5.3.2 第2课时 数列求和(习题课)（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．数列1，2，3，4，…前n项的和为(　　) A．＋　　　　 B．－＋＋1 C．－＋ D．－＋ 解析　数列1，2，3，4，…前n项的和S＝(1＋2＋3＋4＋…＋n)＋＝＋＝－＋＋1. 答案　B 2．(2025·浙江杭州高二期末)若数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则＋＋…＋＝(　　) A． B． C． D． 解析　＝＝－，则＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝. 答案　A 3．已知数列{an}满足an＋1＝3an，且a1＝－1，则数列{an＋2n}的前5项和为(　　) A．－151 B．－91 C．91 D．151 解析　∵数列{an}满足an＋1＝3an，且a1＝－1， ∴数列{an}是首项为－1，公比为3的等比数列， ∴an＝－1×3n-1＝－3n-1， ∴数列{an＋2n}的前5项和为 S5＝(－30＋2)＋(－31＋4)＋(－32＋6)＋(－33＋8)＋(－34＋10) ＝(－30－31－32－33－34)＋(2＋4＋6＋8＋10) ＝＋＝－121＋30 ＝－91. 答案　B 4．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋，则数列{an}的前100项之和为(　　) A．6－ B．6－ C． D． 解析　令数列{an}的前n项和为Sn， 因为an＝， 则Sn＝1＋＋＋…＋， 则有Sn＝＋＋＋…＋＋ 两式相减得Sn＝1＋1＋＋＋…＋－＝1＋－＝3－， 因此Sn＝6－，有S100＝6－， 所以数列{an}的前100项之和为6－. 答案　B 5．(2025·江西新余高二月考)数列{(－1)n(2n－1)}的前100项和等于________． 解析　{(－1)n(2n－1)}的前100项和等于(－1)＋3＋(－5)＋7＋(－9)＋11＋…＋(－197)＋199＝[(－1)＋(－5)＋(－9)＋…＋(－197)]＋(3＋7＋11＋…＋199)＝＋＝100. 答案　100 6．(2025·江苏南京高二期末)已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝14，且a1，a3，a11成等比数列，设bn＝(－1)n+1an，数列{bn}的前n项的和为Sn，则S2 025＝________． 解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为a5＝14，a1，a3，a11成等比数列，则a＝a1·a11，即(a5－2d)2＝(a5－4d)·(a5＋6d)， 整理得14d2＝3a5d＝42d，由d≠0，解得d＝3， 所以an＝a5＋(n－5)d＝14＋3(n－5)＝3n－1， 则bn＝(－1)n+1(3n－1)， 所以S2 025＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2 024＋b2 025)＝2＋3×1 012＝3 038. 答案　3 038 7．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n-1·n，S50＝______． 解析　S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50 ＝(－1)×25＝－25. 答案　－25 8．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和． 解析　(1)设{an}的公比为q， ∵a1为a2，a3的等差中项， ∴2a1＝a2＋a3，a1≠0，∴q2＋q－2＝0， ∵q≠1，∴q＝－2. (2)设{nan}的前n项和为Sn， a1＝1，an＝(－2)n-1， Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n-1，① －2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)(－2)n-1＋n(－2)n，② ①－②得，3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n-1－n·(－2)n＝－n(－2)n＝， ∴Sn＝. [关键能力·综合提升] 9．数列1，，，…，的前n项和为(　　) A． B． C． D． 解析　该数列的通项为an＝， 分裂为两项差的形式为an＝2， 令n＝1，2，3，…， 则Sn＝2， ∴Sn＝2＝. 答案　B 10．已知数列{an}满足an＝，数列{an}的前n项和为Tn.若Tn>(n∈N＋)恒成立，则λ的取值范围是(　　) A． B．(－∞，5) C． D．(－∞，4) 解析　an＝＝， 故Tn＝＝＝， 故Tn>(n∈N＋)恒成立等价于>λ， 即>λ恒成立， 化简得>λ. 因为≥＝4， 当且仅当n＋1＝，即n＝2时，等号成立， 所以λ<4. 答案　D 11．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝______． 解析　由题意知，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100. 答案　100 12．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n-1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是________． 解析　S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29， S22＝－4×11＝－44， S31＝－4×15＋a31＝－4×15＋121＝61， S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76. 答案　－76 13．(2024·河北衡水高二期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，2a2＋a6＝27，S5＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为2a2＋a6＝27，S5＝40， 所以 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1； (2)由(1)知bn＝ ＝， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝＝. [核心价值·探索创新] 14．若f(x)＋f(1－x)＝2，an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式是________． 解析　令x＝，则f＋f＝2， f＝1，当n为偶数时， an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1) ＝[f(0)＋f(1)]＋＋…＋＋f ＝2×＋1＝n＋1. 当n为奇数时， an＝f(0)＋f＋f＋…＋f＋f(1) ＝[f(0)＋f(1)]＋＋…＋ ＝2×＝n＋1. 综上所述，an＝n＋1. 答案　an＝n＋1 15．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋<2. 解析　(1)S1＝a1＝1，所以＝1， 所以是首项为1，公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)·＝， 所以Sn＝an. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 所以(n－1)an＝(n＋1)an－1， 即＝(n≥2)； 累积法可得an＝(n≥2)， 又a1＝1满足该式， 所以{an}的通项公式为an＝. (2)证明　因为an＝， 所以＝＝2， 所以＋＋…＋＝2＝2<2. 学科网（北京）股份有限公司 $