5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn.若S9＝511，则a3＝(　　) A．4　　　　　　　 B．8 C．16 D．32 解析　依题意S9＝＝511a1＝511，a1＝1，所以a3＝1×22＝4. 答案　A 2．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝14，则其公比q为(　　) A．3 B．－1 C．1 D．2 解析　设该等比数列的公比为q， 由a1＝2，S3＝14可得，S3＝14＝a1(1＋q＋q2)， 即q2＋q－6＝0，又等比数列{an}每一项均是正数，于是q>0，由q2＋q－6＝0可解得q＝2. 答案　D 3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，a3＝3，S3＝9，则首项a1＝(　　) A．－ B．12 C．1或－ D．3或12 解析　∵Sn是等比数列{an}的前n项和，a3＝3，S3＝9， ∴当公比q＝1时，a1＝3，此时S3＝9满足题意， 当公比q≠1时，解得 ∴首项a1的值为3或12. 答案　D 4．设Sn为数列{an}的前n项和，下列选项中，可使数列{an}为等比数列的是(　　) A．数列{an}通项公式an＝0 B．数列{an}通项公式an＝a1qn-1(其中a1，q为常数) C．Sn＝2n+1＋2 D．Sn＝2n+1－2 解析　对于A，等比数列各项不为0，故A错误； 对于B，a1，q有一项为0时，就不为等比数列，故B错误； 对于C，若Sn＝2n+1＋2，可得a1＝6，a2＝4，a3＝8，显然a≠a1a3，故C错误； 对于D，若Sn＝2n+1－2，符合等比数列前n项和Sn＝C－Cqn的形式，故D正确． 答案　D 5．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝16，若anSn＝Sn＋3－Sn－1，则n＝________． 解析　因为a2＝2，a5＝16，可得 解得a1＝1，q＝2， 因为anSn＝Sn＋3－Sn－1，可得a1qn-1·＝－， 即2n-1·(1－2n)＝(1－2n+3)－(1－2n-1)，化简得22n-1＝2n+3， 所以2n－1＝n＋3，解得n＝4. 答案　4 6．(2025·河北邢台高二月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝4×3n-1＋t，则t＝________． 解析　设等比数列{an}公比为q(q≠1)，则Sn＝＝－， 即等比数列{an}的前n项和Sn要满足Sn＝ABn－A(AB≠0)，又因为Sn＝4×3n-1＋t＝×3n＋t，所以t＝－. 答案　－ 7．(2024·云南保山高二期末)等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝________． 解析　设数列{an}共有2m＋1项， 由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝， S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝， 则S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)＝2＋q＝，解得q＝. 答案　 8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 解析　(1)依题意有S1＋S2＝2S3， 即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－. (2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4. 从而Sn＝＝ . [关键能力·综合提升] 9．(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　) A．q＝2 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{log2an}是公差为2的等差数列 解析　因为数列{an}为等比数列，a1a4＝32， 所以a2a3＝32. 由 得或 又公比q为整数，所以 所以an＝2n，Sn＝＝2n+1－2.易知A正确； 对于B，Sn＋2＝2n+1，＝＝2，所以数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确； 对于C，S8＝29－2＝510，故C正确；对于D，log2an＋1－log2an＝(n＋1)－n＝1，即数列{log2an}是公差为1的等差数列，故D错误．故选ABC. 答案　ABC 10．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A．若Sn＝(n＋1)2，则{an}是等差数列 B．若Sn＝2n－1，则{an}是等比数列 C．若{an}是等差数列，则S2n－1＝(2n－1)an D．若{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列 解析　对于A，当n＝1时，a1＝S1＝4； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1； 经检验，a1＝4不满足an＝2n＋1， ∴数列{an}自第二项起为等差数列，A错误； 对于B，当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n-1＋1＝2n-1；经检验：a1＝1满足an＝2n-1， ∴an＝2n-1(n∈N＋)， ∴数列{an}是等比数列，B正确； 对于C，S2n－1＝＝＝(2n－1)an，C正确； 对于D，当an＝(－1)n时，S2＝0，S4－S2＝0，S6－S4＝0，此时Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不构成等比数列，D错误． 答案　BC 11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，＝21，则数列的前4项和为________． 解析　设等比数列{an}的公比为q， 则由a1＝2，＝21，得＝＝21， 整理得q4＋q2－20＝0， 解得q＝2或q＝－2， 所以an＝2n或an＝2·(－2)n-1. 当an＝2n时， 数列的前4项和为＋＋＋＝； 当an＝2·(－2)n-1时，数列的前4项和为 －＋－＝. 答案　或 12．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋r，则a3－r＝________，数列的最大项是第k项，则k＝________． 解析　等比数列前n项和公式具有特征： Sn＝aqn－a，据此可知r＝－1， 则Sn＝3n－1，a3＝S3－S2＝(33－1)－(32－1)＝18，a3－r＝19. 令bn＝n(n＋4)，则＝·， 由＝·>1可得n2<10， 由＝·<1可得n2>10，据此可得，数列中的项满足b1<b2<b3<b4，且b4>b5>b6>b7>…，则k＝4. 答案　19　4 13．已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项． (1)求S2和S3； (2)求数列{an}的前n项和． 解析　(1)根据已知条件，可得 整理得解得 (2)因为q≠1，所以 解得 所以Sn＝＝－. [核心价值·探索创新] 14．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　) A．0<q<1 B．a7a9<1 C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7 解析　因为a1>1，a7a8>1，<0，所以a7>1，0<a8<1，所以0<q<1，故A正确；又a7a9＝a<1，故B正确；T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；因为a7>1，0<a8<1，Sn的最大值不是S7，故D不正确．故选ABC. 答案　ABC 15．已知数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3(n∈N＋). (1)求a2及an； (2)若Sn满足>，求n的值． 解析　(1)由2an＋1＋Sn＝3， 得2a2＋a1＝3. 因为a1＝，所以a2＝. 由2an＋1＋Sn＝3，2an＋Sn－1＝3(n≥2)， 得＝.又＝， 所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列． 故an＝·＝3·(n∈N＋). (2)由(1)可得Sn＝＝3， 所以S2n＝3，所以＝1＋. 令1＋>，得>， 即2n<63，且n∈N＋， 故n的值可以为1，2，3，4，5. 学科网（北京）股份有限公司 $