6.1.4 求导法则及其应用（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·广东肇庆高二期末)若函数f(x)＝ex－x－1(e为自然对数的底数)，则f′(0)＝(　　) A．－1　　　　　　　　 B．0 C．1 D．2 解析　函数f(x)＝ex－x－1，求导得f′(x)＝ex－1，所以f′(0)＝0. 答案　B 2．(2025·江西上饶高二期末)函数f(x)＝ln x＋cos 的导数f′(x)＝(　　) A． B．＋sin C．－sin D．x－ 解析　f(x)＝ln x＋cos ＝ln x＋， 则f′(x)＝. 答案　A 3．函数y＝x(1－ax)2(a＞0)，则y′|x＝2＝5，则a等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)＝3a2x2－4ax＋1，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a＞0)， 解得a＝1(负值舍去). 答案　A 4．(2025·河北承德高二月考)已知f(x)＝e2x－x ln x＋x2＋2a(a∈R)，则f′(1)＝(　　) A．e2－1 B．e2＋1 C．2e2－1 D．2e2＋1 解析　由题意可得f′(x)＝2e2x－ln x－1＋2x， 所以f′(1)＝2e2＋1. 答案　D 5．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________． 解析　由y＝f(x)＝2x2＋1得f′(x)＝4x， 设切点为(x0，2x＋1)，则4x0＝1，解得x0＝，故切点为. 答案　 6．(2025·四川成都高二期中)已知函数f(x)＝a－在x＝1处的导数f′(1)＝2，则a的值为________． 解析　由f(x)＝a－可知f′(x)＝＋(x＞0)，所以f′(1)＝＋1＝2，解得a＝2. 答案　2 7．曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________． 解析　设切线的切点坐标为(x0，y0)，因为y＝ln x＋x＋1，所以y′＝＋1，k＝＋1＝2，x0＝1，y0＝2，所以切点坐标为(1，2)， 所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 答案　y＝2x 8．曲线y＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程． 解析　∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x， ∴y′|x＝0＝1. ∴曲线y＝esin x在(0，1)处的切线方程为 y－1＝x，即x－y＋1＝0. 又直线l与x－y＋1＝0平行， 故可设为x－y＋m＝0. 由＝得m＝－1或3. ∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋3＝0. [关键能力·综合提升] 9．已知函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝g(x)，函数g(x)的导函数为g′(x)，且g(x)＝2xg′(1)＋x2，则不等式f(x)>0的解集为(　　) A．(－4，0)∪(4，＋∞) B．(－2，0)∪(2，＋∞) C．(－4，0)∪(0，4) D．(－2，0)∪(0，2) 解析　因为g(x)＝2xg′(1)＋x2， 所以g′(x)＝2g′(1)＋2x. 因为g′(1)＝2g′(1)＋2，所以g′(1)＝－2， 所以g(x)＝－4x＋x2. 因为当x≥0时，f(x)＝g(x)， 所以当x≥0时，f(x)＝x2－4x，由x2－4x>0，可得x>4. 因为f(x)为奇函数， 所以当x<0时，由f(x)>0，可得－4<x<0. 故不等式f(x)>0的解集为(－4，0)∪(4，＋∞).故选A. 答案　A 10．(多选)已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，若直线x＋y＋m＝0对任意的实数m都不是曲线y＝f(x)的切线，则实数a的取值可以为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　因为f′(x)＝3x2－3a≥－3a，所以要使直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线，当且仅当－1＜－3a时成立，故a＜. 答案　AB 11．已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒，s表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0的时刻为________秒． 解析　s′＝t3－12t2＋32t，令s′＝0， 即t3－12t2＋32t＝0，因式分解得t(t－4)(t－8)＝0，解得t＝0，4，8. 答案　0或4或8 12．若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在平行于x轴的切线，则实数a的取值范围是________． 解析　若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在平行于x轴的切线，则f′(x)＝2ax＋＝0在(0，＋∞)上有解，即2a＝－.∵x>0，∴－<0，即2a<0，则a<0，故实数a的取值范围是(－∞，0). 答案　(－∞，0) 13．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围． 解析　(1)f′(x)＝＝. ∵f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切， ∴即 由ab－a＝0，得a(b－1)＝0， 由题意a≠0，∴b＝1，∴a＝4，∴f(x)＝. (2)∵f′(x)＝， ∴直线l的斜率k＝f′(x0)＝＝4. 令t＝，则t∈(0，1]， k＝4(2t2－t)＝8－，∴k∈， 即直线l的斜率k的取值范围是. [核心价值·探索创新] 14．设直线l1，l2分别是函数f(x)＝ 的图象在点P1，P2处的切线，l1与l2垂直交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，2) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 解析　由题意设P1(x1，ln x1)，P2(x2，－ln x2)(不妨令x1>1，0<x2<1)， 则由导数的几何意义易得切线l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝－.由已知得k1k2＝－1， ∴x1x2＝1，∴x2＝. ∴切线l1的方程为y－ln x1＝(x－x1)，切线l2的方程为y＋ln x2＝－(x－x2)， 即y－ln x1＝－x1·. 分别令x＝0， 得A(0，－1＋ln x1)，B(0，1＋ln x1). 又l1与l2的交点为P， ∵x1>1，∴S△PAB＝|yA－yB|·|xP|＝<＝1，∴0<S△PAB<1.故选A. 答案　A 15．已知函数f(x)＝e－x(cos x＋sin x)，将满足f′(x)＝0的所有正数x从小到大排成数列{xn}．证明：数列{f(xn)}为等比数列． 证明　f′(x)＝e－x·(－x)′·(cos x＋sin x)＋e－x(cos x＋sin x)′ ＝－e－x(cos x＋sin x)＋e－x(cos x－sin x) ＝－2e－xsin x. 由f′(x)＝0知－2e－xsin x＝0，得 x＝nπ，n为整数， 从而xn＝nπ，n＝1，2，3，…， 则f(xn)＝(－1)ne－nπ，f(x1)＝－e－π， 易知＝－e－π. 所以数列{f(xn)}是公比为q＝－e－π，且首项为f(x1)＝－e－π的等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $