章末整合提升5 数列（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学讲义以数列核心问题为主线系统构建知识体系，通过框架图梳理求通项公式的观察归纳法、公式法等六种方法，数列求和的错位相减等技巧，以及转化与化归、分类讨论等数学思维，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题点多探”分层设计，如构造法求递推数列通项、错位相减求和等例题，培养数学思维与创新意识。通过典例纠错（如错位相减项数易错点）和分类讨论实例，助力基础学生掌握方法、优秀学生深化理解，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

[对应学生用书P49] (一)求数列的通项公式　(题点多探 多维探究) 　求数列的通项公式是解决数列问题的核心内容，常见的求数列的通项公式的方法有以下几种： 角度1　观察归纳法 　以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”． 该数表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　) A．2 021×22 015　　　　 B．2 021×22 018 C．2 020×22 019 D．2 020×22 018 [解析]　由题意知，数表中的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，……第2 019行公差为22 018.第一行的第一个数为2×2-1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21，……第n行的第一个数为(n＋1)×2n-2，易知第2 020行只有一个数M，则M＝(1＋2 020)×22 018＝2 021×22 018. [答案]　B 角度2　公式法 　已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an＝________． [解析]　由an＋1·an＝an＋1－an⇒1＝－ ⇒－＝－1. 所以数列是首项为－1， 公差为－1的等差数列，＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以an＝－(n∈N＋). [答案]　－(n∈N＋) 角度3　由Sn求an 　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝________． [解析]　依题意得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1， 因此an＝ [答案]　 角度4　累加法 　(2024·山东潍坊高二期中)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则通项公式an＝________． [解析]　∵an＋1＝an＋ln ， ∴a2－a1＝ln ＝ln 2， a3－a2＝ln ＝ln ， a4－a3＝ln ＝ln ， … an－an－1＝ln ＝ln (n>1). 以上(n－1)个等式相加，得 an－a1＝ln 2＋ln ＋…＋ln ＝ln n(n>1). ∵a1＝2，∴an＝2＋ln n(n>1). 检验：当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2也成立． 所以，数列{an}的通项公式an＝2＋ln n. [答案]　2＋ln n 角度5　累乘法 　(2024·辽宁葫芦岛高二期末)在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，则数列{an}的通项公式为an＝________(n∈N＋). [解析]　因为nan＋1＝(n＋2)an，所以＝，所以＝，＝，＝，…，＝， ＝， 所以···…··＝×××…××，所以＝， 因为a1＝4，所以an＝2n(n＋1)，a1＝4符合该式． [答案]　2n(n＋1) 角度6　构造法 　已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2(n∈N＋)，a1＝1，求通项公式． [解析]　先令an＋1＋λ＝3(an＋λ)，与原式比较，得出λ，然后由{an＋λ}是等比数列即可得解． 于是令an＋1＋λ＝3(an＋λ)，得an＋1＝3an＋2λ， ∴λ＝1，∴{an＋1}是等比数列，其中首项为a1＋1＝2，公比为3. ∴an＋1＝2·3n-1，∴an＝2·3n-1－1. (二)数列求和 　数列的求和问题是数列中的重点问题，是数列知识的综合体现，也是高考的重要考点之一．需要掌握一些简单数列求和的方法，并应用数列求和解决一些数列问题．对于数列的求和问题，一般是先观察数列的特点和规律，如果通项公式能够求出，可先求出通项公式，再通过观察通项的特点选择使用哪种求和方法． 　数列{an}的前n项和为Sn，且3an－2Sn＝1，在等差数列{bn}中，b4＝7，b3＋2b8＝35. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若dn＝，求数列{dn}的前n项和Pn； (3)若cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn. [解析]　(1)当n＝1时，3a1－2S1＝3a1－2a1＝1，即a1＝1， 当n≥2时，由3an－2Sn＝1得3an－1－2Sn－1＝1， 则两式相减得3an－3an－1－2(Sn－Sn－1)＝0， 即an＝3an－1，整理得＝3， 所以{an}是首项a1＝1，公比q＝3的等比数列， 则an＝a1qn-1＝3n-1，即an＝3n-1. 设等差数列{bn}的公差为d， 则 即解得 所以bn＝b1＋(n－1)d＝2n－1，即bn＝2n－1， 故an＝3n-1，bn＝2n－1. (2)∵bn＝2n－1， ∴dn＝＝， Pn＝＝＝，所以Pn＝. (3)cn＝anbn＝3n-1·(2n－1)， Tn＝1＋3×3＋32×5＋…＋3n-1·(2n－1)， 3Tn＝3×1＋32×3＋33×5＋…＋3n-1·(2n－3)＋3n·(2n－1)， 故Tn－3Tn＝－2Tn＝1＋2×(3＋32＋…＋3n-1)－3n·(2n－1)， 即－2Tn＝1＋2×－3n·(2n－1)＝1＋3n－3－3n·(2n－1)＝－2＋3n(2－2n)， 解得Tn＝1＋3n·(n－1). (三)数列中的数学思维　(题点多探 多维探究) 角度1　转化与化归思想 等差数列、等比数列的计算，一般先求a1，公差d或公比q；遇到an与Sn的关系时，可以利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)都转化为an或Sn，再转化为等差数列或等比数列，利用等差数列或等比数列的通项公式求解．其中合理的转化是解题的关键． 　Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a2＋a4＝14，S3＝15. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和． [解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意得 解得a1＝3，d＝2， 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为an＝2n＋1，n∈N＋. (2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝＝＝. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝＝. 角度2　分类讨论思想 　数列中某些问题往往需利用分类讨论思想来解决，如等比数列的前n项和公式中，若公比q的取值未知，则需要对q＝1与q≠1分类求解；由Sn求an时应分n＝1和n≥2两种情况讨论；某些数列的前n项和也需要讨论，通过分类讨论可以将复杂问题简单化，解题时要注意分类讨论标准的确定，做到不重不漏． 　已知{an}是各项均为正数的等差数列，其前n项和为Sn，满足a＝2Sn－an对任意的n∈N＋成立． (1)求{an}的通项公式； (2)令bn＝记Tn为数列{bn}的前n项和．证明：当n>5时，Tn>2Sn＋3an. [解析]　(1)当n＝1时，a＝2a1－a1，解得a1＝1或0，{an}是各项均为正数的等差数列，故a1＝1，a＝2Sn－an　①， 当n≥2时，a＝2Sn－1－an－1　②， 则①－②得a－a＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝an＋an－1， 故(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， 因为an>0，所以an＋an－1>0，则an－an－1＝1， 则{an}的公差为1，则an＝1＋(n－1)×1＝n， 经检验，a1＝1满足要求，故通项公式为an＝n. (2)证明　Sn＝＝，2Sn＋3an＝n2＋n＋3n＝n2＋4n， bn＝ 当n为偶数时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn) ＝－1＋3＋…＋2n－5＋14＋22＋…＋4n＋6 ＝＋＝， 当n≥6且n为偶数时，Tn－(2Sn＋3an)＝－(n2＋4n)＝>0， 故Tn>2Sn＋3an； 当n为奇数时， Tn＝Tn＋1－an＋1＝－4(n＋1)－6＝， 当n≥7且n为奇数时， Tn－(2Sn＋3an)＝－(n2＋4n)＝＝2－>0， 故Tn＞2Sn＋3an. 综上，当n>5时，Tn>2Sn＋3an. 用错位相减法时弄错等比数列项数 [典例]　已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n∈N＋，n≥2)且a1＝5. (1)求a2，a3的值． (2)若数列为等差数列，请求出实数λ. (3)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn. [解析]　(1)因为an＝2an－1＋2n－1，a1＝5， 所以a2＝2a1＋22－1⇒a2＝13， a3＝2a2＋23－1⇒a3＝33. (2)因为为等差数列， 所以＋＝2， ＋＝，λ＝52－53＝－1. 检验：当λ＝－1时，－＝1， 所以为等差数列， 即λ＝－1时，满足条件． (3)＝2，＝3，所以d＝1， ＝＋(n－1)×1＝n＋1， 所以an＝(n＋1)2n＋1， 令Tn＝2×21＋3×22＋…＋(n＋1)×2n，① 2Tn＝2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n+1，② ①－②得－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n+1＝－n·2n+1， 所以Tn＝n·2n+1， 所以Sn＝n·2n+1＋n. [纠错心得]　求等比数列的多项和时，可用公式Sn＝避免用到项数，注意公式中的Sn是指等比数列全部项的和，an是等比数列的最后一项，并不一定是第n项． 数列的综合应用 [典例]　(15分)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和． [审题指导]　第一步：求解通项“程序化” 第(1)问中给出的条件a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，相当于是给出了数列的前n项和Sn，属常见题型，按照“n≥2，n＝1验证”的步骤程序化求解即可． 第二步：根据类型“选方法” 第(2)问中要由第(1)问求出的通项an，得到，依据的结构形式确定求和的方法． [规范解答]　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.① 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，② ①－②得(2n－1)an＝2， 所以an＝，(6分) 又n＝1时，a1＝2适合上式， (7分) 从而{an}的通项公式为 an＝.(8分) (2)记的前n项和为Sn， 由(1)知＝＝－，(12分) 则Sn＝＋＋…＋ ＝1－＝.(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $