6.1.1 函数的平均变化率（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数值的改变量Δy等于(　　) A．　　　　　　　 B．－ C．1 D．－1 解析　Δy＝－(2＋1)＝－. 答案　B 2．质点运动规律的方程是s＝t2＋3，则在时间[3，3＋Δt]内，相应的平均速度是(　　) A．6＋Δt B．6＋Δt＋ C．3＋Δt D．9＋Δt 解析　平均速度为＝＝6＋Δt. 答案　A 3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是(　　) A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定 解析　在t0处，虽然有W甲(t0)＝W乙(t0)，但W甲(t0－Δt)<W乙(t0－Δt)， 所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好． 答案　B 4．某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为(　　) A．－4 B．－8 C．6 D．－6 解析　由题得该质点从x＝1到x＝2的平均速度为＝＝－6. 答案　D 5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为________；函数f(x)在[－2，3]上的平均变化率为________． 解析　从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2，1]上的平均变化率为＝＝，在[－2，3]上的平均变化率为＝＝. 答案　　 6．若函数f(x)＝x2－m2在区间[2，t]上的平均变化率为5，则t等于________． 解析　因为函数y＝f(x)＝x2－m2在区间[2，t]上的平均变化率为5，所以＝＝5，解得t＝3. 答案　3 7．已知曲线y＝x2－1上两点A(3，2)，B(3＋Δx，2＋Δy)，当Δx＝1时，连线AB的斜率是______． 解析　y＝f(x)＝x2－1，x0＝3，Δx＝1， ∴kAB＝＝＝＝7. 答案　7 8．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率； (2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率； (3)若设x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意义． 解析　(1)Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2x－3x1＋5 ＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx. 当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21，所以平均变化率＝＝21. (2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92， 所以平均变化率＝＝19.2. (3)在(1)中，＝＝，它表示曲线上两点P0(4，39)与P1(5，60)所在直线的斜率； 在(2)中，＝＝，它表示曲线上两点P0(4，39)与P2(4.1，40.92)所在直线的斜率． [关键能力·综合提升] 9．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　) A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．不确定 解析　k1＝＝＝2x0＋Δx； k2＝＝＝2x0－Δx. 因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．故选D. 答案　D 10．(多选)自由落体运动的公式为s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，则下列说法不正确的是(　　) A．v是在0～1 s这段时间内的速率 B．v是从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率 C．5Δt＋10是物体在t＝1 s这一时刻的速率 D．5Δt＋10是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 解析　物体从1 s到(1＋Δt)s时间内的平均速率v＝＝＝5Δt＋10. 答案　ABC 11．如果一个质点从定点A开始运动，在时间t内的位移函数为y＝f(t)＝t3＋1.当t0＝4，且Δt＝0.01时，则＝________． 解析　∵Δy＝f(4＋Δt)－f(4) ＝(4＋Δt)3＋1－43－1 ＝(Δt)3＋48Δt＋12(Δt)2 ＝(0.01)3＋48×0.01＋12×(0.01)2 ＝0.481 201， ∴＝＝48.120 1. 答案　48.120 1 12．已知w是t的函数，部分函数值如下表所示． t 4 5 7 10 w 42 31 23.8 11.2 且[5，7]和[7，10]都是这个函数的定义域的子集，(1)估计t＝6时，w的值为________． (2)估计t＝8时，w的值为________． 解析　将w在[5，7]上的图象看成直线，得该直线的斜率为＝－3.6.又该直线过点(5，31)，所以w与t在[5，7]上的关系可近似地表示为w－31＝－3.6(t－5).令t＝6，得w＝27.4，即t＝6时，w的估计值为27.4，同理可得w与t在[7，10]上的关系可近似地表示为w－23.8＝－4.2(t－7)，令t＝8，得w＝19.6，即t＝8时，w的估计值为19.6. 答案　(1)27.4　(2)19.6 13．某地某天上午9：20的气温为23.4 ℃，下午1：30的气温为15.9 ℃，求在这段时间内气温的平均变化率． 解析　从上午9：20到下午1：30，共250 min，这段时间内气温的变化量为15.9－23.4＝－7.5(℃)(即气温下降7.5 ℃)，所以在这段时间内气温的平均变化率为＝－0.03(℃/min). [核心价值·探索创新] 14．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是(　　) A．④ B．③ C．② D．① 解析　①＝＝1； ②＝＝2.3； ③＝＝3.99； ④＝＝－. 答案　B 15．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，而且f(x)在定义域内的任意区间上的平均变化率均比g(x)＝x2－x＋1在同一区间内的平均变化率大，求证：f(4)－f(2)>10. 证明　函数g(x)在区间[2，4]上的平均变化率为＝＝5. 根据题意，可知函数f(x)在区间[2，4]上的平均变化率＝>5， 所以f(4)－f(2)>10. 学科网（北京）股份有限公司 $