5.2.1 第2课时 等差数列的性质（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·河北保定高二期末)若数列{an}为等差数列，且a1＋a3＝4，则a2等于(　　) A．5　　　　　　　 B．4 C．3 D．2 解析　依题意，a1＋a3＝2a2＝4，a2＝2. 答案　D 2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝6，a5＝2，则a3＝(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 解析　等差数列{an}中，a2＋a6＝6，a5＝2， 所以a3＋a5＝a2＋a6＝6，解得a3＝4. 答案　D 3．等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝21，则其公差等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．18 解析　由题意知，设等差数列{an}的公差为d，a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝3，a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝21， 两式相减，得9d＝18，所以d＝2. 答案　A 4．我国商用中大型无人机产业已进入发展快车道，某无人机生产公司2022年投入研发费用4亿元，计划此后每年研发费用比上一年都增加2亿元，则该公司一年的研发费用首次达到20亿元是在(　　) A．2029年 B．2030年 C．2031年 D．2032年 解析　依题意，该公司每年研发费用依次成等差数列，设为{an}， 可得a1＝4，公差d＝2， 则该公司第n年的研发费用为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2， 令2n＋2≥20，则n≥9， 所以从2022年开始第9年，即2030年的费用首次达到20亿元． 答案　B 5．log64与log69的等差中项为________． 解析　依题意，设log64与log69的等差中项为m， 则2m＝log64＋log69＝log636＝2，故m＝1，即log64与log69的等差中项为1. 答案　1 6．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为________尺． 解析　设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列{an}， 则立春当日日影长为a4＝9.5尺，春分当日日影长为a7＝6尺，所以立夏当日日影长为a10＝a7＋(a7－a4)＝2.5(尺). 答案　2.5 7. 三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为－24，则这三个数为________. 解析　设这三个数分别为a－d，a，a＋d. 由题意可得解得或 故所求三个数为－2，2，6或6，2，－2. 答案　－2，2，6或6，2，－2 8．(2024·甘肃平凉高二期末)成等差数列的三个数的和为24，第二数与第三数之积为40，求这三个数． 解析　设三个数为a－d，a，a＋d， 则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝24，∴a＝8， ∴a·(a＋d)＝40，即8(8＋d)＝40，∴d＝－3， 所以三个数为11，8，5. [关键能力·综合提升] 9．(多选)已知等差数列{an}满足a1>0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则(　　) A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0 C．a3＋a99＝0 D．a51<a50 解析　根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51， 因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0， 所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0. 又a1>0，所以d<0，a51＝a50＋d<a50，故选CD. 答案　CD 10．(多选)设{an}是等差数列，则下列结论中不正确的是(　　) A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则a2＞ D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0 解析　对于A，举反例：a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a2＞0，而a2＋a3＜0； 对于B，举反例：a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3＜0，而a1＋a2＞0； 对于C，因为{an}为等差数列， 所以2a2＝a1＋a3， 当a2＞a1＞0时，公差d＞0，∴a3＞0， ∵a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0， ∴a＞a1a3，即a2＞； 对于D，记等差数列的公差为d， 则a2－a1＝d，a2－a3＝－d， ∴(a2－a1)(a2－a3)＝－d2≤0. 答案　ABD 11．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1＜0，则正整数的值为________． 解析　由3an＋1＝3an－2⇒an＋1－an＝－⇒{an}是等差数列，则an＝－n. 因为ak·ak＋1＜0， 所以＜0，所以＜k＜，又因为k∈N＋，所以k＝23. 答案　23 12．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 解析　设竹子自上而下各节的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则有4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，可得d＝，a1＝，所以a5＝. 答案　 13．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求{bn}的通项公式； (3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 解析　(1)∵a1＝3，d＝－5， ∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， ∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. (2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项， 即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1. ∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n， 即{bn}的通项公式为bn＝13－20n. (3)b503＝13－20×503＝－10 047， 设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，解得m＝2 011， 即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项． [核心价值·探索创新] 14．《直指算法统宗》是一本数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？则甲应该分得(　　) A．76石 B．77石 C．78石 D．79石 解析　设甲、乙、丙分得的米数分别为x＋d，x，x－d，则(x＋d)－(x－d)＝36，解得d＝18. 又(x＋d)＋x＋(x－d)＝180，解得x＝60， 所以x＋d＝60＋18＝78(石)，故选C. 答案　C 15．已知两个等差数列{an}和{bn}，且{an}为2，5，8…，{bn}为1，5，9，…，它们的项数均为40，则它们有多少个数值相同的项？ 解析　由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为 an＝3n－1，bm＝4m－3(m，n∈N＋，且1≤n≤40，1≤m≤40). 令an＝bm，得3n－1＝4m－3， 即n＝＝， 令2m－1＝3t，因为(2m－1)∈N＋且为奇数， 所以t∈N＋且为奇数， 所以m＝，n＝2t. 又因为1≤n≤40，1≤m≤40， 所以所以 故≤t≤20，又t∈N＋且为奇数． 所以它们共有10个数值相同的项． 学科网（北京）股份有限公司 $