1.3 一元二次方程的根与系数的关系课后练习2025-2026学年苏科版九年级数学上册

1.3 一元二次方程的根与系数的关系课后练习 练考点，强知识 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 1. 设—元二次方程的两个实根为和，则下列结论正确的是（   ）. A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（  ） A. B. C. D. 3. 已知、是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D.以上都不对 4. 以4，-1为两根的一元二次方程的一般式是___________． 5. 设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为____． 6. 已知，为一元二次方程的两个实数根，那么______． 7. 若，是方程的两个实数根，则的值为________. 8. 已知实数，是方程的两根，则的值为______． 9. 已知实数，满足，，则________． 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 10. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（　　） A. B.4 C. D.5 11. 若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第__________象限． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围： (2)若，是该方程的两个根，且满足，求m的值． 易错点 忽略运用根与系数的关系，必须满足方程有实数根这一前提 13. 若关于的一元二次方程的两个实数根的差等于2，则实数的值是________． 综合测，强提升 14.判断关于的方程（是常数，）的根的情况（       ） A.存在一个，使得方程只有一个实数根 B.无实数根 C.一定有两个不相等的实数根 D.一定有两个相等的实数根 15. 若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（       ） A. B. C. D. 16. 若m，n为方程的两根，则的值（   ） A.1 B. C. D.4049 17. 若关于的方程有两个实根，则的最大值是（　　） A.3 B.4 C.4.5 D.5 18. 一元二次方程的两个根为，则_________． 19. 对于一切不小于的自然数，关于的一元二次方程的两个根为，（），则____． 20. 若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是（　　） A.﹣20 B.2 C.2或﹣20 D. 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，该方程均有两个不相等的实数解； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的取值范围． 22. 阅读下列材料：方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 参考答案 答案 1.D 2.C 3.B 10.A 14.A 15.B 16.B 17.B 20.C 4. （答案不唯一） 5.2020． 6. 7.2 8.-1 9.1． 11.三 12.(1) (2) 13. 或 18.3 19. 21.（1）见解析；（2） 22. 22.1.4，18 22.2. 1. 解析 【详解】 试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系，可得，. 故选D 点睛：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是明确一元二次方程根与系数的关系，，然后确定一元二次方程的系数a、b、c的值代入求解即可. 2. 解析 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据两根之积求解即可． 【详解】 解：设方程另外一个根为t，根据一元二次方程根与系数的关系得，解得．故选：C． 3. 解析 【分析】 根据根与系数的关系得出m＋n＝−5，mn＝3，得出m n都是负数，把根号内的分母开出来后合并即可． 【详解】 ∵m、n是方程x2＋5x＋3＝0的两根， ∴m＋n＝−5，mn＝3， 即m n都是负数， ∴＝=-- =-2 =-2． 故选B． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系和二次根式的性质和运算，主要考查学生的化简能力和计算能力，题目比较好，但是比较容易出错． 4. 解析 【分析】 根据根与系数关系：两根之和= ，两根之积=，根据条件写出两根之和，两根之积，即可求出方程一般式． 【详解】 解：设 是方程 的两根， 则 ， ， 令a=1，则可得： ， 以4，-1为两根的一元二次方程的一般式是： ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数关系，设 是方程 的两根，则，，牢固掌握两根之和，两根之积的公式是关键． 5. 解析 【分析】 根据韦达定理可以求出α+β＝1，αβ＝﹣2019，将α2+αβ+β2可化为（α+β）2﹣αβ，代入求值即可解答． 【详解】 ∵α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根 由韦达定理可得： α+β＝1，αβ＝﹣2019， 而α2+αβ+β2＝（α+β）2﹣αβ ＝1+2019 ＝2020 故答案为2020． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理进行计算与转化是解决问题的关键． 6. 解析 【分析】 由根与系数的关系可得利用完全平方公式将变形为,代入数据即可得出结论． 【详解】 解：∵，为一元二次方程的两个实数根， 故答案为： . 【点睛】 本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键． 7. 解析 【分析】 由根与系数关系得到，，把展开后整体代入即可得到答案. 【详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴. 故答案为：2 【点睛】 此题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根与系数关系和整体代入是解题的关键. 8. 解析 【分析】 利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值. 【详解】 ∵，是方程的两根， ∴a+b=1，ab=-1， ∴ = = =-1， 故答案为：-1. 【点睛】 此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则. 9. 解析 【分析】 根据题意可知a、b是一元二次方程x2-x-6=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可得出a+b． 【详解】 解：∵a2﹣a﹣6=0，b2﹣b﹣6=0，且a≠b， ∴a、b是一元二次方程x2-x-6=0的两个不相等的实数根， ∴a+b=1； 故答案为1． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 10. 解析 分析 本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，先求出方程的解，即可得出，，根据菱形的性质，利用勾股定理求出边长即可． 详解 解：，，或，解得，，∵菱形两条对角线的长度是方程的两根，∴菱形两条对角线的长度为2，6，∴菱形的边长． 11. 解析 【分析】 若一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则b2﹣4ac＜0，求得n的取值范围，确定函数图象的情况． 【详解】 解：∵a＝n，b＝﹣2，c＝﹣1，方程无实数根， ∴b2﹣4ac＜0 ∴（﹣2）2﹣4×（﹣1）×n＜0 ∴n＜﹣1 ∴n+1＜0，﹣n＞0 ∴一次函数y＝（n+1）x﹣n中，一次项的系数小于0，常数项大于0，其图象不经过第三象限． 故答案为：三． 【点睛】 本题考查了一次函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是首先根据方程根的情况判定实数n的取值范围． 12. 解析 【分析】 （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，代入已知等式中，求出m值即可． 【详解】 （1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）∵，是该方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 13. 解析 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设方程的两个根为，，由题意得：，，，再利用完全平方公式的变形得出，求出的值，再利用判别式检验即可得出答案． 【详解】 解：设方程的两个根为，， 由题意得：，，， ， ， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意， 综上所述，实数的值是或， 故答案为：或． 14. 解析 【分析】 当k=0时，可求出方程的根；k≠0时，利用，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0即可判断原方程有实数根． 【详解】 解：∵k＜1， ∴当k=0时，原方程为-x+1=0， 解得：x=1； 当k≠0时，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 15. 解析 分析 利用根的判别式及两根之积为负数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出实数的取值范围． 详解 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，∴解得：，∴实数m的取值范围是．故选：B． 点睛 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于”是解题的关键． 16. 解析 【分析】 本题主要考查了方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解题的关键．根据方程的解以及根与系数的关系可得、、，再对所求代数式变形，最后代入计算即可． 【详解】 解：∵m，n为方程的两根， ∴、、 ∴，， ∴ ， 故选：B． 17. 解析 【分析】 根据根与系数的关系得出，，根据方程解的定义得出，将，，代入整理得出，根据方程有两个实数根得出，根据m的范围求出最大值即可． 【详解】 解：∵关于的方程有两个实根， ∴，，， 即， ∴ ， ∵关于的方程有两个实根， ∴， 即， ∵当时，的值随m的增大而增大， ∴当时，有最大值，且最大值为：， 即的最大值为4，故B正确． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，方程的解，求二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式． 18. 解析 【分析】 由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案． 【详解】 解：，是一元二次方程的两个根， ，， ． 故答案为：3． 【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 19. 解析 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较大，关键是根据一元二次方程根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个根为，（）， ∴，， ∴， 则， ∴ . 故答案为：. 20. 解析 分析 分两种情况进行讨论：①当a=b时，可直接得出答案；②当a≠b时，根据实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，根据根与系数的关系列出关于a，b的等式即可求解． 详解 解：①当a=b时，原式=2；②当a≠b时，根据实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，∴a+b=8，ab=5．则==，把a+b=8，ab=5代入得：==﹣20．综上可得：的值为2或﹣20．故选C． 点睛 本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是把a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，然后根据根与系数的关系解题． 21. 解析 【分析】 （1）先计算，由于，则，即△＞0，根据△的意义即可得到无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）利用两根之和与两根之积的公式代入得出关于m的不等式，解之即可． 【详解】 解：（1）证明：， ∵， ∴，即， ∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）∵， ∴由可得，解得． 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有两实数根，也考查了根与系数的关系．本题的关键是熟练掌握公式． 22. 解析 分析: 本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 22.1. 解析 (1)题详解 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； 22.2. 解析 (2)题详解 解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$