阶段测评1 [范围：5.1～5.2]（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

阶段测评(一)[范围：5.1～5.2] (时间：50分钟　满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·广东佛山期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝2，S3＝12，则公差d＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　S3＝3a1＋3d＝6＋3d＝12，解得d＝2. 答案　B 2．(2025·山东潍坊期中)已知数列{an}满足an＋2＝－，且a1＝1，a2＝2，则a2 025＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－ 解析　由题意，a1＝1，a2＝2， 则a3＝－＝－1，a4＝－＝－，a5＝－＝1，a6＝－＝2，…， 所以数列{an}是周期为4的数列， 则a2 025＝a506×4＋1＝a1＝1. 答案　A 3. (2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝(　　) A．－2 B． C．1 D． 解析　方法一　利用等差数列的基本量 由S9＝1，根据等差数列的求和公式，得 S9＝9a1＋d＝1，即9a1＋36d＝1， 故a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d ＝(9a1＋36d)＝. 方法二　利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，得a1＋a9＝a3＋a7， 由S9＝1，根据等差数列的求和公式，得 S9＝＝＝1， 故a3＋a7＝. 方法三　特殊值法 不妨取等差数列公差d＝0，则S9＝1＝9a1，解得a1＝，则a3＋a7＝2a1＝. 答案　D 4．(2025·河南南阳期中)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2＝4，S3＝12，则{an}的公差d＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析　a3＝S3－S2＝12－4＝8，S2＝a1＋a2＝(a3－2d)＋(a3－d)＝16－3d＝4，所以d＝4. 答案　A 5．(2025·河南南阳期末)若{an}是等差数列，Sn表示{an}的前n项和，a5＋a14<0，S17>0，则{Sn}中最大的项是(　　) A．S7 B．S8 C．S9 D．S10 解析　因为S17＝＝17a9>0， 所以a9>0， 因为a5＋a14＝a9＋a10<0，所以－a10>a9>0， 所以公差d＝a10－a9<0， 故当n≤9时，an>0，当n≥10时，an<0， 所以当n＝9时，Sn取得最大值，即{Sn}中最大的项是S9. 答案　C 6．(2025·河南南阳期中)在等差数列{an}中，已知S8＝48，S12＝168，则S4＝(　　) A．－16 B．－14 C．－10 D．－8 解析　根据等差数列前n项和性质，可得S4，S8－S4，S12－S8成等差数列， 所以2(S8－S4)＝S12－S8＋S4，即2(48－S4)＝168－48＋S4，解得S4＝－8. 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．(2024·吉林延边高二期末)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－7，S2＝－12，则下列结论正确的是(　　) A．an＝2n－9 B．{an}为递减数列 C．a3＋a6＝0 D．S7＝a1 解析　设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＝－7，S2＝－12， 可得a2＝S2－a1＝－12－(－7)＝－5， 解得d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－7＋2(n－1)＝2n－9，所以A正确； 因为d＝2>0，所以数列{an}为递增数列，所以B错误； 由a3＝－3，a6＝3，可得a3＋a6＝0，所以C正确； 因为S7＝7×(－7)＋×2＝－7， 所以S7＝a1，所以D正确． 答案　ACD 8．已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，且满足an＋4Sn－1·Sn＝0(n≥2)，a1＝，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}的前n项和为Sn＝ B．数列{an}的通项公式为an＝ C．数列{an}为递增数列 D．数列为递增数列 解析　∵an＋4Sn－1·Sn＝0(n≥2)， ∴Sn－Sn－1＋4Sn－1·Sn＝0， ∵Sn≠0，∴－＝4， ∴数列为以＝4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，D正确； ∵＝4＋4(n－1)＝4n，∴Sn＝，A正确； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－， ∴an＝B、C不正确． 答案　AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．在等差数列{an}中，a1＝10，令Sn为{an}的前n项和，若S10S11<0，则使得an>0成立的最大整数n为________． 解析　由题意，知S10>0，S11<0. 因为S10＝＝5(a5＋a6)>0， 所以a5＋a6>0. 又S11＝＝11a6<0， 所以a6<0，所以所以使得an>0成立的最大整数n为5. 答案　5 10．已知数列{an}对任意的p，q∈N＋满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－4，则a6＝________，an＝______． 解析　令p＝n，q＝1，得an＋1＝an＋a1， 即an＋1－an＝a1， 又a2＝a1＋a1＝－4，得a1＝－2. 故数列{an}是首项为－2，公差为－2的等差数列．所以a6＝a1＋5d＝－12，an＝a1＋(n－1)d＝－2n. 答案　－12　－2n 11．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的第100项是______． 解析　因为1＋2＋3＋…＋n＝， 由≤100，得n的最大值为13， 即最后一个13是第91项，而14共有14项， 所以第100项是14. 答案　14 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析　(1)证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，且an＋2SnSn－1＝0， 即(Sn－Sn－1)＋2SnSn－1＝0，可得－＝2，且＝＝2.故数列是以首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可知＝2＋2(n－1)＝2n， 即Sn＝， 当n≥2时，an＝－2SnSn－1＝－， 当n＝1时，a1＝不符合上式， 所以an＝ 13．(15分)(2025·江苏南通月考)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2n(n≥2). (1)求a2，a3； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式an. 解析　(1)由题设，a2＝2a1＋22＝6，a3＝2a2＋23＝20. (2)证明　因为an＝2an－1＋2n(n≥2)， 所以＝＋1(n≥2)，即－＝1(n≥2)， 所以数列是首项＝，公差d＝1的等差数列． (3)由(2)得＝＋(n－1)×1＝n－， 所以an＝·2n. 14．(15分)(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解析　(1)∵3a2＝3a1＋a3， ∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d， ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d， 又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝， ∴S3＋T3＝6d＋＝21， 即2d2－7d＋3＝0， 解得d＝3或d＝(舍去)， ∴an＝a1＋(n－1)·d＝3n. (2)∵{bn}为等差数列， ∴2b2＝b1＋b3，即＝＋， ∴6＝＝， 即a－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d， ∵d>1，∴an>0， 又S99－T99＝99， 由等差数列性质知，99a50－99b50＝99， 即a50－b50＝1， ∴a50－＝1，即a－a50－2 550＝0， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去). 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51， 解得d＝1，与d>1矛盾，无解； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51， 解得d＝. 综上，d＝. 学科网（北京）股份有限公司 $