5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝10，S7＝7，则公差d＝(　　) A．－1　　　　　　　 B．－ C． D．2 解析　由等差数列求和公式得S5＝5a1＋10d＝10，S7＝7a1＋21d＝7，解得d＝－1. 答案　A 2．(2024·江西九江高二期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a6＝12，则S7＝(　　) A．48 B．42 C．24 D．21 解析　因为{an}为等差数列，故a1＋a7＝a2＋a6＝12，则S7＝＝×12＝42. 答案　B 3．(2024·重庆高二期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝9，S4＝40，则数列{an}的公差d＝(　　) A．3 B．2 C． D．4 解析　由题意得，解得 答案　B 4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则小满日影长为(　　) A．1.5尺 B．3.5尺 C．5.5尺 D．7.5尺 解析　设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为a1，a2，…，a12，前n项和Sn(n≤12)， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺， 得 解得a1＝13.5，d＝－1， 所以小满日影长为a11＝a1＋10d＝13.5－10＝3.5(尺). 答案　B 5．已知等差数列{an}的前7项和S7＝14，a3＝1，则a5＝___________． 解析　在等差数列{an}中，S7＝＝7a4＝14，解得a4＝2，又a3＋a5＝2a4，a3＝1，所以a5＝2a4－a3＝2×2－1＝3. 答案　3 6．已知等差数列－1，－3，－5，…， 若Sn＝－196，则n＝________． 解析　依题意，等差数列的首项为－1，公差为－2，由前n项和Sn＝－n＋×(－2)＝－196，解得n＝14或n＝－14(舍去). 答案　14 7．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，S3＝2a1，则当n＝________，Sn有最大值． 解析　设等差数列{an}的公差为d. 因为a1＝6，S3＝2a1，所以3×6＋3d＝12， 解得d＝－2. 所以Sn＝6n＋×(－2)＝7n－n2. 结合二次函数的性质可得：当n＝3或n＝4时，Sn有最大值12. 答案　3或4 8．在等差数列{an}中， (1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn. (2)已知a14＝10，求S27. (3)若S12＝84，S20＝460，求S28. 解析　(1)由an＝a1＋(n－1)d， 得994＝105＋(n－1)×7，解得n＝128. 所以Sn＝＝＝70 336. (2)因为a14＝10，a1＋a27＝2a14， 所以S27＝＝27a14＝270. (3)方法一　因为{an}是等差数列， 所以Sn＝na1＋d， 由已知，得 解得 所以S28＝28a1＋d＝28×(－15)＋×4＝1 092. 方法二　设此等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn， 因为S12＝84，S20＝460， 所以 解得 所以Sn＝2n2－17n， 所以S28＝2×282－17×28＝1 092. [关键能力·综合提升] 9．(多选)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是(　　) A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N＋，均有Sn＞0 D．若对任意n∈N＋，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 解析　显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A，B正确． 若对任意n∈N＋，Sn＞0， 则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确． 而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确． 答案　ABD 10．已知数列{an}为等差数列，若＜－1，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，则使得Sn＞0的n的最大值为(　　) A．11　　 B．19 C．20　　 D．21 解析　等差数列{an}的前n项和Sn有最大值， 所以等差数列{an}的公差d＜0. 因为Sn＝， 所以使得Sn＞0的n的最大值即是使a1＋an＞0的n的最大值． 又由＜－1，得＜0， 所以a10＞0，a10＋a11＜0，得a11＜0， 所以a1＋a19＝2a10＞0， a1＋a20＝a10＋a11＜0. 故使a1＋an＞0的n的最大值为19， 即使得Sn＞0的n的最大值为19. 答案　B 11．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，记{an}的前n项和为Sn，当Sn<0时，n的最大值为________． 解析　在等差数列{an}中， ∵a10<0，a11>0，a11>|a10|， ∴a11＋a10>0，则S19＝19a10<0， S20＝10(a10＋a11)>0. 故当Sn<0时，n的最大值为19. 答案　19 12．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m的值为________． 解析　因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，则由am－1＋am＋1－a＝0，可得2am－a＝0，解得am＝0或am＝2.因为S2m－1＝×(2m－1)＝(2m－1)am＝38，所以am≠0，故am＝2.代入可得2(2m－1)＝38，解得m＝10. 答案　10 13．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N＋，所有项an>0，且Sn＝a＋an－. (1)证明：{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析　(1)证明　当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去). 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)， 所以4an＝a－a＋2an－2an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2). 所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. [核心价值·探索创新] 14．(多选)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则(　　) A．冬至的日影子长最长，为15.5尺 B．立夏比谷雨的日影子长多1尺 C．大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列 D．清明的日影子长为8.5尺 解析　依题意，从冬至起，日影子长依次记为a1，a2，…，a12，则数列{an}(n∈N＋，n≤12)是等差数列，因此，a1＋a4＋a7＝37.5，而a1＋a7＝2a4，解得a4＝12.5， 又a12＝4.5，设数列{an}的公差为d， 可得 解得a1＝15.5，d＝－1，A正确； a10－a9＝－1，立夏比谷雨的日影子长少1尺，B不正确； 而a3，a5，a7成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列，C正确； a8＝a1＋(8－1)d＝8.5，即清明的日影子长为8.5尺，D正确． 故选ACD. 答案　ACD 15．设数列{an}的前n项和为Sn，如果为常数，则称数列{an}为“幸福数列”． (1)等差数列{bn}的首项为1，公差不为零，若{bn}为“幸福数列”，求{bn}的通项公式． (2)数列{cn}的各项都是正数，其前n项和为Sn，若c＋c＋c＋…＋c＝S对任意的n∈N＋都成立，试推断数列{cn}是否为“幸福数列”？并说明理由． 解析　(1)设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，其前n项和为Tn，则＝k(k为常数). 因为b1＝1， 所以n＋n(n－1)d＝k， 即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理，得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因为对任意正整数n，上式恒成立， 所以 所以 故数列{bn}的通项公式是bn＝2n－1. (2)由已知，当n＝1时，c＝S＝c. 因为c1＞0，所以c1＝1. 当n≥2时，c＋c＋c＋…＋c＝S，① c＋c＋c＋…＋c＝S.② 由①－②，得c＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝cn·(Sn＋Sn－1). 因为cn＞0， 所以c＝Sn＋Sn－1＝2Sn－cn. 显然c1＝1适合上式， 所以当n≥2时，c＝2Sn－1－cn－1， 于是c－c＝2(Sn－Sn－1)－cn＋cn－1＝2cn－cn＋cn－1＝cn＋cn－1. 因为cn＋cn－1＞0，则cn－cn－1＝1， 所以数列{cn}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以cn＝n，Sn＝. 所以＝＝不为常数， 故数列{cn}不是“幸福数列”． 学科网（北京）股份有限公司 $