5.5 数学归纳法（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦数学归纳法核心知识点，系统梳理其原理（n=n0成立及假设n=k成立推出n=k+1成立）、步骤，并通过证明等式、不等式、几何问题及整除问题展开应用。以多米诺骨牌情境引入，经定义解析、判断题巩固基础，再分题型例题与练习构建学习支架。 资料特色在于情境化引入助力数学抽象，多米诺骨牌直观理解原理，分题型训练强化逻辑推理与数学运算，如证明整除问题的一题多解及变式。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过例题回顾与练习查漏补缺，巩固知识。

*5.5　数学归纳法 学业标准 素养目标 1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点) 2．掌握数学归纳法的步骤．(难点) 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点) 1．通过数学归纳法的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过利用数学归纳法证明数学命题，提升逻辑推理、数学运算核心素养． [对应学生用书P45] 导学　数学归纳法 下图为多米诺骨牌： 　能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ [提示]　(1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下． 　你认为第二个条件的作用是什么？ [提示]　第二个条件给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k＋1块也倒下． ◎结论形成 1．数学归纳法的定义 一个与自然数有关的命题，如果 (1)当n＝n0时，命题成立； (2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立． 那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立. 这种证明方法称为数学归纳法． 2．数学归纳法的框图表示 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，n的第一个可取值都是1 .(　　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　) (3)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　) (4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n+2＝2n+3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　) 解析　(1)不正确，如证明当n是大于或等于5的正整数时，2n＞n2，则n0＝5. (2)也可以用其他方法证明． (3)有的增加了不止一项． (4)观察左边的式子可知有n＋3项，所以验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N＋)”，在验证n＝1时，等式左边是(　　) A．1　　　　　　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析　当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.故选C. 答案　C 3．(多选)下面四个判断中，不正确的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn-1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋k C．式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋ D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ 解析　A中，n＝1时，式子＝1＋k； B中，n＝1时，式子＝1； C中，n＝1时，式子＝1＋＋； D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－. 答案　ABD 4．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为___________________________________. 解析　当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1. 答案　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 [对应学生用书P46] 题型一　用数学归纳法证明等式 　[教材例1提升]用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝. [证明]　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立． (2)假设当n＝k时，等式成立， 即＋＋＋…＋＝成立． 当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＝＝ ＝. 所以n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可得，对一切n∈N＋，等式成立． 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设． [触类旁通] 1．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋). 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时命题成立，即 1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋ ＝右边． 上式表明当n＝k＋1时命题也成立． 由(1)和(2)知，命题对一切正整数均成立． 题型二　用数学归纳法证明不等式 　证明：＋＋＋…＋>，n∈N＋. [证明]　①当n＝1时，左边＝>， ∴n＝1时成立． ②假设当n＝k(k≥1)时成立，即 ＋＋＋…＋>， 那么当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋＋…＋＋＋－>＋－>. ∴n＝k＋1时也成立． 根据①②可得不等式对所有的n∈N＋都成立． 数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一． (2)数学归纳法的应用，通常需要与数学的其他方法(如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等)联系在一起，才能完成证明过程． [触类旁通] 2．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－(n≥2，n∈N＋). 证明　(1)当n＝2时，左式＝＝， 右边＝1－＝. 因为＜，所以不等式成立． (2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立． 即＋＋＋…＋＜1－， 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－ ＝1－＜1－ ＝1－， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立． 题型三　用数学归纳法证明几何问题 　求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数f(n)＝(n≥4，n∈N＋). [证明]　(1)n＝4时，四棱柱有2个过侧棱的对角面，×4×(4－3)＝2，∴命题成立． (2)假设n＝k(k≥4，k∈N＋)时成立，k棱柱的过侧棱的对角面有f(k)＝(个). 当n＝k＋1时，第(k＋1)条棱Ak＋1Bk＋1与其余和它不相邻的(k－2)条棱分别增加了对角面(k－2)个，而面A1B1BkAk变成了对角面，因此对角面个数： f(k＋1)＝f(k)＋(k－2)＋1＝＋k－1 ＝＝ ＝， ∴n＝k＋1时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题对n≥4，n∈N＋都成立． 用数学归纳法证明几何问题的关键是找准增加量，即从n＝k到n＝k＋1时，所证的几何量将增加多少，利用数形结合，通过不完全归纳法寻找． [触类旁通] 3．证明：凸n边形的内角和为(n－2)×180°(n≥3，n∈N＋). 证明　(1)当n＝3时，三角形的内角和为(3－2)×180°＝180°，命题显然成立． (2)假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时命题成立，即凸k边形的内角和为(k－2)×180°，则当n＝k＋1时，由于由n＝k到n＝k＋1，凸多边形增加了一条边，则其内角和增加了180°，所以凸(k＋1)边形的内角和为(k－2)×180°＋180°＝(k－2＋1)×180°＝[(k＋1)－2]×180°， 所以n＝k＋1时，命题成立． 综合(1)(2)可知，命题对n≥3，n∈N＋都成立． 题型四　用数学归纳法证明、整除问题　(一题多解　一题多变) 　用数学归纳法证明f(n)＝3×52n+1＋23n+1对任意正整数n，都能被17整除． [证明]　证法一　(1)当n＝1时， f(1)＝3×53＋24＝17×23，能被17整除，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时， f(k)＝3×52k+1＋23k+1能被17整除． 则当n＝k＋1时， f(k＋1)＝3×52k+3＋23k+4 ＝52×3×52k+1＋23×23k+1 ＝25×3×52k+1＋8×23k+1 ＝17×3×52k+1＋8×(3×52k+1＋23k+1) ＝17×3×52k+1＋8×f(k). 由归纳假设知，f(k)能被17整除，又17×3×52k+1也能被17整除，所以f(k＋1)能被17整除． 由(1)和(2)可知，对任意n∈N＋，f(n)都能被17整除. 证法二　(1)同证法一． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时， f(k)＝3×52k+1＋23k+1能被17整除， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝3×52k+3＋23k+4 ＝25×3×52k+1＋8×23k+1 ＝25(3×52k+1＋23k+1)－25×23k+1＋8×23k+1 ＝25(3×52k+1＋23k+1)－17×23k+1 ＝25×f(k)－17×23k+1. 由归纳假设知，f(k)能被17整除，又17×23k+1也能被17整除，所以f(k＋1)能被17整除． 由(1)和(2)可知，对任意n∈N＋，f(n)都能被17整除． [母题变式] (变条件、变结论)若将题目中的式子改成“f(n)＝(2n＋7)·3n＋9”，则能被36整除吗？请给予证明． 证明　(1)n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×31＋9＝36，能被36整除． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时， f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除， 当n＝k＋1时， f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k+1＋9 ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k-1－1) ＝3f(k)＋18(3k-1－1)， ∵f(k)能被36整除，而3k-1－1是偶数． ∴18(3k-1－1)能被36整除． ∴f(k＋1)能被36整除． 由(1)(2)知，对n∈N＋，f(n)能被36整除． [素养聚焦]　本题通过考查用数学归纳法证明整除问题，培养逻辑推理、数学运算核心素养． 用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一大技巧． [触类旁通] 4．利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． 证明　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，所以命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋)时命题成立，即x2k－y2k能被x＋y整除． 那么，当n＝k＋1时，x2(k+1)－y2(k+1)＝x2·x2k－y2·y2k－x2·y2k＋x2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2). 因为x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， 所以x2(k+1)－y2(k+1)能被x＋y整除，即当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)和(2)，可知命题对任何n∈N＋都成立． 知识落实 技法强化 数学归纳法的定义(包括证题步骤) 应用数学归纳法时注意的问题： (1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3. (2)“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节． 学科网（北京）股份有限公司 $