模块综合检测卷1（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

模块综合检测卷(一) [时间：120分钟　满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数f(x)＝ex－f′(1)x，则(　　) A．f(1)＝－ B．f′(1)＝－ C．f(2)＝e2－e D．f′(2)＝e2－e 解析　因为f(x)＝ex－f′(1)x， 所以f′(x)＝ex－f′(1)， 则f′(1)＝e－f′(1)，所以f′(1)＝， 则f(x)＝ex－x，所以f(1)＝，f′＝e2－，f＝e2－e. 答案　C 2．已知等差数列{an}的公差是2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于(　　) A．－6 B．－4 C．－8 D．－10 解析　因为等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列， 所以a＝a1a4，即2＝，解得a2＝－6 ，故选A. 答案　A 3．曲线y＝x2－3x上在点P处的切线平行于x轴，则P的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析　因为y＝x2－3x，所以y′＝2x－3，令y′＝0，即2x－3＝0，得x＝. 代入曲线方程y＝x2－3x，得y＝－，所以点P的坐标为 ，故选B. 答案　B 4．已知函数f(x)＝x－ln x，则函数f(x)(　　) A．在(0，1)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 解析　函数f(x)＝x－ln x的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝1－＝，当x>1时f′(x)>0，当0<x<1时f′(x)<0， 所以f(x)在上单调递增，(0，1)上单调递减． 答案　D 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，且S3＝S16，则Sn取最大值时，n＝(　　) A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 解析　设等差数列{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式，得S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，S16＝16a1＋d＝16a1＋120d，又∵S3＝S16， ∴3a1＋3d＝16a1＋120d， 即d＝－a1，又∵a1>0，∴d<0，由此可知，数列{an}是单调递减数列， 点在开口向下的抛物线上，又∵S3＝S16， ∴点与点关于直线x＝对称，∴当n＝9或n＝10时，Sn最大． 答案　C 6．函数y＝－x3－x2＋2的极值情况是(　　) A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值 解析　∵y＝－x3－x2＋2，∴y′＝－2x－3x2， 由y′＝0，得x＝0或x＝－， x∈时，y′<0；x∈时，y′>0；x∈(0，＋∞)时，y′<0， ∴函数y＝－x3－x2＋2的单调递减区间是，(0，＋∞)；单调递增区间是，∴当x＝－时，函数取得极小值，当x＝0时，函数取得极大值，∴函数y＝－x3－x2＋2既有极大值又有极小值． 答案　D 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若m>1，且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝(　　) A．38 B．20 C．10 D．9 解析　根据等差数列的性质可得am－1＋am＋1＝2am. ∵am－1＋am＋1－a＝0，∴2am－a＝0，∴am＝0或am＝2. 若am＝0，显然S2m－1＝am＝38不成立， ∴am＝2. ∴S2m－1＝am＝38，解得m＝10. 答案　C 8．已知函数f(x)＝x2＋，若f(x)在上单调递增，则实数m的取值范围为(　　) A． B． C．∪ D． 解析　由f(x)＝x2＋求导可得f′(x)＝2x－， 因为f(x)在上单调递增，所以在x∈时，f′(x)＝2x－≥0， 即m≤2x3，而当x∈时，2x3>16，所以m≤16，故选A. 答案　A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，公差为d，前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A．d>0 B．a1<0 C．当n＝5时Sn最小 D．Sn>0时n的最小值为8 解析　由a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d，又由等差数列{an}是递增数列，可知d>0，则a1<0，故A，B正确； 因为Sn＝n2＋n＝n2－n＝－， 由n∈N＋可知，当n＝3或4时Sn最小，故C错误； 令Sn＝n2－n>0，解得n<0或n>7， 又n∈N＋，则Sn>0时n的最小值为8，故D正确． 答案　ABD 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N＋，则下列说法正确的为(　　) A．数列{an＋1}是等差数列 B．数列{an＋1}是等比数列 C．数列{an}的通项公式为an＝2n－1 D．Tn<1 解析　由Sn＋1＝Sn＋2an＋1， 得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1， 可化为an＋1＋1＝2(an＋1)， 由S1＝a1＝1，可得数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 则an＋1＝2n，即an＝2n－1. 又＝＝－， 可得Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－<1， 故A错误，B、C、D正确． 答案　BCD 11．设函数f(x)＝x3－12x＋b，则下列结论错误的是(　　) A．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增 B．函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减 C．若b＝－6，则函数f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝10 D．若b＝0，则函数f(x)的图象与直线y＝10只有一个公共点 解析　对于选项A，B，由条件得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，故f(x)在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，故A，B都错误． 对于选项C，可得f′(－2)＝3×(－2)2－12＝0， f(－2)＝(－2)3－12×(－2)－6＝10， 故所求的切线方程为y－10＝0，即y＝10，所以C正确． 对于选项D，当b＝0时，由f(x)＝x3－12x＝10可得x3－12x－10＝0.令g(x)＝x3－12x－10，则g′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，故函数g(x)在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，所以当x＝－2时，g(x)有极大值，且极大值为g(－2)＝6＞0；当x＝2时，g(x)有极小值，且极小值为g(2)＝－26＜0，因此函数g(x)的图象与x轴有三个交点，从而函数f(x)的图象与直线y＝10有三个交点．故D错误． 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在数列{an}中，已知a1＝2，anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N＋)，记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2 023，则n的值为________． 解析　由anan－1＝2an－1－1(n≥2，n∈N＋)及a1＝2，得a2＝，a3＝，a4＝，…，an＝.数列{an}的前n项之积为Tn＝×××…×＝n＋1.∴当Tn＝2 023时，n的值为2 022. 答案　2 022 13．对正整数n，设曲线y＝(2－x)xn在x＝3处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为________． 解析　因为y＝(2－x)xn， 所以y′＝－xn＋n(2－x)xn-1， 所以y′|x＝3＝－3n－n·3n-1＝－3n-1(n＋3)， 所以切线方程为y＋3n＝－3n-1(n＋3)(x－3)， 令x＝0，得切线与y轴交点的纵坐标为an＝(n＋2)·3n，所以＝3n，则数列的前n项和为＝. 答案　 14．(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为________． 解析　令x3－3x＝－(x－1)2＋a， 即a＝x3＋x2－5x＋1， 令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x>0)， 则g′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)， 令g′(x)＝0(x>0)得x＝1， 当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， g(0)＝1，g(1)＝－2， 因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点， 所以等价于y＝a与g(x)有两个交点，所以a∈(－2，1). 答案　(－2，1) 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解析　(1)证明　由已知得2Sn＋n2＝2nan＋n. 当n＝1时，原式恒成立； 当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)； 两式相减，得2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1， 整理得(2n－2)an＝(2n－2)an－1＋(2n－2)， 因为n≥2，故2n－2>0， 所以an－an－1＝1(n≥2)， 所以数列{an}是公差为1的等差数列． (2)由(1)d＝1；由题意a＝a4a9， 即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，化简得a1＝－12. 故Sn＝na1＋d＝－12n＋ ＝n2－n＝－. 因为n∈N＋， 所以n＝12或n＝13时，(Sn)min＝－78. 16．(15分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，曲线y＝f(x)在点处的切线与y轴相交于点，求函数f(x)的极值． 解析　因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x， 所以f′(x)＝2a＋， 则f′(1)＝－8a＋6，又f(1)＝16a， 所以y＝f(x)在点处的切线方程为y－16a＝(x－1)，由点在切线上，可得6－16a＝8a－6，解得a＝. 所以f(x)＝2＋6ln x，则定义域为(0，＋∞)， 所以f′(x)＝x－5＋＝， 令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝3， 所以x，f′(x)，f(x)的关系如下表所示： x 2 (2，3) 3 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知，f(x)的单调递增区间为和，f(x)的单调递减区间为(2，3)， 所以f(x)极大值＝f＝2＋6ln 2＝＋6ln 2，f(x)极小值＝f＝2＋6ln 3＝2＋6ln 3. 17．(15分)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项an； (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 解析　(1)∵an＋1＝2Sn，则Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn，所以＝3， 又S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn＝3n-1(n∈N＋). ∴当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n-2(n≥2)， 又a1＝1≠2×31-2 所以an＝ (2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan， 当n＝1时，T1＝1； 当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n-2，① 3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n-1，② ①－②得－2Tn＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n-2)－2n·3n-1＝2＋2·－2n·3n-1＝－1＋(1－2n)·3n-1， ∴Tn＝＋3n-1(n≥2)， 又∵T1＝a1＝1也满足上式， ∴Tn＝＋3n-1(n∈N＋). 18．(17分)预计某地区明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f(x)(万件)近似满足：f(x)＝x(x＋1)(35－2x)(x∈N＋且x≤12). (1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过192万件； (2)如果将该商品每月都投放到该地区p万件(不包含积压商品)，要保证每月都满足供应，p应至少为多少万件？(积压商品转入下月继续销售) 解析　(1)x＝1时，g(1)＝f(1)＝66(万件)， 当x≥2时，g(x)＝f(x)－f(x－1) ＝x(x＋1)(35－2x)－(x－1)x(37－2x) ＝－6x2＋72x， 所以g(x)＝－6(x2－12x)(x∈N＋且x≤12). x＝1也满足． 由g(x)＞192，即－6(x2－12x)＞192， 化简得x2－12x＋32＜0，解得4＜x＜8. 又x∈N＋，所以x＝5，6，7. 综上，g(x)＝－6x2＋72x(x∈N＋且x≤12)， 第5，6，7月份的需求量超过192万件． (2)保证每月都满足供应，则 p≥对于x∈N＋，x≤12恒成立， ＝(x＋1)(35－2x)＝－2x2＋33x＋35， 所以x＝8时，取最大值171，所以p≥171. 即每月至少应投放171万件． 19．(17分)已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2a3＝15，S4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝. ①求数列{bn}的通项公式； ②是否存在正整数m，p(m≠p)，使得b2，bm，bp成等差数列？若存在，求出m，p的值；若不存在，请说明理由． 解析　(1)设数列{an}的公差为d，则d>0. 由a2a3＝15，S4＝16，得 解得或(舍去)， 所以an＝2n－1. (2)①因为b1＝a1，bn＋1－bn＝， 所以b1＝a1＝1， bn＋1－bn＝＝ ＝， 于是b2－b1＝×， b3－b2＝×， … bn－bn－1＝，n≥2， 累加，得bn－b1＝＝，n≥2， 所以bn＝b1＋＝1＋＝，n≥2. b1＝1也符合上式，故bn＝，n∈N＋. ②假设存在正整数m，p(m≠p)，使得b2，bm，bp成等差数列，则b2＋bp＝2bm. 又b2＝， bp＝＝－，bm＝－， 所以＋＝2， 即＝＋， 化简得2m＝＝7－. 当p＋1＝3，即p＝2时，m＝2(舍去)； 当p＋1＝9，即p＝8时，m＝3，符合题意． 所以存在正整数m＝3，p＝8，使得b2，bm，bp成等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $