车距离点时，司机发现一行人欲从路边出发沿斑马线中央通过人行横道，已知汽车刹车的加速度大小为，若该司机的反应时间为，反应后司机立刻采取制动措施，求： 从司机看见行人到最终刹停汽车通过的距离； 行人与司机同时发现对方，行人在反应后立刻沿斑马线中线从静止开始匀加速跑向对面，若行人的反应时间与司机相同，要想先于汽车通过点，行人的加速度至少为多大。 7.如图所示，木块从光滑的斜面上的点以的加速度由静止开始下滑，与此同时小球在距点的正上方处自由落下，木块以不变的速率途经斜面底端点后继续在粗糙的水平面上运动，在点恰好与自由下落的小球相遇，若斜面段长，水平段长，不计空气阻力，试求： 下落到地面的时间 运动到点时速度的大小和在段加速度的大小 相遇时木块的速度大小。 二．能力提升练 8.（多选）越野车和自动驾驶车沿同一公路上向东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度从旁边加速驶过，如图所示分别为越野车和自动驾驶车的图线，根据这些信息，可以判断(    ) A. 末两车速度均为 B. 时刻之后，两车会相遇两次 C. 末两车相遇 D. 加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的倍 9.（多选）时，甲、乙两汽车从相距的两地开始相向行驶，它们的图像如图所示。忽略汽车掉头所需时间，下列对汽车运动状况的描述正确的是(    ) A. 乙车的加速度始终不变 B. 在第小时末，甲乙两车相距 C. 在前小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大 D. 在第小时末，甲、乙两车相遇 10. （多选）如图所示，在平直的公路上，甲车以的速度匀速行驶，乙车以的速度匀速行驶。当前方路口处的绿灯开始闪烁时，乙车立即开始减速，甲车一直以原速率匀速运动，黄灯亮起时，甲车恰好通过停止线；红灯亮起时，乙车恰好停在停止线处，再次亮起绿灯时，乙车以的加速度做匀加速直线运动，速度达到时保持该速度做匀速直线运动。已知绿灯闪烁的时间为，黄灯亮的时间也为，红灯亮的时间为，两停止线之间的距离为，不考虑司机的反应时间，不考虑汽车的长度。下列判断正确的是(    ) A. 乙车减速的加速度大小为 B. 乙车开始减速时，甲、乙两车沿着公路相距 C. 乙车追上甲车前，甲、乙两车沿着公路相距最远为 D. 乙车从停止线处开始运动后经的时间追上甲车 11.随着人工智能技术的发展，年自动驾驶技术进入了全新的阶段，越来越多的城市开始允许无人驾驶汽车上路行驶。级无人驾驶汽车紧急情况下的反应时间可以缩短到，减速的加速度大小恒为。如图所示，该无人驾驶汽车在平直公路上以的速度匀速行驶。 若无人驾驶汽车探测到正前方处突然出现障碍物，该车作出反应后开始减速，试判断该车是否会撞上障碍物，如果没有撞上，求该车停下时到障碍物的距离； 若一货车突然变道至无人驾驶汽车的正前方并以速度匀速行驶，此时两车相距，无人驾驶汽车探测到货车后作出反应开始减速。判断无人驾驶汽车是否会撞上货车；若撞上，求无人驾驶汽车减速的时间；若没撞上，求两车的最小距离。 三．拓展创新练 12.东西方向的笔直公路上有一座车站，时刻起，有三辆可视为质点的大巴车每隔向东驶离车站，每辆车均做初速度为零、加速度的匀加速直线运动，直到速度达到，改做匀速直线运动。有一乘客，时刻才从车站西边同侧公路上距车站的位置以向东做匀速直线运动，想要追上大巴车。 求大巴车加速过程中的位移大小； 求相邻大巴车之间的最远距离； 该乘客能否追上第三辆大巴车？若能，求出该时刻；若不能，求出乘客到第三辆大巴车的最近距离。 13.两同学用安装有蓝牙设备的玩具小车、进行实验，两车均可视为质点，如图所示，时，、两车同时沿两条相距的平行直线轨道从同一起跑线向同一方向运动，车始终以的速度做匀速直线运动；车从静止开始以的加速度做匀加速直线运动，后开始做匀速直线运动，已知两蓝牙小车自动连接的最大距离。 求车在匀速行驶前，两车的最大距离大小结果可保留根号； 整个运动过程中两车能够保持连接的总时间； 若时，车开始以的加速度刹车，求再经多长时间两车可以再次连接。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $