模块综合检测卷2（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

模块综合检测卷(二) [时间：120分钟　满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数f(x)＝x cos x－sin x，则f′的值为(　　) A．　　　　　　　 B．－ C．－1 D．－π 解析　因为f(x)＝x cos x－sin x， 所以f′(x)＝x′cos x＋′x－cos x＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x， 所以f′＝－sin ＝－. 答案　B 2．已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a4＝2a2，则a3＝(　　) A．1 B．2 C． D．2 解析　因为a3a4＝a2a5＝2a2，所以a5＝2， 设{an}的公比为q，则q4＝＝2，则q2＝，负值舍去，故a3＝a1q2＝. 答案　C 3．在等差数列{an}中，已知a1＝－9，a3＋a5＝－9，a2n－1＝9，则n＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析　由a3＋a5＝－9，a1＝－9，可得公差d＝， 故a2n－1＝a1＋d＝9，解得n＝7，故选A. 答案　A 4．函数f(x)＝(3x－1)e2x的最小值为(　　) A．－3e B．－e C．0 D．－4e-2 解析　由f(x)＝(3x－1)e2x，得f′(x)＝(6x＋1)e2x， 令f′(x)<0，得x<－； 令f′(x)>0，得x>－， 所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)＝(3x－1)e2x的最小值为f＝e＝－e. 答案　B 5．函数y＝x2－ln |x|的图象大致是(　　) 解析　易知y＝x2－ln |x|为偶函数，所以其图象关于y轴对称，由此排除A; 由定义域知x≠0，由此排除C； 又当x>0时，由y′＝，令y′＝>0，解得x>， 令y′＝<0，解得0<x<， 所以函数y＝x2－ln |x|在上单调递减，在 上单调递增． 所以y＝x2－ln x在区间(0，1)内有极小值，由此排除D，故选B. 答案　B 6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a5＝，a3＋a6＝，则S5＝(　　) A． B．63 C． D．31 解析　设等比数列{an}的公比为q， ∵a2＋a5＝，a3＋a6＝， ∴q(a2＋a5)＝q＝，解得q＝， ∴a2＋a5＝a1＝，解得a1＝8， 则S5＝＝，故选C. 答案　C 7．已知函数f(x)＝x2－2x＋m ln x在定义域内单调递增，则实数m的取值范围为(　　) A． B． C．(0，＋∞) D． 解析　∵f(x)＝x2－2x＋m ln x的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在定义域内单调递增， ∴f′(x)＝2x－2＋≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即m≥－2x2＋2x在(0，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝－2x2＋2x＝－22＋， ∴g(x)max＝， ∴m≥，即实数m的取值范围为. 答案　B 8．已知数列{an}满足a1＝1，2an＋1＝an.设bn＝an，若对于任意的n∈N＋，λ≥bn恒成立，则实数λ的取值范围是(　　) A． B．[2，＋∞) C．[5，＋∞) D．[6，＋∞) 解析　由数列{an}满足a1＝1，2an＋1＝an，得{an}是首项为1，公比为的等比数列，an＝，于是bn＝，bn＋1－bn＝－＝－， 当1≤n≤5时，bn＋1≥bn，当且仅当n＝5时等号成立，当n≥6时，bn＋1<bn， 因此当n≤5时，数列{bn}单调递增，当n≥6时，数列{bn}单调递减， 则当n＝5或n＝6时，(bn)max＝，而任意的n∈N＋，λ≥bn恒成立，则λ≥， 所以实数λ的取值范围是. 答案　A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则下列结论正确的是(　　) A．这个数列的第10项为 B．是该数列中的项 C．数列中的各项都在区间内 D．数列{an}是单调递减数列 解析　an＝＝＝，令n＝10得a10＝，故A错误； 令＝，得n＝33∈N＋，故是数列中的项，故B正确； 因为an＝＝＝1－， 又n∈N＋.所以数列{an}是单调递增数列， 所以≤an<1，故C正确，D不正确． 答案　BC 10．数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝且bn＝a2n－2，n∈N＋，则下列选项是数列{bn}中的项的有(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析　由题意，可得a2＝a1＋1＝×1＋1＝， b1＝a2－2＝－2＝－， bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋(2n＋1)－2＝(a2n－4n)＋2n－1＝(a2n－2)＝bn， 所以数列{bn}是以为公比，－为首项的等比数列， 所以bn＝－×＝－，所以－和－是{bn}中的项，故选BC. 答案　BC 11．对于函数f(x)＝16ln (1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是(　　) A．x＝3是函数f(x)的一个极值点 B．f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞) C．f(x)在区间(1，2)上单调递减 D．直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有2个交点 解析　由题意，函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝＋2x－10＝＝，令f′(x)<0，得1<x<3；令f′(x)>0，得－1<x<1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(1，3)，单调递增区间为(－1，1)，(3，＋∞)，所以x＝3是函数f(x)的极小值点，故A正确，B错误，C正确；又f(2)＝16ln 3－16，且f(3)<f(2)<f(1)，当x→－1时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以直线y＝16ln 3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点，故D错误．故选AC. 答案　AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在各项均为正项的等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31，＋＋＋＋＝，则a3＝________． 解析　设等比数列{an}的公比为q，则也是等比数列，且公比为， 依题意得 两式作比得aq4＝16，即a3＝a1q2＝±4， 因为an＞0，所以a3＝4. 答案　4 13．已知f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2，2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为________． 解析　由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0或x＝2，又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5， ∴f(x)在[－2，2]上的最大值为3，又f(x)≤a，x∈[－2，2]，∴a≥3. 答案　[3，＋∞) 14．已知函数f(x)＝xn，数列{an}的通项公式为an＝f′(2)，则数列{an}的前n项和为Sn＝______． 解析　由题意知an＝f′(2)＝n·2n-1，则数列{an}的前n项和Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n-1，2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，两式相减，得－Sn＝20＋21＋22＋…＋2n-1－n×2n＝2n－1－n×2n，即Sn＝(n－1)×2n＋1. 答案　(n－1)×2n＋1 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)给出以下三种方案：①设cn＝；②设cn＝an＋bn；③设cn＝anbn.任选一个补充在下面的问题中，并按要求进行求解． 已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)________________，求数列{cn}的前n项和Sn. 解析　(1)在等差数列{an}中，由题意可知解得 ∴an＝2n＋2. 在等比数列{bn}中，由题意可知解得∴bn＝4×2n-1＝2n+1. (2)若选①，由(1)知 cn＝＝＝， ∴Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋ ＝＝. 若选②，由(1)知cn＝2n＋2＋2n+1， ∴Sn＝4＋22＋6＋23＋8＋24＋…＋2n＋2＋2n+1 ＝(4＋6＋…＋2n＋2)＋22＋23＋24＋…＋2n+1 ＝＋ ＝n2＋3n＋2n+2－4. 若选③，由(1)知cn＝(n＋1)2n+2， ∴Sn＝2·23＋3·24＋…＋(n＋1)·2n+2， 2Sn＝2·24＋3·25＋…＋n·2n+2＋(n＋1)·2n+3， 作差得－Sn＝24＋24＋25＋…＋2n+2－(n＋1)·2n+3 ＝24＋－(n＋1)·2n+3 ＝－n·2n+3， ∴Sn＝n·2n+3. 16．(15分)(2025·全国一卷)已知数列{an}中，a1＝3，＝＋. (1)证明：数列{nan}为等差数列； (2)给定正整数m，设函数f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f′(－2). 解析　(1)证明　在数列{an}中，a1＝3，＝＋， ∴(n＋1)an＋1＝nan＋1，即(n＋1)an＋1－nan＝1， 又1×a1＝3， ∴{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列． (2)由题意及(1)得， 在数列{nan}中，首项为3，公差为1， ∴nan＝3＋1×(n－1)＝n＋2，即an＝1＋， 函数f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm， 即f(x)＝3x＋2x2＋…＋xm， f′(x)＝3＋4x＋…＋(m＋2)xm-1， ∴ 当x≠1且x≠0时， (1－x)f′(x)＝3＋x＋x2＋…＋xm-1－(m＋2)xm＝3＋－(m＋2)xm， ∴f′(x)＝＋－， ∴f′(－2)＝＋－ ＝1＋－ ＝1－－－ ＝－. 17．(15分)已知函数f(x)＝－x3＋x2＋ax＋2，a∈R. (1)当a＝3时，求函数f(x)的极值； (2)当0<a<时，若函数f(x)在上的最小值为，求实数a的值． 解析　(1)当a＝3时，函数f(x)＝－x3＋x2＋3x＋2，定义域为R，f′(x)＝－x2＋2x＋3＝－， 当x<－1或x>3时，f′(x)<0，当－1<x<3时，f′(x)>0，即函数f(x)在，上单调递减，在上单调递增， 因此当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝，当x＝3时，f(x)取得极大值f＝11， 所以f(x)的极小值为，极大值为11. (2)函数f(x)＝－x3＋x2＋ax＋2，0<a<，求导得f′(x)＝－x2＋2x＋a， 因为0≤x≤4，则由f′(x)＝0得x＝1＋，显然1＋<4， 当0≤x<1＋时，f′(x)>0，当1＋<x<4时，f′(x)<0， 因此函数f(x)在[0，1＋)上单调递增，在(1＋，4]上单调递减， 而f＝2，f＝4a－<2，则函数f(x)在上的最小值为f＝4a－＝， 解得a＝1， 所以实数a的值为1. 18．(17分)某地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除．已知旧城区的住房总面积为64a m2，每年拆除的住房面积相同；新城区计划十年建成，计划第一年建设住房面积2a m2，开始几年每年以100%的增长率建设新住房，然后从第五年开始，每年都比上一年减少2a m2. (1)若10年后该地新、旧城区的住房总面积正好比目前翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少m2? (2)设第n(1≤n≤10，n∈N)年新城区的住房面积为Sn m2，求Sn. 解析　(1)10年后新城区的住房总面积为2a＋4a＋8a＋16a＋14a＋12a＋10a＋8a＋6a＋4a＝84a.设每年旧城区拆除的住房面积为x m2， 则84a＋(64a－10x)＝2×64a，解得x＝2a， 即每年旧城区拆除的住房面积是2a m2. (2)设第n年新城区的住房建设面积为an m2， 则an＝ 所以当1≤n≤4时，Sn＝2(2n－1)a； 当5≤n≤10时， Sn＝2a＋4a＋8a＋16a＋14a＋…＋2(12－n)a ＝30a＋＝(23n－n2－46)a. 故Sn＝ 19．(17分)(2024·全国甲卷)已知函数f(x)＝(1－ax)ln (1＋x)－x. (1)当a＝－2时，求f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围． 解析　(1)当a＝－2时， f(x)＝(1＋2x)ln (1＋x)－x， 故f′(x)＝2ln (1＋x)＋－1 ＝2ln (1＋x)－＋1， 因为y＝2ln (1＋x)，y＝－＋1在(－1，＋∞)上为增函数， 故f′(x)在(－1，＋∞)上为增函数，而f′(0)＝0，故当－1<x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0， 故f(x)在x＝0处取极小值且极小值为f(0)＝0，无极大值． (2)f′(x)＝－a ln (1＋x)＋－1 ＝－a ln (1＋x)－，x>0， 设s(x)＝－a ln (1＋x)－，x>0， 则s′(x)＝－＝－， 当a≤－时，s′(x)>0，故s(x)在(0，＋∞)上为增函数，故s(x)>s(0)＝0，即f′(x)>0， 所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 故f(x)≥f(0)＝0. 当－<a<0时，当0<x<－时，s′(x)<0， 故s(x)在上为减函数，故在上s(x)<s(0)＝0，即f′(x)<0， 即在上f(x)为减函数， 故在上f(x)<f(0)＝0，不合题意，舍． 当a≥0时，此时s′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，同理可得在(0，＋∞)上f(x)<f(0)＝0恒成立，不合题意，舍； 综上，a≤－，即a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $