5.2.1 第2课时 等差数列的性质（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等差数列的性质这一核心知识点，在等差数列定义及通项公式基础上，系统梳理等差中项概念、通项公式推广、项的运算性质及对称设项法，构建解决数列问题的学习支架。 通过问题链引导性质探究培养逻辑推理，对称设项法例题提升数学运算效率，判断题与变式练习助力学生查漏补缺。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识，深化数学抽象与理性思维。

第2课时　等差数列的性质 学业标准 素养目标 1．理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项． 2．掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点) 3．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点) 1．借助等差中项的学习，提升数学抽象核心素养． 2．通过等差数列性质的探究和应用，培养逻辑推理、数学运算核心素养． [对应学生用书P12] 导学1　等差中项 　若三个数a，b，c成等差数列，那么它们之间的关系应如何表示？ [提示]　b－a＝c－b，即2b＝a＋c. 　等差数列{an}中的任意连续三项之间什么关系？ [提示]　2an＝an－1＋an＋1. ◎结论形成 等差中项 1．定义 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的__等差中项__． 2．表示 A＝. 导学2　等差数列的性质 　已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an? [提示]　设等差数列的首项为a1， 则am＝a1＋(m－1)d，变形得a1＝am－(m－1)d， 则an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d. 　对于任意的正整数s，t，p，q，若s＋t＝p＋q.则在等差数列{an}中，as＋at与ap＋aq之间有怎样的关系？为什么？ [提示]　as＋at＝ap＋aq. 因为as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d＝2a1＋(t＋s－2)d，而ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，又因s＋t＝p＋q，所以as＋at＝ap＋aq. ◎结论形成 1．等差数列通项公式的推广 在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an(m≠n)，则d＝＝，从而有an＝am＋__(n－m)d__． 2．项的运算性质 在等差数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as＋at＝__ap＋aq__． 特别地，当2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，2as＝__ap＋aq__． 3．等差数列的项的对称性 语言 表示 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首、末两项的和 符号 表示 n为偶数n≥2 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝a＋a n为奇数n≥3 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝2a 4．由等差数列构成的新等差数列 设{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列 数列 结论 {c＋an} 公差为d1的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd1的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d1的等差数列(k为常数，k∈N＋) {pan＋qbn} 公差为pd1＋qd2的等差数列(p，q为常数) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．(　　) (2)若数列{an}是等差数列，则a1，a3，a5，a7，a9也是等差数列．(　　) (3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q也能成立(m，n，p，q∈N＋).(　　) (4)在等差数列{an}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N＋，则am＋an＝ar.(　　) 解析　(1)如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列． (2)若等差数列{an}公差为d，则a1，a3，a5，a7，a9也是等差数列，且其公差为2d. (3)若数列{an}是常数列，则m＋n＝p＋q不一定成立． (4)如等差数列1，3，5，7，9中，a1＋a2≠a3. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(　　) A．12　　 B．16　　 C．20　　 D．24 解析　在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16. 答案　B 3．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为______． 解析　设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6， 所以x1，x2的等差中项为A＝＝－3. 答案　－3 4．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________． 解析　因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450， 所以a5＝90，a2＋a8＝2a5＝2×90＝180. 答案　180 [对应学生用书P13] 题型一　等差中项及其应用 　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列； (2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值． [解析]　(1)∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项． ∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项， ∴c＝＝5.∴该数列为－1，1，3，5，7. (2)由x1＝3，得2p＋q＝3，① 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4， 得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得q＝1，② 将②代入①，得p＝1. 等差中项的应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项，根据等差中项的定义得A＝. (2)证明三项成等差数列，只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． [触类旁通] 1．(2024·山东青岛高二月考)在数列{an}(an≠1)中，an是1与anan＋1的等差中项，求证：数列是等差数列． 证明　因为an是1与anan＋1的等差中项， 所以2an＝1＋anan＋1，即an＋1＝， 所以an＋1－1＝－1＝， 所以＝＝＝1＋， 即－＝1，是常数， 故数列是等差数列． 题型二　等差数列中对称设项法的应用　(一题多变) 　已知三个数组成等差数列，首末两项之积为中项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求此三个数． [解析]　设此三个数分别为x－d，x，x＋d. 由题意得 解得或 故此三数分别为0，0，0或3，9，15. [母题变式] 1．(变条件、变结论)三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求此数列． 解析　设所求数列为a－d，a，a＋d(d＞0)， 根据题意得到方程组 由①得a＝6. 将a＝6代入②，得d＝2，d＝－2(舍). 所以所求数列为4，6，8. 2．(变条件、变结论)已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． 解析　设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 则 又递增数列d＞0，所以解得a＝±，d＝， 此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1. [素养聚焦]　本题通过考查等差中项和等差数列性质的应用，提升逻辑推理和数学运算核心素养． 等差数列的设项方法与技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列． (2)当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d. (3)当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d. [触类旁通] 2．已知递增的等差数列{an}的前三项的和为21，前三项的积为231，求数列{an}的通项公式． 解析　方法一　根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d， 则 即 解得或 因为数列{an}为递增数列，所以 从而等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝4n－1. 方法二　由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d， 由题意得 即解得或 由于数列{an}为递增数列，因此 从而an＝4n－1. 题型三　等差数列的性质及应用　(一题多解) 　(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值； (2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值； (3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值． [解析]　(1)方法一　设{an}的公差为d， 则 解得 故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40. 方法二　因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40. 方法三　因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列， 因此a25－a15＝a15－a5， 即a25－25＝25－10，解得a25＝40. (2)由等差数列的性质，得 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9， 所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70， 于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28. (3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列， 所以{cn}也是等差数列，设其公差为d， 由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17， 则5＋6d＝17，解得d＝2， 故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41. 等差数列中常用的两种运算方法 (1)利用基本量运算，借助于a1，d建立方程组进行运算，这是最基本的方法． (2)利用性质运算，观察等差数列中项的序号．若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar. [触类旁通] 3．(1)在等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＝6，则a2＋a8＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，a2＋b2＝7，a8＋b10＝11 ，则a5＋b6＝(　　) A．9 B．18 C．16 D．27 解析　(1)由a4＋a5＋a6＝6可得3a5＝6⇒a5＝2，所以a2＋a8＝2a5＝4，故选C. (2)因为a2＋b2＝7，a8＋b10＝11 ，所以a2＋b2＋a8＋b10＝2a5＋2b6＝7＋11＝18， 所以a5＋b6＝9，故选A. 答案　(1)C　(2)A [缜密思维提能区]　规范答题 等差数列性质的应用 [典例]　(13分)已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这个数列． [审题指导]　设这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，利用条件求出a，进而求出这5个数． [规范解答]　由已知5个数成等差数列， 设这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，(2分) 所以(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5， 解得5a＝5，a＝1，(5分) (a－2d)2＋(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＋(a＋2d)2＝， 解得5a2＋10d2＝，把a＝1代入，整理，得d2＝， 所以d＝或d＝－，(7分) ①当d＝时，a－2d＝1－＝－， a－d＝1－＝，a＋d＝1＋＝， a＋2d＝1＋＝.(9分) ②当d＝－时， a－2d＝1＋＝， a－d＝1＋＝， a＋d＝1－＝， a＋2d＝1－＝－.(12分) 综上知，这个数列为－，，1，，或，，1，，－. (13分) 知识落实 技法强化 (1)等差中项． (2)等差数列的性质． (1)等差数列项的运算性质可推广到三项的情形，即“m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N＋⇒am＋an＋at＝ap＋aq＋as”，还可以推广至四项乃至更多项的情形，只要两边项数一样，且下标的和相等即可． (2)等差数列的巧设元问题 当三个数(或者四个数)成等差数列且和为定值时，常采用对称设元，即a－d，a，a＋d(或a－3d，a－d，a＋d，a＋3d)，以达到简化运算的目的． 学科网（北京）股份有限公司 $