期末复习： 旋转 过关检测试卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册

期末复习：《旋转》过关检测试卷 一、单选题 1．（25-26九年级上·全国·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项是轴对称图形而不是中心对称图形,故本选项不符合题意； B选项是轴对称图形而不是中心对称图形,故本选项不符合题意； C选项是轴对称图形而不是中心对称图形,故本选项不符合题意； D选项既是轴对称图形也是中心对称图形,故本选项符合题意； 故选D． 3．（25-26九年级上·全国·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·期末）给出下列四个结论，其中正确的结论为（    ） A．菱形的四个顶点在同一个圆上 B．正多边形都是轴对称图形 C．正多边形都是中心对称图形 D．各角相等的圆内接多边形是正多边形 【答案】B 【分析】本题考查几何图形的性质，包括菱形的四点共圆、正多边形的对称性以及圆内接多边形的判定；需根据初中数学知识逐一判断各选项. 【详解】解：∵菱形的对角不一定互补（如一般菱形），∴四个顶点不一定在同一个圆上，A错误； ∵正多边形有n条对称轴，∴都是轴对称图形，B正确； ∵正多边形当边数为奇数时（如正三角形）不是中心对称图形，∴C错误； ∵各角相等的圆内接多边形不一定各边相等（如矩形），∴不一定是正多边形，D错误； 故选：B. 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转，三角形的内角和，等腰三角形的定义，直角三角形的两个锐角互余，掌握知识点是解题的关键． 先求出，得到， 则，即可解答． 【详解】解：∵绕点A旋转得到， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵是直角三角形，， ∴． 故选D． 6．（25-26九年级上·全国·期末）将绕点A逆时针旋转得到，若，则的长度为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图：将绕点A逆时针旋转得到， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．若 ，则旋转角的度数为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理．根据旋转得，，根据等边对等角，得出等腰三角形，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解： 绕点 按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， 故选：B． 8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到的（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由外角的性质可求解． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到的， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则． 【详解】解：由旋转得， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 故选：A． 10．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在边长为5的正方形中，将绕点A顺时针旋转得到，点E在的延长线上，点F在线段上，作平分交延长线于点M．若，则的长度为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定及性质，运用勾股定理构造方程是解题的关键． 连接，根据正方形的性质及旋转的性质证明，得到，．再证明，得到．设，则，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为5的正方形， ∴，， ∴， 由旋转可得， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， 即， 解得， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点绕点O顺时针旋转，得到的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，将线段的旋转转化为直角三角形的旋转是解题的关键． 根据A点坐标得到，绕原点O顺时针旋转得到可看作是绕原点O顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到， ，再写出点的坐标． 【详解】解：如图：轴于B，轴于C，则， ∵绕原点O顺时针旋转得到可看作是绕原点O顺时针旋转得到， ∴，， ∴点的坐标为． 12．（25-26九年级上·全国·期末）已知点和点关于坐标原点对称，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查原点对称，代数式求值．根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数，列出方程求解m和n，再计算代数式的值． 【详解】解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴，， 解得， ∴． 故答案为：25． 13．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，将正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，若，则的长度为 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理；连接、，由旋转的性质可得等边三角形，可得，再利用勾股定理求出即可. 【详解】解：连接、，如图所示： ∵正方形绕点A逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∴. 故答案为：. 14．（25-26九年级上·天津·月考）如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是 ，旋转角为 度． 【答案】 90 【分析】本题主要考查了旋转中心和旋转角的确定， 先确定对应点，再作对应点连线的垂直平分线，交点即为答案，然后确定旋转角即可. 【详解】解：将绕某点旋转得到， ∴点A的对应点是点D，点B的对应点是点E. 如图，连接，作的垂直平分线，交于点，将绕点P顺时针旋转得到. 可知旋转中心是，旋转角为. 故答案为：，90. 15．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．过点作于点，先根据中心对称图形的性质可得，，，利用勾股定理可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵与关于点成中心对称，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点到的距离是， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心． 【详解】解：∵经过旋转后得到， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． ∵， ∴其旋转中心的坐标为， 故答案为：． 17．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意证明，即可求解． 【详解】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 18．（2024·广东汕头·一模）已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使边与边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旅转；再绕点C顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，坐标与图形变化—旋转，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，先将正方形旋转六次的图形画出，确定六次旋转之后点的位置，然后通过添加辅助线构造出直角三角形，进而利用含角的直角三角形的性质求、，再根据勾股定理求得，再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得，即可得解． 【详解】解：经历六次旋转后点落在点处，过作于点，设点为正六边形的中心，连接，如图： ∵在中，，， ∴， ∴，， ∵点是正六边形的中心， ∴， ∴， ∴点的坐标是：． 故答案为： 三、解答题 19．（25-26九年级上·全国·期末）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点B的对应点的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出旋转后的图形，并求出旋转过程中线段扫过的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； 【分析】本题考查了画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形，求关于原点对称的点的坐标，面积问题(旋转综合题)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据中心对称的性质作出图形即可； （2）根据旋转的性质作出图形，然后根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，即为所求， ∵， ∴点关于原点成中心对称的点的坐标为； （2）解：如图2，即为所求； ∵，， ∴线段扫过的面积． 20．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，中，，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，且点的对应点落在上． (1)求的度数； (2)求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质得出，由，即可证得是等边三角形，即可求得； （2）过点作 轴于点．证，然后根据所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出，，可得结论． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知， ， 是等边三角形， ． （2）（2）如图，过点作 轴于点． ，． 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，． ．． ． ． ． ． 21．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，点B为边上一点（不与点A，E重合），连接，将绕点C旋转到的位置． (1)若，请用表示的度数； (2)连接，过点C作，求长的最小值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明是等腰直角三角形，得到，则，推导出，即可解答； （2）先证明，，得到是等腰直角三角形，则，继而推导出，得到，当时，的值最小，此时的值最小，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 将绕点C旋转到的位置， （2）将绕点C旋转到的位置， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， 当时，BC的值最小，此时CH的值最小， ， ， ， 故长度的最小值为 22．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则___________； (2)若，求的长． 【答案】(1)90 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）先根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴在中，． 23．（25-26九年级上·江西·期中）如图①，在与中，，． (1)与的数量关系是：________． (2)把图①中的绕点旋转一定的角度，得到如图②所示的图形． ①求证：． ②若延长交于点，则与的数量关系是什么？并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、旋转性质，注意三角形证全等的几种方法要熟练掌握． （1）根据线段的和差定义即可解决问题； （2）①只要证明，即可解决问题； ②利用全等三角形的性质及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，即， 故答案为：； （2）①证明：由旋转的性质，得， ∴，即 . ∵，， ∴， ∴； ②解：.理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，将矩形绕点A顺时针旋转（），得到矩形． (1)如图①，若，当点F落在的延长线上时，求的长； (2)如图②，当点E在上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定、旋转的性质、勾股定理及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键， （1）先求出，，根据勾股定理得出，进而求出结论； （2）连接，先证明，再证明，进而证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）解：将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ，，， ， ； （2）证明：连接，如图， 四边形是矩形， ， 根据旋转可得， ， 将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 25．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，填空：① ° ； ②线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）45； （2），理由见解析 （3）2.5 【分析】（1）根据正方形的性质得，再根据旋转得，可知点G，B，E共线，即可说明，然后根据“边角边”证明，可得答案； （2）在上截取，连接，根据“边角边”可得， 接下来说明，即可得出答案； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，先根据正方形的性质及勾股定理求出，进而求出，再根据旋转的性质得，即可说明，得，然后设，则，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴． 将绕点A旋转，点D与点B重合，得到， 则， ∴点G，B，E共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45；； （2），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 由旋转，得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习：《旋转》过关检测试卷 一、单选题 1．（25-26九年级上·全国·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰梯形 2．（25-26九年级上·全国·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B．C． D． 4．（25-26九年级上·全国·期末）给出下列四个结论，其中正确的结论为（    ） A．菱形的四个顶点在同一个圆上 B．正多边形都是轴对称图形 C．正多边形都是中心对称图形 D．各角相等的圆内接多边形是正多边形 5．（25-26九年级上·全国·期末）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，，若，则的度数为（） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·全国·期末）将绕点A逆时针旋转得到，若，则的长度为（    ） A．3 B． C． D．6 7．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．若 ，则旋转角的度数为 （     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到的（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 10．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在边长为5的正方形中，将绕点A顺时针旋转得到，点E在的延长线上，点F在线段上，作平分交延长线于点M．若，则的长度为（） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，将点绕点O顺时针旋转，得到的对应点的坐标为 ． 12．（25-26九年级上·全国·期末）已知点和点关于坐标原点对称，则的值为 ． 13．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，将正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，若，则的长度为 14．（25-26九年级上·天津·月考）如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是 ，旋转角为 度． 15．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则点到的距离是 ． 16．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ． 17．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是 ． 18．（2024·广东汕头·一模）已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使边与边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旅转；再绕点C顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是 ． 三、解答题 19．（25-26九年级上·全国·期末）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于原点成中心对称的图形，并写出点B的对应点的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出旋转后的图形，并求出旋转过程中线段扫过的面积． 20．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，中，，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，且点的对应点落在上． (1)求的度数； (2)求点的坐标． 21．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，点B为边上一点（不与点A，E重合），连接，将绕点C旋转到的位置． (1)若，请用表示的度数； (2)连接，过点C作，求长的最小值． 22．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则___________； (2)若，求的长． 23．（25-26九年级上·江西·期中）如图①，在与中，，． (1)与的数量关系是：________． (2)把图①中的绕点旋转一定的角度，得到如图②所示的图形． ①求证：． ②若延长交于点，则与的数量关系是什么？并说明理由． 24．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，将矩形绕点A顺时针旋转（），得到矩形． (1)如图①，若，当点F落在的延长线上时，求的长； (2)如图②，当点E在上时，连接，求证：四边形是平行四边形； 25．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，填空：① ° ； ②线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $