精品解析：福建省厦门第一中学2025-2026学年高三上学期数学限时训练10

厦门一中2026届高三上——强化练习98 限时训练10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 数据3，7，8，9，12的第60百分位数是（ ） A. B. C. D. 3. 设､为两条直线，、为两个平面，则下列命题中假命题是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 已知向量，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且 ，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 的内角所对的边分别是，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 正四面体的体积为，为其中心，正四面体与正四面体关于点对称，则这两个正四面体公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，为复数，，下列命题正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. ，则 10. 下列各对事件中，互为相互独立事件的有（ ） A. 掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”，“出现3点或6点” B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，事件“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C. 一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件“一个家庭中既有男孩又有女孩”，“一个家庭中最多有一个女孩” D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，“从乙组中选出1名女生” 11. 已知点P在圆：上，直线与圆的一个交点为A，与x轴交于B，圆O在A处的切线交x轴于C，则（ ） A. 点C的横坐标为4 B. 的一个可能值 C. ，外接圆的圆心距最小值为2 D. 若A在y轴上的射影为H，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____. 13. 如图，在中，D是的中点，E在边上，且，若，则的值为___________. 14. 已知，则的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面四边形ABCD中，，，． （1）求； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 16. 如图，在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，，，，M，N分别是AB，AD的中点． （1）证明：平面PMN⊥平面PAD； （2）若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积． 17. 某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表： 质量指标值M 等级 三等品 二等品 一等品 现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率； （2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润； （3）根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值（精确到0.01） 18. 已知为椭圆与抛物线的交点，设椭圆的左右焦点为，抛物线的焦点为，直线将的面积分为9：7两部分. （1）求椭圆及抛物线的方程； （2）若直线：与椭圆相交于两点，且的重心恰好在圆上，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，求证：； （2）若数列满足，前项和为，求证：； （3）若等差数列的公差，前项和为，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门一中2026届高三上——强化练习98 限时训练10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合，进而利用交集运算求解. 【详解】由，解得，所以， 又，所以. 故选：B 2. 数据3，7，8，9，12的第60百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可求得结果. 【详解】所给数据已按从小到大的顺序排列，因为， 故取第个数与第个数的平均数，即. 故选：C. 3. 设､为两条直线，、为两个平面，则下列命题中假命题是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间平面间的位置关系，面面垂直、平行的判定定理判断． 【详解】对于A，，，过空间一点作交平面于点，作交平面于点， 则，， 设确定的平面与的交线交于点，如图： 则，，所以，， 又，所以，可得四边形为矩形， 所以，， 所以，又，所以，故A正确； 对于B，若，，， 过作平面交平面于点直线，如图： 由得，又，所以， 又，所以，又，所以，故B正确； 对于C，若，，，则可能平行也可能相交，故C错误； 对于D，若，，则，又，则，故D正确. 故选：C. 4. 已知向量，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量公式求出向量与的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值. 【详解】， ,，其中， 故， ， 故当时，即时，取最大值为. 故选：C. 5. 已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意求出数列的首项和公差，再求出，可得出是单调递增数列，即可判断. 【详解】设等差数列的公差为，，， ，解得，， ， ，可得是单调递增数列， 所以在，，，中，最大的为． 故选：D. 6. 已知函数，且 ，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先判断的奇偶性和单调性，由此化简不等式，求得的取值范围. 【详解】由解得，而，所以为奇函数，且为增函数，所以由，得，则，解得.由于，即.所以.即的取值范围是. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题. 7. 的内角所对的边分别是，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将整理变形为，再结合余弦定理及已知的，确定，最后结合三角形的内角和即可得解. 【详解】因为，所以有， 即，所以， 所以， 所以或（此时，故舍去）， 所以， 故选：C. 8. 正四面体的体积为，为其中心，正四面体与正四面体关于点对称，则这两个正四面体公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的图形，判断两个正四面体各个部分为多面体GEFHIJ，然后转化为求解几何体的体积即可. 【详解】如图， 点，，，，，分别是边，，，，，的中点， 这两个正四面体公共部分为多面体． 三棱锥是正四面体，其棱长为正四面体棱长的一半， 则 这两个正四面体公共部分的体积为. 故选：C. 【点睛】立体几何求体积的方法： ①直接法；②分割法；③补形法；④等体积法. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，为复数，，下列命题正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，，，利用复数的模的运算法则计算可判断A；利用复数的乘法法则运算可判断B；由题意可得判断C；利用赋值法可判断D. 【详解】对于A，，， 所以， 所以 ， 又，，所以， 所以，故A正确； 对于B，设，，， 所以 又， 所以 ， 所以，故B正确； 对于C，由，可得， 又因为，所以，所以，故C正确； 对于D，取， 则，， 满足，但，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列各对事件中，互为相互独立事件的有（ ） A. 掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”，“出现3点或6点” B. 袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两次球，事件“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C. 一个家庭中有两个小孩，其中生男孩和生女孩是等可能的，事件“一个家庭中既有男孩又有女孩”，“一个家庭中最多有一个女孩” D. 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，“从乙组中选出1名女生” 【答案】AD 【解析】 【分析】根据相互独立的定义逐项判断. 【详解】对于A：事件MN=“出现6点”，因为， 所以，相互独立，A正确； 对于B：，，不相互独立，B错误； 对于C：，，不相互独立，C错误； 对于D：，所以，相互独立，D正确； 故选：AD. 11. 已知点P在圆：上，直线与圆的一个交点为A，与x轴交于B，圆O在A处的切线交x轴于C，则（ ） A. 点C的横坐标为4 B. 的一个可能值 C. ，外接圆的圆心距最小值为2 D. 若A在y轴上的射影为H，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，求出圆O在A处的切线方程即可求解；对于，设点，，由，设，结合基本不等式求解即可；对于，分别求出线段的中垂线方程和线段的中垂线方程，可得，外接圆的圆心距，设，结合基本不等式求解即可；对于，因为∽，可得，根据即可求解. 【详解】对于，因为，由对称行可取， 则圆O在A处的切线为，当时，，故正确； 对于，设点，则， ， 因为，设， 则， 当且仅当时等号成立，所以，则， 所以不可能取到，故错误； 对于，设点，，则， 线段的中垂线方程为， ，的中点为， 则线段的中垂线方程为， 当时，的外接圆圆心为， 当时，的外接圆圆心为， 所以，外接圆的圆心距为， 设，则， 当且仅当时，等号成立，所以正确； 对于，因为∽，即， 所以， 所以， 当点位于线段与圆交点处，三点共线时取最小值，故正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：求三角形外接圆圆心的方法：一是几何法，三角形两边垂直平分线的交点即为圆的圆心；二是待定系数法，通过设圆的一般方程和标准方程，代入点的坐标. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简求值. 【详解】. 故答案为：. 13. 如图，在中，D是的中点，E在边上，且，若，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 将作为平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用表示出，再由即可得出结论. 【详解】因为在中，D是的中点，E在边上，且， 所以 , 又，所以，即， 所以. 故答案为： 14. 已知，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据“1”的代换，结合双曲线的渐近线斜率以及二次函数的性质即可求解，或者利用三角换元，以及二次函数的性质求解. 【详解】方法一：， 由为等轴双曲线，其渐近线的斜率为， 令，则，故原式. 法二：令，，则， . 由于，， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面四边形ABCD中，，，． （1）求； （2）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)在和中，利用正弦定理和已知条件，建立等量关系：，从而得到，求出结果； (2)利用条件得到为等边三角形，进而求出，再利用三角形面积公式即可求出结果. 【小问1详解】 如图，在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得． 因为，所以，所以． 而，，故， 又，所以得到． 因为，故，故． 【小问2详解】 因为，且， 故，为等边三角形． 所以， 因为，，所以， 故梯形ABCD的面积． 16. 如图，在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，，，，M，N分别是AB，AD的中点． （1）证明：平面PMN⊥平面PAD； （2）若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接DM，利用平行四边形、等边三角形的性质易得且、，再由线面垂直的性质及判定可得平面PAD，最后根据面面垂直的判定证明结论. （2）法一：连接BD，易证，，PD⊥AD，构建空间直角坐标系，设，并求面PAB、面ABCD的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件求参数m，再应用棱锥的体积公式求体积；法二：连接DM，在AM上取中点H，连接DH，PH，根据已知条件找到二面角的平面角，进而求，最后由棱锥的体积公式求体积； 【小问1详解】 连接DM，显然且， ∴四边形BCDM为平行四边形，故且， ∴△是正三角形，故， 又平面ABCD，平面ABCD，则，又， ∴平面PAD，又平面PMN， ∴平面平面PAD． 【小问2详解】 （方法一）连接BD，易知， ∴，，又PD⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，则PD⊥AD， 故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设，，， 平面PAB的法向量为，则，令，得， 而平面ABCD的法向量为， 所以，解得， 所以． （方法二）连接DM，由M为AB的中点，所以且， 所以BCDM为平行四边形，故， 所以△为等边三角形，在AM上取中点H，连接DH，PH， 所以，则，又平面ABCD，AM平面ABCD， 所以，易知：为的二面角， 所以，又在中，， 所以. 17. 某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表： 质量指标值M 等级 三等品 二等品 一等品 现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率； （2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润； （3）根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值（精确到0.01） 【答案】（1）0.84；（2）61200元；（3）. 【解析】 【分析】（1）记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，且由频率分布直方图估计,用公式估计出事件A的概率； （2）由（1）可以求出任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值，任取一件产品是三等品的概率估计值，这样可以求出10000件产品估计有一等品、二等品、三等品的数量，最后估计出利润； （3）求出质量指标值的频率和质量指标值的频率，这样可以求出质量指标值M的中位数估计值. 【详解】解：（1）记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，且由频率分布直方图估计， ， 又， 故事件A的概率估计为0.84.. （2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19，065， 故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16， 从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件， 故利润估计为元 （3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中， 质量指标值的频率为， 质量指标值的频率为， 故质量指标值M的中位数估计值为. 【点睛】本题考查了频率直方图的应用，考查了互斥事件的概率、和事件概率的求法，考查了应用数学知识解决实际问题的能力. 18. 已知为椭圆与抛物线的交点，设椭圆的左右焦点为，抛物线的焦点为，直线将的面积分为9：7两部分. （1）求椭圆及抛物线的方程； （2）若直线：与椭圆相交于两点，且的重心恰好在圆上，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）或. 【解析】 【分析】（1）将点带入椭圆与抛物线方程，再由直线将的面积分为9：7两部分求出，由即可求解. （2）设，，将直线与椭圆方程联立消，可得，再由重心坐标公式代入圆可得，整理可得，代入，设，利用基本不等式即可求解. 【详解】解：（1）为椭圆与抛物线的交点，； ； 又直线将的面积分为9：7两部分； ，解之可得： 抛物线的方程为：；椭圆的方程为： （2）设，，由得 由，得…（※），且 由重心恰好在圆上，得 即，即 ∴ 化简得，代入（※）得， 又设，， 当且仅当时，取等号 ∴，则实数的取值范围为或 19. 已知函数. （1）若，求证：； （2）若数列满足，前项和为，求证：； （3）若等差数列的公差，前项和为，，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）代入函数化简后，用三角公式得，结合推得范围. （2）将裂项并求和，利用余弦范围放缩后，通过半角公式转化为正切形式的不等式. （3）拆分求和式为等差数列和加余弦和，用数列性质分组余弦和后，构造单调函数求得. 【小问1详解】 ， 故， ， ， ，，， 即，， . 【小问2详解】 ， ， ，， ，， . 【小问3详解】 为等差数列， ， 同理可得，，，， ， 令， ， ，， ，在上单调递增，则方程有且仅有一个解， ∵， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $