阶段测评2 [范围：5.3]（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

阶段测评(二)[范围：5.3] (时间：50分钟　满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·山东潍坊期中)已知在等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝3，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝3n+1 B．an＝3n C．an＝3n-1 D．an＝3n 解析　由等比数列的通项公式易得an＝a1qn-1＝3n. 答案　B 2．(2025·广东深圳期中)已知数列{an}为等比数列，其中a6＝－1，a10＝－9，则a8＝(　　) A．－5 B．－3 C．3 D．5 解析　等比数列{an}的公比为q，则a8＝a6q2＝－q2<0，而a＝a6a10＝9， 所以a8＝－3. 答案　B 3．(2025·河南濮阳期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝1，S5－S2＝2，则S9－S6＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．16 解析　因为等比数列{an}，S3＝1，S5－S2＝2， 若q＝1，则S3＝3a1＝1，S5－S2＝5a1－2a1＝3a1＝2，矛盾，故q≠1， 所以 将a1＝代入第二个方程得·－·＝＝q2＝2. 所以S9－S6＝－＝＝. 因为＝1，q2＝2， 所以S9－S6＝＝1×23＝8. 答案　C 4．(2025·安徽合肥期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a7＋a8＋a9＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析　因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 因为S3＝2，S6－S3＝4，所以S9－S6＝8， 即a7＋a8＋a9＝8. 答案　D 5．(2025·广东广州期中)已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，a2·a8＝3，a3＋a7＝4，则＝(　　) A．3 B． C．4 D．或4 解析　设等比数列{an}的公比为q，由题有aq8＝3，a1q2＋a1q6＝4， 则a1q2(4－a1q2)＝3⇒(a1q2)2－4a1q2＋3＝0⇒⇒或⇒ 因为{an}是递增数列，则这种情况不满足题意，所以 则＝＝＝1＋q4＝4. 答案　C 6．(2025·北京顺义期中)数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝|2n－9|，bn＝2n-1，数列{cn}满足cn＝max{an，bn}，记Tn为数列{cn}前n项和，则T7＝(　　) A．124 B．128 C．132 D．136 解析　因为an＝|2n－9|，所以a1＝7，a2＝5，a3＝3，a4＝1，a5＝1，a6＝3，a7＝5， 因为bn＝2n-1，所以b1＝1，b2＝2，b3＝4，b4＝8，b5＝16，b6＝32，b7＝64， 所以数列{cn}前7项为7，5，4，8，16，32，64，则T7＝7＋5＋4＋8＋16＋32＋64＝136. 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．已知{an}是首项为1，公比不为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则(　　) A．q＝2 B．S9＝29－1 C．数列的前5项和为 D．6S3＝S9 解析　设{an}的公比为q，则q≠1，∵9S3＝S6， ∴9×＝，解得q＝2， ∴S9＝＝29－1， ∴选项A、B正确； ∵6S3＝6×(23－1)≠S9，∴选项D不正确； ∵{an}是等比数列，∴是首项为＝1，公比为＝的等比数列，∴数列的前5项和为＝，∴选项C正确． 答案　ABC 8．已知{an}为等比数列，则下列结论正确的是(　　) A．a1＋a3≥2a2 B．a＋a≥2a C．若a1＝a2，则a1＝a3 D．若a3>a1，则a4>a2 解析　设等比数列{an}的公比为q，当a1<0，q<0 时，a3<0，a2>0，故a1＋a3≥2a2不成立，故A不正确；a＋a＝＋(a2q)2＝a≥2a，当且仅当q2＝1时等号成立，故B正确；若a1＝a2，则q＝1，所以a1＝a3成立，故C正确；当a1＝1，q＝－2时，a3＝4，a2＝－2，a4＝－8，满足a3>a1，但a4>a2不成立，故D不正确. 答案　BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________． 解析　根据等比数列公式对a2a4a5＝a3a6化简得a1q＝1，联立a9a10＝－8，求出q5＝－2， 最后得a7＝a1q·q5＝q5＝－2. 设{an}的公比为q(q≠0)， 则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2， 则a1q＝1，因为a9a10＝－8， 则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3， 则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2， 故答案为：－2. 答案　－2 10．在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为________． 解析　设此数列的公比为q，则⇒故此数列共有5项． 答案　5 11．已知数列{an}满足a2＋a5＝18，a3a4＝32，若{an}为单调递减的等比数列，其前n项和为Tn＝63，则n＝________． 解析　若{an}为等比数列，则a2a5＝a3a4＝32， ∴a2，a5是方程x2－18x＋32＝0的两根． ∵{an}为单调递减的等比数列， ∴a2＝16，a5＝2，∴q＝，a1＝32， ∵Tn＝＝63，∴n＝6. 答案　6 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)已知等差数列{an}的公差d>0，且满足a1a5＝64，a3＝10，记Sn是数列{bn}的前n项和，且满足Sn＝2bn－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解析　(1)由题意得解得或(舍)， ∴an＝4＋(n－1)×3＝3n＋1， 即数列{an}的通项公式是an＝3n＋1. (2)∵Sn＝2bn－1①， 当n＝1时，b1＝S1＝2b1－1，得b1＝1， 当n≥2时，Sn－1＝2bn－1－1②， 由①－②得， bn＝Sn－Sn－1＝(2bn－1)－(2bn－1－1)， 化简得bn＝2bn－1，即＝2(n≥2)， ∴数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴bn＝2n-1， ∴cn＝an＋bn＝3n＋1＋2n-1， ∴Tn＝＋＝＋2n－1＝2n＋n2＋n－1. 13．(15分)已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1，a1＝3. (1)证明数列{an－n}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝－1，试求数列{cn}的前n项和Tn. 解析　(1)证明　由已知可得 an＋1－(n＋1)＝2(an－n)， 又a1＝3，即a1－1＝2， ∴{an－n}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴an－n＝2n，则an＝2n＋n. (2)由(1)，得cn＝－1＝1＋－1＝， ∴Tn＝＋＋＋…＋＋，① Tn＝＋＋＋…＋＋，② ①－②，得 Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－ ＝1－， ∴Tn＝2－(n＋2). 14．(15分)已知Sn为数列{an}的前n项和，且an＋2Sn＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Mn； (3)设Tn＝a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an，若不等式(－1)nλ<Tn＋对一切n∈N＋恒成立，求实数λ的取值范围． 解析　(1)当n＝1时，a1＋2S1＝3a1＝1，可得a1＝， 当n≥2时， 两式相减，可得3an＝an－1， ∴{an}是首项、公比都为的等比数列， 故an＝. (2)由(1)知，bn＝＝＝－， ∴Mn＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝－－ ＝. (3)由题设知 Tn＝＋3·＋5·＋…＋(2n－1)·，① ∴Tn＝＋3·＋5·＋…＋(2n－3)·＋(2n－1)·，② 由①－②，得＝2·－(2n－1)·－＝－， ∴Tn＝1－. 由(－1)nλ<Tn＋＝1－对一切n∈N＋恒成立，令cn＝， 则cn＋1－cn＝－＝＝<0，∴数列{cn}单调递减， ∴当n为奇数，λ>－1恒成立且y＝－1在n∈N＋上递减，则λ>＝－1＝－；当n为偶数，λ<1－恒成立且y＝1－在n∈N＋上递增，则λ<＝1－＝. 综上，－<λ<. 学科网（北京）股份有限公司 $