6.1.4 求导法则及其应用（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦导数四则运算法则及复合函数求导法则这一核心知识点，前承基本初等函数导数公式，通过导学问题链引导学生从具体函数实例（如f(x)=x与g(x)=1/x）自主探究和差、积、商导数与原函数导数的关系，后为复杂函数求导及应用奠定基础，构建完整知识支架。 资料以问题驱动探究，如通过对比函数乘积的导数与导数乘积的差异推导积的法则，培养逻辑推理与数学抽象素养。例题设置一题多解（如三函数乘积求导的展开与直接求导法）和母题变式，提升数学运算能力。课中辅助教师突破重难点，课后学生可借助分层练习回顾法则应用，有效查漏补缺。

6．1.4　求导法则及其应用 学业标准 素养目标 1．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(重点、难点) 2．掌握简单的复合函数的求导法则，会求复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．(易混点) 1．通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算核心素养． 2．借助求复合函数的导数，提升逻辑推理、数学抽象核心素养． [对应学生用书P64] 导学1　函数和、差、积、商的求导法则 　已知f(x)＝x，g(x)＝. f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示]　f′(x)＝1，g′(x)＝－. 　试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数． [提示]　∵Δy＝(x＋Δx)＋－ ＝Δx＋， ∴＝1－， ∴Q′(x)＝ ＝ ＝1－. 同理H′(x)＝1＋. 　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示]　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差． 　[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g′(x)对吗？ [提示]　不对，因为f(x)g(x)＝1，[f(x)g(x)]′＝0，而f′(x)·g′(x)＝1×＝－. ◎结论形成 导数的运算法则 1．和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__． 2．积的导数 (1)[f(x)g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__． (2)[cf(x)]′＝__cf′(x)__． 3．商的导数 ′＝____，g(x)≠0. 导学2　复合函数求导法则 　试说明y＝(3x＋2)2是如何复合的． [提示]　令u＝g(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2， 则y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2. 　试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数． [提示]　y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3. 　观察问题2中的导数有何关系． [提示]　y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x). ◎结论形成 1．复合函数的概念 已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成 __x__的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中__u__称为中间变量． 2．复合函数的求导法则 如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝__f′(g(x))g′(x)__，也可以表示为y′x＝__y′uu′x__． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)＝f′(1)ln x，则f′(x)＝.(　　) (2)若y＝x2cos x，则y′＝－2x sin x．(　　) (3)若y＝，则y′＝－cos x．(　　) (4)若y＝3x2－e2x，则y′＝6x－2ex.(　　) 解析　(1)f′(x)＝f′(1)·(ln x)′＝. (2)由y＝x2cos x，得y′＝2x cos x－x2sin x. (3)由y＝，得y′＝. (4)根据导数四则运算法则，y′＝(3x2)′－(e2x)′＝6x－2e2x. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　) A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x 解析　y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x. 答案　B 3．(多选)下列求导运算不正确的是(　　) A．′＝1＋ B．(log2 x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3 e D．(x2cos x)′＝－2x sin x 解析　由求导法则易知只有B正确． 答案　ACD 4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝______． 解析　f(x)＝4x2＋4ax＋a2， ∵f′(x)＝8x＋4a， ∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1. 答案　1 [对应学生用书P66] 题型一　利用四则运算法则求导数　(一题多解) 　[教材例1提升]求下列函数的导数． (1)y＝x sin x； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝； (4)y＝－2x. [解析]　(1)y′＝(x)′sin x＋x(sin x)′ ＝sin x＋x cos x. (2)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11. 方法二　∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11. (3)方法一　y′＝′ ＝ ＝＝. 方法二　∵y＝＝＝1－， ∴y′＝′＝－′ ＝－ ＝. (4)y′＝′＝′－(2x)′ ＝－2x ln 2 ＝－2x ln 2. 对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程． [触类旁通] 1．求下列函数的导数． (1)y＝x2＋x ln x；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1). 解析　(1)y′＝(x2＋x ln x)′＝(x2)′＋(x ln x)′ ＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x· ＝2x＋ln x＋1. (2)y′＝′＝ ＝＝. (3)y′＝′＝＝. (4)y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′·(3x＋1)＋(2x2－1)·(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 题型二　求复合函数的导数 　求下列函数的导数． (1)y＝e2x+1； (2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)； (4)y＝sin3x＋sin 3x. [解析]　(1)函数y＝e2x+1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x+1. (2)函数y＝可看作函数y＝u-3和u＝2x－1的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(u-3)′(2x－1)′＝－6u-4＝－6(2x－1)-4＝－. (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2 u和u＝1－x的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝5(log2 u)′·(1－x)′＝＝. (4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数． ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x. 复合函数求导的步骤 [触类旁通] 2．求下列函数的导数． (1)y＝(3x＋2)3；(2)y＝sin 2x；(3)y＝；(4)y＝ln (4x＋5). 解析　(1)y′＝3(3x＋2)2×3＝9(3x＋2)2. (2)y′＝cos 2x·2＝2cos 2x. (3)y′＝×4＝. (4)y′＝×4＝. 题型三　求导法则的综合应用　(一题多变) 　已知函数f(x)＝ax2＋2ln (2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值． [解析]　因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，所以f′(1)＝2a－2， 所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0. 因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝， 解得a＝. [母题变式] (变条件、变结论)若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝相交”，求a的取值范围． 解析　由例题知，直线l的方程为 2(a－1)x－y＋2－a＝0. ∵直线l与圆C：x2＋y2＝相交， ∴圆心到直线l的距离小于半径． 即d＝＜，解得a＞. [素养聚焦]　本题通过复合函数的求导运算，培养数学运算核心素养． 解决此类问题，正确求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键． [触类旁通] 3. (1)(2025·广东茂名高二期中)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，则a＝(　　) A．1 B．2 C． D．－ (2)(2025·北京怀柔高二期末)设函数f(x)＝＋x2ea－x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2e，则a，b值分别为(　　) A．a＝e，b＝1 B．a＝2，b＝e C．a＝b，b＝1 D．a＝1，b＝e 解析　(1)由函数y＝eax，可得y′＝aeax，则y′|x＝0＝a，因为直线2x－y＋1＝0的斜率为2，可得a＝2. (2)由f(x)＝＋x2ea－x，得f′(x)＝－＋2xea－x－x2ea－x， 因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2e， 所以f′(1)＝－b＋2ea-1－ea-1＝－b＋ea-1＝0，f(1)＝b＋ea-1＝2e，解得a＝2，b＝e. 答案　(1)B　(2)B [缜密思维提能区]　规范答题 求曲线的切线方程 [典例]　(13分)已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程； (2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？ [审题指导] —— [规范解答]　(1)把x＝1代入C的方程， 求得y＝－4. ∴切点为(1，－4).(2分) ∵y′＝12x3－6x2－18x， ∴切线斜率为k＝12－6－18＝－12.(4分) ∴切线方程为y＋4＝－12(x－1)， 即y＝－12x＋8.(6分) (2)由 得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，(8分) ∴(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0， ∴x1＝1，x2＝－2，x3＝.(10分) 分别代入y＝－12x＋8， 求得y1＝－4，y2＝32，y3＝0. 即公共点为(1，－4)(切点)，(－2，32)，. ∴除切点外，还有两个交点(－2，32)，.(13分) 知识落实 技法强化 (1)函数和、差、积、商的求导法则． (2)复合函数求导法则． (1)应用和、差、积、商的求导法则求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积、商的求导法则，应在求导之前，先对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免差错． (2)求复合函数的导数的注意点： ①内、外层函数通常为基本初等函数． ②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数的导数时的易错点． 学科网（北京）股份有限公司 $