6.1.2 导数及其几何意义（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3　　　　　　　 B．3 C．6 D．－6 解析　由平均速度和瞬时速度的关系可知， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于－6，即质点在t＝1时的瞬时速度是－6. 答案　D 2．一物体做加速直线运动，假设t s时的速度为v(t)＝t2＋3，则t＝2时物体的瞬时加速度为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析　因为＝＝4＋Δt. 所以当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4. 所以t＝2时物体的瞬时加速度为4. 答案　A 3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 解析　设切点为(x0，y0)， 因为f′(x0)＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0. 由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2. 所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 答案　A 4．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　) 解析　由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负． 答案　D 5．已知质点运动方程为S＝t3－t＋2(S的单位是m，t的单位是s)，则该质点在t＝2 s时刻的瞬时速度为________ m/s. 解析　S′(2)＝ ＝[11＋6Δt＋(Δt)2]＝11. 答案　11 6．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________． 解析　由题意知a＋b＝3， y′|x＝1＝ ＝2a＝2， ∴a＝1，b＝2，故＝2. 答案　2 7．已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M处的瞬时变化率为－4，则点M的坐标为________． 解析　设点M(x0，y0)， f′(x0)＝ ＝4x0＝－4. ∴x0＝－1，则y0＝3，∴M(－1，3). 答案　(－1，3) 8．已知曲线y＝. (1)求曲线过点A(1，0)的切线方程； (2)求满足斜率为－的曲线的切线方程． 解析　(1)设过点A(1，0)的切线的切点坐标为，因为 ＝－， 所以该切线的斜率为－， 切线方程为y－＝－(x－a)， 将A(1，0)代入上式，得a＝. 所以所求的切线方程为y＝－4x＋4. (2)设切点坐标为P， 由(1)知，切线的斜率为k＝－， 则－＝－，x0＝±. 那么切点为P或P′. 所以所求的切线方程为 y＝－x＋或y＝－x－. [关键能力·综合提升] 9．已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则tan 2α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　∵f(1＋Δx)－f(1) ＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(13－2×1－1) ＝(Δx)3＋(Δx)2－2Δx， ∴f′(1)＝ ＝[(Δx)2＋Δx－2]＝－2， 故tan α＝－2，tan 2α＝＝， 故选C. 答案　C 10．(多选)若曲线y＝在点P(1，4)处的切线与直线l平行，且距离为，则直线l的方程为(　　) A．4x－y＋9＝0 B．4x＋y＋9＝0 C．4x－y＋25＝0 D．4x＋y－25＝0 解析　点P(1，4)在曲线y＝上，y′＝ ＝－4，∴切线的斜率k＝－4， ∴切线的方程为y－4＝－4(x－1)， 即4x＋y－8＝0，设直线l：4x＋y＋c＝0，由题意，得＝，∴c＝9或c＝－25，即直线l的方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0. 答案　BD 11．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________． 解析　∵Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2， ∴ ＝ (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1. ∴t0＝1. 答案　1 12．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________． 解析　由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在 x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2. 答案　2 13．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min). (1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？ (3)求T′(5)，并说明它的实际意义． 解析　(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，则T(0)－T(10)＝16，故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率为＝－＝－1.6. 它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)T′(5)＝ ＝－1.2，它表示t＝5时蜥蜴体温下降的瞬时速度为1.2 ℃/min. [核心价值·探索创新] 14．已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则 ＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析　由f(x)为奇函数，得f(1)＝－f(－1)， 所以 ＝ ＝f′(－1)＝1. 故选A. 答案　A 15．已知曲线f(x)＝，g(x)＝. (1)求两条曲线的交点坐标； (2)过两曲线交点作两条曲线的切线，求出切线方程； (3)求过交点的f(x)的切线与坐标轴围成的三角形面积． 解析　(1)由得 ∴两曲线的交点坐标为(1，1). (2)对曲线f(x)＝， 有f′(1)＝ ＝ ＝， ∴y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.对g(x)＝，有g′(1)＝ ＝ ＝－1. ∴g(x)在(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (3)由(2)知y＝f(x)在(1，1)处的切线方程为x－2y＋1＝0， 令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－1， ∴切线与坐标轴围成的三角形面积S＝××1＝. 学科网（北京）股份有限公司 $