教考衔接2 新情境下的数列与数学建模（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦数列模型的应用这一核心知识点，从高考真题展示与教材习题溯源切入，通过数学文化、实际生活、数阵图表、新定义四个类型的类法探究，构建“审题提取信息-抽象数列模型-运用通项或求和公式求解”的学习支架，系统梳理等差等比数列及递推关系的应用脉络。 资料以“隙积术”古算题、经营利润计算等真实情境为载体，引导学生用数学眼光观察现实问题中的数量规律，用数学思维分析递推关系或项数特征，用数学语言表达数列模型。课中助力教师引导学生建立模型解决问题，课后学生可通过典型例题解析回顾建模过程，弥补从情境到模型转化的知识盲点。

[对应学生用书P43] 一、真题展示 (2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么Sk＝________ dm2. 二、真题溯源 　(人教B版选择性必修第三册P50习题5－4B T5) 假设某企业现在的净利润为200万元，且以后每年增长4%.但该企业今年遇到了资金困难的问题，所以企业管理人提出：如果有投资人现在出资5 500万元的话，该企业将现在和以后每年的净利润都无条件划归给投资人．假设该企业可以无限生存下去，而银行的年利率为8%，不考虑其他情况，你是否会同意该企业管理人的提议？(提示：将该企业利润的现值之和与5 500万元进行比较．) 三、类法探究 　从以上可以看到，基于实际情境下的数列问题在高考中正逐步成为热点，通过实际情境，考查学生的应用性和创新性解决情境下的数列问题，常用的解题思路是：审题、建立数列模型、研究模型、解决实际问题．建立数列模型时需注意分析：问题中有哪些量，这些量之间的关系和规律是什么，是否符合等差、等比数列的定义，它们之间的递推关系是什么等，有时还需要从特殊到一般进行归纳总结．只要建立起恰当的数列模型，就可运用数列的通项公式、前n项和公式以及相关的性质、方法解决问题． 类型一　数学文化中数列模型的应用 　“隙积术”是由北宋数学家沈括在《梦溪笔谈》中创立、南宋数学家杨辉及元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和的方法．隙积术研究的对象有三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的形式：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物的价格为1万元/件，从第二层起，每一层货物的价格是上一层价格的，第n层货物的总价为______万元．若这堆货物总价是万元，则n＝______． [解析]　设第n层货物的总价为an万元(n＝1，2，3，…)，则an＝n，即第n层货物的总价为n万元． 设数列{an}的前n项和为Sn，则这堆货物的总价为Sn万元，易得Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，① 则Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，② ①－②，得Sn＝1＋＋＋＋…＋－n·＝－n· ＝8－(8＋n)·， 所以Sn＝64－8(8＋n)·. 若货物的总价是万元， 则8(8＋n)＝112，解得n＝6. [答案]　n　6 对于以数学文化为背景的数列问题，解题时常常受困于陌生背景，阅读受阻，无法获得解题思路．解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，从中构建等差数列或等比数列模型，再根据等差数列或等比数列的有关公式求解作答，必要时进行检验． 类型二　实际生活中数列模型的应用 　(多选)小王2023年1月初向银行免息贷款10 000元，用于自己开设的农产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．设第n月月底小王手中有现款an元，则下列论述正确的有(参考数据：1.211≈7.4，1.212≈9)(　　) A.a1＝12 000 B．an＋1＝1.2an－1 000 C．2023年小王的年利润约为39 400元 D．两年后，小王手中现款约为404 600元 [解析]　对于A选项，a1＝(1＋20%)×10 000－1 000＝11 000，故A错误；对于B选项，由题意an＋1＝1.2an－1 000，故B正确；对于C选项，由an＋1＝1.2an－1 000，得an＋1－5 000＝1.2(an－5 000)，所以数列{an－5 000}是首项为6 000，公比为1.2的等比数列，所以a12－5 000＝6 000×1.211，即a12＝6 000×1.211＋5 000≈49 400，所以2023年小王的年利润约为49 400－10 000＝39 400(元)，故C正确；对于D选项，两年后，小王手中现款为a24＝5 000＋6 000×1.223＝5 000＋6 000×1.212×1.211≈404 600，故D正确．故选BCD. [答案]　BCD 实际生产生活中的许多问题，诸如：人口增长、产值增长、分期付款等，都与数列问题紧密相关，解决这些问题的关键是弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数列模型，抽象出通项公式或递推关系式，然后利用数列知识解决问题． 类型三　数阵或图表中数列模型的应用 　(1)杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年．如图所示，在杨辉三角中，从1开始箭头所指的数组成一个“锯齿形”数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是(　　) A．153　　　　　　　 B．171 C．190 D．210 (2)数列{an}中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排a1；第二行2项，从左到右分别排a2，a3；第三行3项，……，以此类推，设数列{an}的前n项和为Sn，则满足Sn>1 000的最小正整数n的值为(　　) a A．22　 　 B．21 C．20　 　 D．19 [解析]　(1)由题意可得从第4行起的每行第三个数：3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，所以第k(k≥4)行的第三个数为1＋2＋…＋(k－2).在该数列中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项为1＋2＋…＋19＝＝190.故选C. (2)第i行的和为＝2(3i－1)，设满足Sn>1 000的最小正整数为n，由于an在图中排在第i行第j列(i，j∈N＋且j≤i)， 所以有Sn＝2(3－1)＋2(32－1)＋…＋2(3i-1－1)＋2(3j－1)＝2(3＋32＋33＋…＋3i-1)－2(i－1)＋2(3j－1)＝3i－3－2(i－1)＋2(3j－1)＝3i＋2·3j－2i－3>1 000， 则i≥6，j≥5，即图中从第6行第5列开始，和大于1 000.因为到第6行第5列共有1＋2＋3＋4＋5＋5＝20项，所以最小正整数n的值为20.故选C. [答案]　(1)C　(2)C 从数列到数阵或图表，尽管数的排列形式发生了变化，但问题的本质仍然是数列问题，只要抓住每行(每列)的首项，找准每行(每列)的变化规律，从数阵中构造出新数列(等差数列、等比数列、周期数列等)，那么解决问题的思想和方法仍然不变． 类型四　新定义中数列模型的应用 　对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，将得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其每相邻的两项间都插入这两项的和，则可得到二阶和数列，以此类推，可以得到n阶和数列，如数列“2，4”的一阶和数列是“2，6，4”．设数列“2，4”的n阶和数列各项和为Sn. (1)试求数列“2，4”的二阶和数列各项和S2与三阶和数列各项和S3，并猜想{Sn}的通项公式(无须证明). (2)设bn＝，{bn}的前m项和为Tm，若Tm>，求m的最小值． [解析]　(1)数列“2，4”的一阶和数列为“2，6，4”，对应S1＝12； 数列“2，4”的二阶和数列为“2，8，6，10，4”，对应S2＝30； 数列“2，4”的三阶和数列为“2，10，8，14，6，16，10，14，4”，对应S3＝84. 故猜想Sn＋1＝3Sn－6. 则有Sn＋1－3＝3(Sn－3)， 所以数列{Sn－3}是首项为S1－3＝9，公比为3的等比数列， 所以Sn－3＝9·3n-1，即Sn＝3n+1＋3. (2)由于Sn＝3n+1＋3， 所以bn＝ ＝＝－， 则Tm＝b1＋b2＋…＋bm＝－＋－＋…＋－＝－>. 所以3m>(m＋2)×113， 设cm＝3m－(m＋2)×113. ∴cm＋1－cm＝2×3m－113， 当m≤3时，{cm}递减，当m≥4时，{cm}递增， 又c6<0，c7>0，故m的最小值为7. “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，然后根据此新定义去解决问题，数列中新定义问题的解题要求：(1)提取新定义的信息，明确新定义的名称和符号；(2)理解新定义的概念、法则、性质，纵横联系探求解题方法；(3)对新定义中提取的知识进行等价转换，其中提取、化归与转化是解题的关键，也是解题的难点．数列新定义问题的解题思路：(1)若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；(2)若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延；(3)也可用特殊值排除等方法． 学科网（北京）股份有限公司 $