6.1.3 基本初等函数的导数（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选)下列选项正确的是(　　) A．y＝ln 2，则y′＝ B．f(x)＝，则f′(3)＝－ C．y＝2x，则y′＝2xln 2 D．y＝log2x，则y′＝ 解析　对于A，y′＝0，故A错误； 对于B，∵f′(x)＝－， ∴f′(3)＝－，故B正确；显然C，D正确． 答案　BCD 2．函数y＝3x在x＝2处的导数为(　　) A．9　　　　　　　 B．6 C．9ln 3 D．6ln 3 解析　y′＝(3x)′＝3xln 3，故所求导数为9ln 3. 答案　C 3．已知函数f(x)＝xa(a∈Q，且a≠0)，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 解析　∵f′(x)＝axa-1，f′(－1)＝a(－1)a-1＝－4，∴a＝4. 答案　A 4．正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于的点为(　　) A． B．或 C．(k∈Z) D．或(k∈Z) 解析　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)， ∵y′＝cos x，令cos x0＝，∴x0＝2kπ＋或x0＝2kπ－，k∈Z，∴y0＝或－. 答案　D 5．已知f(x)＝x2，则f[f′(－2)]＝________． 解析　因为f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x. 于是f′(－2)＝－4， 故f[f′(－2)]＝f(－4)＝(－4)2＝16. 答案　16 6．物体的运动方程为s＝t3，则物体在t＝1时的速度是________，在t＝4时的速度为________． 解析　∵s′＝3t2，∴s′|t＝1＝3，s′|t＝4＝3×16＝48. 答案　3　48 7．已知函数f(x)＝若f′(a)＝12，则实数a的值为________． 解析　f′(x)＝若f′(a)＝12， 则或 解得a＝或a＝－2. 答案　或－2 8．求下列函数的导函数． (1)y＝sin ； (2)y＝x； (3)y＝log2x2－log2x； (4)y＝－2sin . 解析　(1)∵y＝sin＝， ∴y′＝0. (3)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝. (4)∵y＝－2sin ＝2sin· ＝2sincos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x． [关键能力·综合提升] 9．已知y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k＝(　　) A．e B．－e C． D．－ 解析　设切点P(x0，ln x0)， 则y′＝，∴k＝， 切线方程为y－ln x0＝(x－x0)， 即y＝x－1＋ln x0， ∴－1＋ln x0＝0，∴ln x0＝1， ∴x0＝e，∴k＝＝. 答案　C 10．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 解析　若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1. 对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则存在x1＝2kπ(k∈Z)，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立． 对于B：y′＝，若有·＝－1， 即x1x2＝－1. ∵x＞0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1. 对于C：y′＝ex，若有－1， 即＝－1，显然不存在这样的x1，x2. 对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1， 即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2. 综上所述，选BCD. 答案　BCD 11．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，水波面积的膨胀率是________． 解析　因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝πt2，故水波面积的膨胀率为S′＝πt. 当水波的半径为25 m时，由vt＝25，解得t＝50，即可得S′＝π×50＝25π. 答案　25π 12．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值为______，切线方程为________． 解析　因为y′＝， 所以切线方程为y－＝(x－a). 令x＝0，得y＝； 令y＝0，得x＝－a. 由题意知··a＝2，所以a＝4. 所以切线方程为y－2＝(x－4)， 即x－4y＋4＝0. 答案　4　x－4y＋4＝0 13．若一直线与圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0和函数y＝的图象相切于同一点P，求点P的坐标． 解析　易知切线的斜率存在且不为0. 设P(x0，y0)，由y＝，得y′＝， 所以切线的斜率为，又点P在函数y＝的图象上，所以y0＝.　① 圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0的标准方程为 (x－1)2＋(y－2)2＝5－a， 则过圆心C(1，2)与点P(x0，y0)的直线的斜率kPC＝＝－.　② 联立①②，解得x0＝2，y0＝1，故点P的坐标为(2，1). [核心价值·探索创新] 14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 024(x)＝________． 解析　由已知，得f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，以此类推，可得函数呈周期变化，且周期为4，则f2 024(x)＝f4(x)＝sin x. 答案　sin x 15．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处的两曲线的切线互相垂直？并说明理由． 解析　不存在．理由如下： 设y1＝sin x，y2＝cos x两条直线的一个公共点为P(x0，y0). 则两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为 k1＝cos x0，k2＝－sin x0，若使两条切线互相垂直，必须有cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，即sin 2x0＝2，这是不可能的， 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两曲线的切线互相垂直． 学科网（北京）股份有限公司 $