5.1.2 数列中的递推（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦数列中的递推关系及前n项和与通项公式的关系，承接数列基本概念，通过实例观察引入递推公式，对比通项公式与递推公式的区别，系统讲解由递推求指定项、累加法累乘法求通项及前n项和求通项的方法，辅以易错提示构建学习支架。 资料以问题链导学激发数学眼光，如观察数列规律提出关系，通过母题变式训练培养数学思维，如改变递推条件推导通项，强调逻辑推理与数学运算，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固方法、查漏补缺。

5．1.2　数列中的递推 学业标准 素养目标 1．理解递推公式及数列的前n项和的含义．(重点) 2．掌握递推公式的应用．(难点) 3．能根据前n项和Sn求通项公式an.(重点) 1．借助利用数列的递推公式求具体项，培养数学运算核心素养． 2．利用数列的前n项和求数列的通项公式．培养数学建模、逻辑推理核心素养． [对应学生用书P5] 导学1　数列的递推关系 　观察1，3，7，15，31，63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？ [提示]　首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1. 即an＝2an－1＋1(n＞1). 　已知数列{an}的首项a1＝1，且有an＝3an－1＋2(n＞1)，如何求出a2，a3，a4? [提示]　a2＝3a1＋2＝5，a3＝3a2＋2＝17，a4＝3a3＋2＝53. ◎结论形成 1．递推关系 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的__相邻两项或两项以上__的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式). 2．递推公式与通项公式的区别与联系 不同点 相同点 通项 公式 可根据某项的序号，直接用代入法求出该项 都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项 递推 公式 可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项 [微点睛]　对递推公式的理解 (1)与数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项． (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项． 导学2　数列的前n项和 　以数列2，4，6，8，10，12，…为例，它的前5项的和是多少呢？前6项的和呢？ [提示]　前5项的和为2＋4＋6＋8＋10＝30，前6项的和为2＋4＋6＋8＋10＋12＝42. 　对于一个数列，如果已经知道它的前5项的和为30，前6项的和为42，能求出哪一项？怎么求？ [提示]　能求出第6项，相减就行． ◎结论形成 1．数列的前n项和 给定数列{an}，称Sn＝__a1＋a2＋a3＋…＋an__为数列{an}的前n项和． 2．数列前n项和与an的关系 an＝ 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)递推公式不能用来表示数列．(　　) (2)所有的数列都有递推公式．(　　) (3)由公式an＋1＝an－2(n≥1)可写出数列{an}的所有项．(　　) (4)若数列{an}满足an＋1＝an，则该数列是常数列.(　　) 解析　(1)递推公式也是给出数列的一种重要方法． (2)并不是所有的数列都有递推公式．例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式． (3)还需知道数列中至少一项的值． (4)该数列每一项都相同． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析　由递推关系可得a2＝，a3＝，a4＝. 答案　B 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a6＋a7＋a8＋a9等于(　　) A．729　　 B．387 C．604　　 D．854 解析　a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S5＝93－53＝604. 答案　C 4．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是________________． 答案　an＝ [对应学生用书P6] 题型一　由递推公式求数列的指定项 　(1)数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a－anan＋2＝(－1)n，求{an}的前5项． (2)在数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2，n∈N＋). ①求证：an＋3＝an； ②求a2 023. [解析]　(1)由a－anan＋2＝(－1)n， 得an＋2＝，又a1＝1，a2＝3， ∴a3＝＝＝10， a4＝＝＝33. a5＝＝＝109. ∴数列{an}的前5项为1，3，10，33，109. (2)①证明　∵an＝1－(n≥2，n∈N＋)， ∴an＋3＝1－＝1－ ＝1－＝1－＝an. ②由①知{an}的周期为3， ∴a2 023＝a674×3＋1＝a1＝. (1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)数列的周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解决周期数列的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而求解． [触类旁通] 1．(1)在数列{an}中，an＋1＝2an＋，a1＝1，则a3＝(　　) A．8　　　　　　　 B．1 C．18 D．19 (2)已知首项为3的数列{an}满足an＋1＝，则a521＝(　　) A．－2 B． C．2 D．3 解析　(1)因为an＋1＝2an＋，a1＝1， 所以a2＝2a1＋＝2×1＋6＝8，a3＝2a2＋＝2×8＋3＝19. (2)由题意知首项为3的数列{an}满足an＋1＝， 即a1＝3，a2＝＝－2，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝3，…， 所以数列{an}的周期是4， 从而a521＝a130×4＋1＝a1＝3，故选D. 答案　(1)D　(2)D 题型二　由递推关系求通项公式　(一题多变) 　已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求an. [解析]　因为an＝an－1＋(n≥2)， 所以an－an－1＝＝－， 因为a1＝1， 所以a2－a1＝－， a3－a2＝－，a4－a3＝－， … an－an－1＝－. 所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝1＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＋1. 当n＝1时，a1＝1也适合上式， 所以an＝－＋1. [母题变式] 1．(变条件)将本例中的条件“an＝an－1＋”改为“＝”，其他条件不变，求an. 解析　因为a1＝1，且＝(n≥2)， 所以···…··＝···…··，即an＝，经检验，当n＝1时，a1＝1也满足上式，所以an＝. 2．(变条件)将本例中的条件“an＝an－1＋”改为“ln an－ln an－1＝1”，其他条件不变，求an. 解析　因为a1＝1，且ln an－ln an－1＝1(n≥2)， 所以ln a2－ln a1＝1， ln a3－ln a2＝1， …， ln an－ln an－1＝1， 以上各式相加可得ln an－ln a1＝n－1， 又ln a1＝ln 1＝0， 所以ln an＝n－1，所以an＝en-1， 经检验，当n＝1时，a1＝1也满足上式， 所以an＝en-1. [素养聚焦]　本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，突出考查逻辑推理、数学运算核心素养． 由递推公式求通项公式的两种方法 (1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项． (2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项． [触类旁通] 2．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n－1 B．an＝ C．an＝n2 D．an＝n 解析　方法一(构造法)　由已知， 整理得(n＋1)an＝nan＋1，∴＝， ∴数列是常数列，且＝＝1，∴an＝n. 方法二(累乘法)　当n≥2时，＝， ＝，…，＝，＝，两边分别相乘，得＝n.∵a1＝1，∴an＝n. 答案　D 题型三　an与Sn关系的应用 　[教材例3提升]已知数列{an}的前n项和为Sn. (1)若Sn＝(－1)n+1·n，求a5＋a6及an； (2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an. [解析]　(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(－1)n+1·n－(－1)n·(n－1) ＝(－1)n+1·[n＋(n－1)] ＝(－1)n+1·(2n－1)， 又a1也适合此式， 所以an＝(－1)n+1·(2n－1). (2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n-1＋2(n－1)＋1]＝2·3n-1＋2， 由于a1不适合此式，所以an＝ 用an与Sn的关系求an的步骤 (1)先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式． (2)再利用Sn求出a1(a1＝S1). (3)验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式． (4)写出数列的通项公式． [触类旁通] 3．(2025·浙江嘉兴高二期末)已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n2＋n，则数列{an}的通项公式an＝________． 解析　当n＝1时，a1＝S1＝4； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2＋n－3(n－1)2－(n－1)＝6n－2. 显然n＝1时也符合上式，所以an＝6n－2. 答案　6n－2 [缜密思维提能区]　易错案例 忽视数列中项数的特殊性致误 [典例]　在数列{an}中，an＝3n2－14n－8，求该数列的最小项． [错解]　由于an＝3n2－14n－8＝3－，因此当n＝时，该数列的最小项等于－. [正解]　an＝3n2－14n－8＝3－，因为∈(2，3)，所以当n取距离最近的整数时，an最小，而a2＝－24，a3＝－23，所以该数列的最小项为a2＝－24. [纠错心得]　解决数列问题时，可以借鉴函数的方法，但必须注意数列相对函数的特殊性，尤其是数列中的项数n只能取正整数，在求解时应引起注意，避免出错． 知识落实 技法强化 (1)数列的递推公式． (2)数列{an}中an与前n项和Sn的关系． (1)常用累加法、累乘法求特殊数列的通项公式． (2)由Sn求an时要有分类讨论意识，对n＝1时的结果进行检验． 学科网（北京）股份有限公司 $