5.2.1 第1课时 等差数列的定义（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

[必备知识·基础巩固] 1．等差数列2，0，－2，－4，…，则－48是这个数列的第________项(　　) A．24　　　　　　　 B．25 C．26 D．27 解析　由等差数列前几项可得，该等差数列首项为2，公差为－2，则该等差数列通项公式为2＋(n－1)×(－2)＝4－2n， 令－48＝4－2n，则n＝26，则－48是这个数列的第26项，故选C. 答案　C 2．(2025·广东佛山高二期末)已知数列{an}是等差数列，若a2＋a4＋2a7＝24，则a5＝(　　) A．8 B．6 C．5 D．4 解析　设公差为d，则a2＋a4＋2a7＝a1＋d＋a1＋3d＋2(a1＋6d)＝4a1＋16d＝24， ∴a1＋4d＝a5＝6. 答案　B 3．已知{an}为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是(　　) A． B．{kan} C．(anan＋1) D．{} 解析　若等差数列通项公式为an＝n，此时＝，anan＋1＝n(n＋1)，kan＝kn，＝， －＝－不为常数，所以不是等差数列； an＋1an＋2－anan＋1＝(n＋1)(n＋2)－n(n＋1)＝2(n＋1)不为常数，所以{anan＋1}不是等差数列； kan＋1－kan＝k(n＋1－n)＝k为常数，所以{kan}是等差数列；－＝－不为常数，所以{}不是等差数列． 答案　B 4．已知等差数列{an}的公差为d，则“d>0”是“数列{an}为单调递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若d>0，则an＋1－an＝d>0，即an＋1>an，此时，数列{an}为单调递增数列， 即“d>0”⇒“数列{an}为单调递增数列”； 若等差数列{an}为单调递增数列， 则d＝an＋1－an>0， 即“d>0”⇐“数列{an}为单调递增数列”． 因此，“d>0”是“数列{an}为单调递增数列”的充要条件． 答案　C 5．(2025·河南驻马店高二期末)已知等差数列{an}满足a1＝1，a2＋a4＝2a5－4，则{an}通项公式为 ________． 解析　设等差数列{an}的公差为d，a1＝1，a2＋a4＝2a5－4， 所以2a1＋4d＝2a1＋8d－4，解得d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋n－1＝n. 答案　an＝n 6．已知数列{an}是公差为－2的等差数列，且a3＝6，则数列{an}的通项公式为________． 解析　由题可得a3＝a1＋2d＝6，又d＝－2，解得a1＝10， 所以an＝a1＋(n－1)·d＝－2n＋12， 数列{an}的通项公式为an＝－2n＋12. 答案　an＝－2n＋12 7．在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝______． 解析　因为a2＝a1＋d＝2，a5＝a1＋4d＝8，所以a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝0＋8×2＝16. 答案　16 8．已知数列{an}满足a1＝3，an·an－1＝2·an－1－1，n≥2. (1)求a2，a3，a4； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列{an}的通项公式． 解析　(1)由an·an－1＝2·an－1－1得an＝2－，代入a1＝3，n依次取值2，3，4，得 a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝. (2)证明　由an·an－1＝2·an－1－1变形， 得(an－1)·(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)， 即－＝1，所以是等差数列． 由＝，所以＝＋n－1，变形得an－1＝，所以an＝. [关键能力·综合提升] 9．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析　设这两个等差数列的公差分别为d1和d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2. 第一个数列共有(m＋2)项，所以d1＝， 第二个数列共(n＋2)项，所以d2＝，所以＝＝. 答案　D 10．在数列{an}中，若＋＝2，a1＝8，a2＝18，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1) C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1) 解析　因为＋＝2，所以－＝－，所以数列{}是等差数列，公差d＝－＝，由等差数列的通项公式得＝2＋(n－1)·＝n＋，所以an＝2(n＋1)2，故选A. 答案　A 11．已知首项为－24的等差数列{an}从第10项起为正数，则公差d的取值范围是________． 解析　易知an＝－24＋(n－1)d.由题意，可知第10项是该等差数列的第一个正数项，则解得<d≤3. 答案　 12．已知{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝，若对任意的n∈N＋，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是________． 解析　因为对任意的n∈N＋，都有bn≥b8成立，且bn＝，所以≥.又数列{an}的公差为1，所以数列{an}为递增数列，所以即解得－8＜a＜－7. 答案　(－8，－7) 13．在公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1＝1，an＝51，则n＋d的最小值是多少？ 解析　由a1＝1，得an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)d＝51，即(n－1)d＝50，解得d＝， 因为等差数列的各项均为正整数，所以公差d也为正整数，因此d只能是1，2，5，10，25，50， 此时n相应取得51，26，11，6，3，2，则n＋d的最小值等于16. [核心价值·探索创新] 14．(多选)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，正确的是(　　) A．若数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等差数列 B．若数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等方差数列 C．数列{(－1)n}是等方差数列 D．若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列 解析　对于A，由{an}是等方差数列可得a－a＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，即有{a}是首项为a，公差为p的等差数列，故A正确；对于B，例如：数列{}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a－a＝[(－1)n]2－[(－1)n-1]2＝0(n≥2，n∈N＋)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；对于D，数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，….数列{akn}中的项列举出来是ak，a2k，a3k，….因为a－a＝a－a＝…＝a－a＝p，所以a－a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，所以a－a＝kp，所以数列{akn}是等方差数列，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 15．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋(－1)n+1·(1＋λn)，其中λ是常数，n∈N＋. (1)当a2＝－1时，求λ的值． (2)数列{an}是否可能为等差数列？证明你的结论． (3)若对于任意n∈N＋，都有an＞0，求λ的取值范围． 解析　(1)因为a2＝－1，所以3－2λ＝－1，所以λ＝2. (2)a1＝3＋λ，a2＝3－2λ，a3＝7＋3λ，a4＝7－4λ， 若存在λ使{an}为等差数列有a2－a1＝a3－a2， 即(3－2λ)－(3＋λ)＝(7＋3λ)－(3－2λ)，所以λ＝－， 所以a2－a1＝－3λ＝与a4－a3＝－7λ＝矛盾，所以不存在λ使{an}为等差数列． (3)因为an＞0，所以2n＋(－1)n+1·(1＋λn)＞0， 即(－1)n·λ＜2＋，n∈N. ①当n为正偶数时，λ＜2－，2－随n增大而增大，所以λ＜2－＝. ②当n为正奇数时，λ＞－2－，－2－随n增大而增大，所以λ≥－2. 综上，λ∈. 学科网（北京）股份有限公司 $