5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·云南大理高二期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝11，S10＝24，则S15＝(　　) A．34　　　　　　　 B．39 C．42 D．45 解析　由S5，S10－S5，S15－S10成等差数列， 则2(S10－S5)＝S5＋S15－S10， 即2(24－11)＝11＋S15－24，故S15＝39. 答案　B 2．(2025·湖北武汉高二月考)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于(　　) A．10 B．100 C．110 D．120 解析　因为数列{an}是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为d′， 则－＝2＝2d′，则d′＝1，又因为＝a1＝1， 所以＝1＋n－1＝n，所以Sn＝n2， 所以S10＝100. 答案　B 3．等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 解析　∵S奇数＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝132，S偶数＝＝a2＋a4＋…＋a2n ＝120， ∴S奇数－S偶数＝a2n＋1－nd＝an＋1＝12， ∴S2n＋1＝S奇数＋S偶数＝252＝＝(2n＋1)an＋1＝12(2n＋1)，解得n＝10. 答案　C 4．已知等差数列{an}共有10项，其偶数项之和为20，奇数项之和为5，则该数列的公差为(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析　因为a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5，a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝20，所以5d＝15，d＝3. 答案　D 5．等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且＝3，则＝__________． 解析　由等差数列性质可得＝＝3，解得＝. 答案　 6．(2025·广东东莞高二月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S40＝________． 解析　因为数列{an}是等差数列，所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍然是等差数列， 所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列， 因为S10＝10，S20＝30，所以2(S20－S10)＝S10＋S30－S20⇒S30＝60， 2(S30－S20)＝S40－S30＋S20－S10⇒S40＝100. 答案　100 7．(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列．则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析　利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答． 方法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1＋d， ＝a1＋d＝n＋a1－， －＝， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 即－＝＝为常数，设为t，即＝t， 则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)， 有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2， 两式相减得：an＝nan＋1－(n－1)an－2tn， 即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确． 方法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d， 即Sn＝na1＋d，则＝a1＋d＝n＋a1－， 因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列， 即－＝D，＝S1＋(n－1)D， 即Sn＝nS1＋n(n－1)D， Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D， 当n≥2时，上两式相减得： Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D， 当n＝1时，上式成立， 于是an＝a1＋2(n－1)D， 又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件．故选C. 答案　C 8．已知项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数． 解析　设等差数列{an}共有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项是第n＋1项，即an＋1. 所以＝＝＝＝＝， 所以n＝3. 因为S奇＝(n＋1)an＋1＝44，所以an＋1＝11. 所以这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7项． [关键能力·综合提升] 9．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，则(　　) A．S3，S6－S3，S9－S6成等差数列 B．，，成等差数列 C．S9＝2S6－S3 D．S9＝3(S6－S3) 解析　因为Sn为等差数列{an}的前n项和， 设等差数列的公差为d，则S9＝9a1＋36d， S6＝6a1＋15d，S3＝3a1＋3d， 则S3＝3a1＋3d，S6－S3＝3a1＋12d， S9－S6＝3a1＋21d， 所以2(3a1＋12d)＝(3a1＋3d)＋(3a1＋21d)， 则S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，故选项A正确； 因为S9＝9a1＋36d，S6＝6a1＋15d，S3＝3a1＋3d， 则＝a1＋d，＝a1＋d，＝a1＋4d， 所以2＝(a1＋d)＋(a1＋4d)， 则，，成等差数列，故选项B正确； 因为S9＝9a1＋36d，S6＝6a1＋15d，S3＝3a1＋3d， 所以2S6－S3＝2(6a1＋15d)－(3a1＋3d)＝9a1＋27d， 则S9≠2S6－S3，故选项C错误； 因为S9＝9a1＋36d，S6＝6a1＋15d，S3＝3a1＋3d， 所以3(S6－S3)＝3[(6a1＋15d)－(3a1＋3d)]＝9a1＋36d＝S9， 故选项D正确．故选ABD. 答案　ABD 10．(多选)等差数列{an}的首项为正数，其前n项和为Sn，现有下列命题，其中是真命题的为(　　) A．若Sn有最大值，则数列{an}的公差小于0 B．若a6＋a13＝0，则使Sn>0的最大的n为18 C．若a9>0，a9＋a10<0，则{Sn}中S9最大 D．若a9>0，a9＋a10<0，则数列{|an|}中的最小项是第9项 解析　对于选项A，∵Sn有最大值，∴ 等差数列{an}一定有负数项， ∴等差数列{an}为递减数列，故公差小于0，故A正确； 对于选项B，∵a6＋a13＝a9＋a10＝0，且a1>0， ∴a9>0，a10<0， ∴S17＝17a9>0，S18＝×18＝0， 故使Sn>0的最大的n为17，故B错误； 对于选项C，∵a9>0，a9＋a10<0， ∴a9>0，a10<0， 故{Sn}中S9最大，故C正确； 对于选项D，∵a9>0，a9＋a10<0， ∴|a9|＝a9<－a10＝|a10|， 故数列{|an|}中的最小项是第9项，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 11．已知等差数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且(n＋1)Sn＝(7n＋23)Tn，则使为整数的正整数n的个数为________． 解析　由题意，可得＝， 则＝＝＝＝＝＝7＋， 经验证，知当n＝1，2，4，8时，为整数，即使为整数的正整数n的个数是4. 答案　4 12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S7＝28，则an＝________，的最大值是______． 解析　设等差数列{an}的公差为d，则解得 所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝n， Sn＝＝， ∴＝， 令t＝n＋1，则t≥2且t∈N， ＝＝， 由对勾函数的单调性可知，函数y＝t＋＋7在t∈(0，2)时单调递减，在t∈(2，＋∞)时单调递增，所以当t＝3或t＝4时，取得最大值为. 答案　n　 13．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 解析　当n＝1时，a1＝S1＝101， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－3n＋104. 又n＝1也适合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104. 故{an}是首项为101，公差为－3的等差数列． 由an＝－3n＋104≥0，得n≤， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. ①当n≤34时，Tn＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n. ②当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a34－(a35＋a36＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2S34－Sn＝n2－n＋3 502. 故Tn＝ [核心价值·探索创新] 14．对于数列{an}，定义H0＝为{an}的“优值”．现已知某数列的“优值”H0＝2n+1，记数列{an－20}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为(　　) A．－64 B．－68 C．－70 D．－72 解析　由题意可知H0＝＝2n+1，则a1＋2a2＋…＋2n-1·an＝n·2n+1， 当n≥2时， a1＋2a2＋…＋2n-2·an－1＝(n－1)·2n， 两式相减，得2n-1·an＝n·2n+1－(n－1)·2n， ∴an＝2(n＋1)， 当n＝1时上式也成立， ∴an－20＝2n－18，当an－20≤0时，n≤9， 故当n＝8或9时，{an－20}的前n项和Sn取最小值． 最小值为S8＝S9＝＝－72. 故选D. 答案　D 15．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝1－(n∈N＋)，称所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数为数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数． 解析　(1)f(x)＝x2－ax＋a有且只有一个零点， 即方程x2－ax＋a＝0有两个相等实数根， 则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4. 又由a>0，得a＝4， ∴f(x)＝x2－4x＋4， ∴Sn＝n2－4n＋4. 当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5，a1＝1不符合该式． ∴an＝ (2)由(1)及题意，得cn＝ 由1－＝可知， 当n≥5时，恒有cn>0. 又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－， 即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0， ∴数列{cn}的变号数为3. 学科网（北京）股份有限公司 $