5.5 数学归纳法（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n·(4n2－1)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边增加的项为(　　) A．(2k)2　　　　　　　 B．(2k＋3)2 C．(2k＋2)2 D．(2k＋1)2 解析　用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝n(4n2－1)的过程中， 第二步，假设n＝k时等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝k(4k2－1)， 那么，当n＝k＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝k(4k2－1)＋(2k＋1)2， 等式左边增加的项是(2k＋1)2，故选D. 答案　D 2．若命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立，又已知命题p(2)成立，则下列结论正确的是(　　) A．p(n)对所有正整数n都成立 B．p(n)对所有正偶数n都成立 C．p(n)对所有正奇数n都成立 D．p(n)对所有大于1的正整数n都成立 解析　初始值n＝2为偶数，而由p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立就可以判断n取所有正偶数时p(n)均成立．选B. 答案　B 3．设f(n)＝5n＋2×3n-1＋1(n∈N＋)，若f(n)能被m(m∈N＋)整除，则m的最大值为(　　) A．2　　　 B．4 C．8　　　 D．16 解析　f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8. 答案　C 4．(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋>－1(n∈N＋，n≥2)时，以下说法正确的是(　　) A．第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B．“n＝k(k∈N＋，k≥2)到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C．从“n＝k(k∈N＋，k≥2)到n＝k＋1”左边需要增加2k-1项 D．当n＝2时不等式左边是 解析　第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；因为＋＋＋…＋－＝＋＋…＋(k∈N＋)，所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，所以B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k-1项，所以C正确；当n＝2时，＝，不等式左边是，所以D正确． 答案　CD 5．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________． 解析　∵210＝1 024＞103，29＝512＜93， ∴n0最小应该为10. 答案　10 6．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边的项是________． 解析　因为当n＝1时，an+1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2. 答案　1＋a＋a2 7．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N＋”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________． 解析　n＝k时，左边式子为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左边式子为(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2).故左边增乘的因式是2(2k＋1). 答案　2(2k＋1) 8．已知n∈N＋，n>2.求证：1＋＋＋…＋>. 证明　(1)当n＝3时，左边＝1＋＋， 右边＝＝2，左边>右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥3)时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋>. 当n＝k＋1时， 1＋＋＋…＋＋>＋ ＝＝> ＝＝， 所以1＋＋＋…＋＋>. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知对一切n∈N＋，n>2，不等式恒成立． [关键能力·综合提升] 9．f(n)和g(n)都是定义在正整数集上的函数，满足： ①f(1)＝g(1)；②对任何正整数n，f(n)－f(n－1)＝g(n)－g(n－1).那么猜想对任何正整数n，有(　　) A．f(n)＞g(n) B．f(n)＜g(n) C．f(n)＝g(n) D．f(n)与g(n)大小关系不能确定 解析　易用数学归纳法证明f(n)＝g(n)对任何正整数n均成立．故选C. 答案　C 10．(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题不一定成立的是(　　) A．若f(1)＜2成立，则f(10)＜11成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C.若f(2)＜3成立，则f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 解析　根据题意，若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立． 答案　ABC 11．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法验证关于f(n)的命题时，第一步计算f(1)＝________；第二步“从n＝k到n＝k＋1时”，f(k＋1)＝f(k)＋________． 解析　∵f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)， ∴f(1)＝1＋＝； f(k＋1)＝1＋＋＋…＋ ＝1＋＋＋…＋＋＋＋ ＝f(k)＋＋＋. 答案　　＋＋ 12．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都有(Sn－1)2＝anSn，则S1＝__________；进一步通过计算求得S2，S3，猜想Sn＝_______． 解析　由(S1－1)2＝S得S1＝； 由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得S2＝； 由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得S3＝. 猜想Sn＝. 答案　　 13．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N＋. (1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明． 解析　(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1. 所以f(1)＝g(1)； 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝， 所以f(2)<g(2)； 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝， 所以f(3)<g(3). (2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明． ①当n＝1，2，3时，不等式显然成立． ②假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时不等式成立， 即1＋＋＋＋…＋<－. 那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋<－＋. 因为－ ＝－＝<0， 即<－， 所以f(k＋1)<－＝g(k＋1). 由①②可知，对一切n∈N＋，都有f(n)≤g(n)成立． [核心价值·探索创新] 14．若不等式＋＋＋…＋<对于一切n∈N＋恒成立，则正整数m的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 解析　令bn＝＋＋＋…＋， 则bk＋1－bk＝＋＋…＋＋＋－ ＝＋－<0. ∴bk＋1<bk， ∴数列{bn}为递减数列． 要使bn<恒成立，只需b1<. ∴＋<，得m>＝7， ∴正整数m的最小值为8. 答案　A 15．在数列{an}中，已知an>0，Sn＝(n∈N＋). (1)计算：a1，a2，a3的值； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明． 解析　(1)当n＝1时，由题意可得a1＝S1＝， ∵an>0，∴a1＝1. 当n＝2时，由题意可得a1＋a2＝， ∵an>0，∴a2＝－1. 当n＝3时，由题意可得a1＋a2＋a3＝， ∵an>0，∴a3＝－. 综上，a1＝1，a2＝－1，a3＝－. (2)猜想：an＝－(n∈N＋). 证明：①当n＝1时，a1＝1，上式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时上述猜想成立， 即ak＝－成立，则当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－， ∴ak＋1－＝－ ＝－ ＝－2， ∴a＋2·ak＋1－1＝0， ∴ak＋1＝＝－±. ∵ak＋1>0， ∴ak＋1＝－，∴n＝k＋1时，猜想成立． 由①②可知，对任意n∈N＋，an＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $